2023年春九年级数学中考复习《圆综合练习题》专题突破训练(附答案).docx

2023 年春九年级数学中考复习《圆综合练习题》专题突破训练(附答案)
一．选择题
1．如图， ⊙P 与 y 轴相切于点 C (0， 3)，与 x 轴相交于点 A (1， 0)， B (9， 0)．直线 y ＝kx ﹣ 3 恰好平分⊙P 的面积，那么 k 的值是( )

B．
C．
A．
D． 2

2．如图， ⊙O 的半径为 1，弦 AB＝1，点 P 为优弧 上一动点， AC⊥AP 交直线 PB 于点 C，
则△ABC 的最大面积是( )

A． B． C． D．

3．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以 OB 为直径画圆 M，过 D 作⊙M
的切线， 切点为 N，分别交 AC、BC 于点 E、F，已知 AE＝5，CE＝3，则 DF 的长是( )

A． 3 B． 4 C． 4.8 D． 5
4．如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 C，点 F 是 CD 上一点，且满足 ＝ ，连

接 AF 并延长交⊙O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF＝2． AF＝3．给出下列结论：
； ④S△DAF＝6 ．
①△ADF∽△AED； ②FG＝3； ③tan∠E＝

其中正确结论的个数的是( )

A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个

5． 如图， 边长为 4 的正方形 ABCD 内接于点 O， 点 E 是 上的一动点 (不与 A， B 重合)，

点 F 是 上的一点，连接 OE， OF，分别与 AB， BC 交于点 G， H，且∠EOF＝90°， 有以下结论：
① ＝ ；
②△OGH 是等腰三角形；
③四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化；
④△GBH 周长的最小值为 4+ ．

其中正确的是( )

A． ①③④ B． ①②③ C． ①② D． ③④
6．如图， ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， E 是以 A 为圆心，以 2 为半径为圆上一
动点，连接 CE，点 P 为 CE 的中点，连接 BP，若 AC＝a，BD＝b，则 BP 的最大值为( )
D． +1
A． +1
B． +1
C．

7 ．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O 的半径为 1，且与 y 轴交于点 B，过点 B 作直线 BC 平 行于 x 轴，点 M (a， 1)在直线 BC 上，若在⊙O 上存在点 N，使得∠OMN＝45°，则a
的取值范围是( )
A ．﹣ 1≤a≤1
B ．﹣
D．
C．

二．填空题
8．如图，点 A (2， 0)，以 OA 为半径在第一象限内作圆弧 AB，使∠AOB＝60°，点 C 为 弧 AB 的中点， D 为半径 OA 上一动点(不与点 O， A 重合)，点 A 关于直线 CD 的对称 点为 E，若点 E 落在半径 OA 上，则点 E 的坐标为；若点 E 落在半径 OB 上，则
点 E 的坐标为．

9．如图，点C 在以 AB 为直径的半圆上， AB＝4，∠CBA＝30°，点 D 在 AO 上运动，点 E 与点 D 关于 AC 对称： DF⊥DE 于点 D，并交 EC 的延长线于点 F，下列结论：
①CE＝CF；
②线段 EF 的最小值为 ；
③当AD＝1 时， EF 与半圆相切；
④当点 D 从点 A 运动到点 O 时，线段 EF 扫过的面积是 4 ．
其中正确的序号是 ．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A (1， 0) 、B (11， 0)，点 C 为线段 AB 上一动点，以 AC 为直径的⊙D 的半径 DE⊥AC， △CBF 是以 CB 为斜边的等腰直角三角形， 且点 E、F 都在第四象限，当点 F 到过点 A、C、E 三点的抛物线的顶点的距离最小时，该抛物线的
解析式为．
11．如图，点 A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点， AD⊥BC 于点 D，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E， G 是 AD 的中点，连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P， 且 FG＝FB＝3． 则以下四个结论： ①BF＝EF； ②PA⊥OA；
③tan∠P＝ ； ④OC＝3 ，上述结论中正确的有 (填番号)．

12． 如图， 直径为 13 的⊙E， 经过原点 O， 并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 线段 OA、 OB (OA＞OB)的长分别是方程 x2+kx+60＝0 的两根．
(1) OA： OB＝；
(2)若点 C 在劣弧 OA 上，连接 BC 交 OA 于 D，当△BOC∽△BDA 时，点 D 的坐标
为．

13．如图，直线 y＝﹣ x+3 分别与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点，点 P 是 y＝﹣ (x＜0)

的图象上一点， PH⊥x 轴于 H，当以 P 为圆心， PH 为半径的圆与直线 AB 相切时， OH
．
的长为

14． 如图， 在平面直角坐标系中， Q (3，4)，P 是在以 Q 为圆心， 2 为半径的⊙Q 上一动点，
A (1， 0) 、B (﹣ 1， 0)，连接 PA、PB，则 PA2+PB2 的最小值是．

三．解答题
15．如图， AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点，连接 AC， BC， D 为 AB 延长线上一点，连 接 CD，且∠BCD＝∠A．
(1)求证： CD 是⊙O 的切线；
(2)过 C 作 CF⊥AB 于 F，求证△DCO∽△CFO；
(3)若⊙O 的半径为
，△ABC 的面积为 2
，求 CD 的长．

16．如图，△ABC 内接于⊙O， AB 为直径，点 D 为半径 OA 上一点，过点 D 作 AB 的垂线 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 P，点 F 在线段 PE 上，且 PF＝CF．
(1)求证： CF 是⊙O 的切线；
(2)连接 AP 与⊙O 相交于点 G，若∠ABC＝2∠PAC，求证： AB＝BP；
(3)在(2)的条件下，若 AC＝4， BC＝3，求 CF 的长．

17． 如图， 直线 AB 经过⊙O 上的点 C， 并且 OA＝OB， CA＝CB， ⊙O 交直线 OB 于 E、D， 连 EC， CD．
(1)求证：直线 AB 是⊙O 的切线；
(2)试猜想 BC， BD， BE 三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若 tan∠CED＝ ， ⊙O 的直径为 5，求 OA 的长．

18．在△ABC 中， 以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，AC 交⊙O 于点 F， ∠A+∠C＝90°．

(1)如图 1，求证： CD＝BD；
(2)如图 2，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 BF，求证： BF＝2DE；
(3)如图 3，在(2)的条件下，作∠BDH＝∠ABF， DH 交 AB 于点 Q，连接 BH， tan
∠BDE＝ ， EQ ＝ ，求 CF 的长．

19．已知△ABC 为等边三角形， BC＝2，点 D 从 C 向 A 运动(包括端点 C， A)，以 BD 为 直径在 BD 上方作半圆 O，半圆 O 与 AB 交于点 F，点 G 为 AC 的中点，点 H 为半圆弧
的中点，∠CBD＝α．

(1)如图 1，当 α＝0°时， BH＝；
(2)如图 2， 0°＜α＜30°，半圆 O 是否始终经过点 G，判断并简要说明理由；
(3)如图 3， α＝30°时，求图中阴影部分的面积 S；
(4)当 0＜α≤60°时，直接写出 AH 长度的取值范围．
20． (1) 【基础巩固】如图 1，△ABC 内接于⊙O，若∠C＝60°，弦 AB＝2 ，则半径 r
＝ ；
(2) 【问题探究】如图 2，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠ADC＝60°， AD＝DC，点 B 为弧 AC 上一动点(不与点 A，点 C 重合)．
求证： AB+BC＝BD；

(3) 【解决问题】 如图 3， 一块空地由三条直路 (线段 AD、AB、BC) 和一条道路劣弧

围成，已知 CM＝DM＝ 千米，∠DMC＝60°， 的半径为 1 千米，市政府准备将这
块空地规划为一个公园，主入口在点 M 处，另外三个入口分别在点 C、D、P 处，其中

点 P 在 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在 一种规划方案，使得四条慢跑道总长度(即四边形DMCP 的周长)最大？若存在，求其 最大值；若不存在，说明理由．

参考答案
一．选择题
1．解：连接 PC， PA，过点 P 作 PD⊥AB 于点D，
∵⊙P 与 y 轴相切于点 C (0， 3)，
∴PC⊥y 轴，
∴四边形 PDOC 是矩形，
∴PD＝OC＝3，
∵A (1， 0)， B (9， 0)，
∴AB＝9 ﹣ 1＝8，
∴AD＝ AB＝ ×8＝4，

∴OD＝AD+OA＝4+1＝5，
∴P (5， 3)，
∵直线 y＝kx ﹣ 3 恰好平分⊙P 的面积，
∴3＝5k ﹣ 3，解得 k＝ ．

故选： A．

2．解：连接 OA、OB，如图 1，

∵OA＝OB＝1， AB＝1，
∴△OAB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝ ∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，

∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC 的面积最大，则点 C 到AB 的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点 C 在⊙D 上，
∴∠ADB＝120°，
如图 2，作△ABC 的外接圆 D，

当点 C 在优弧 AB 的中点时，点 C 到 AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且面

积为 AB2＝ ，

∴△ABC 的最大面积为 ．

故选： D．
3．解：延长 EF，过点 B 作直线平行 AC 和 EF 相交于 P，
∵AE＝5， EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝8，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC＝ AC＝4， AC⊥BD，

∴OE＝OC ﹣ CE＝4 ﹣ 3＝1，
∵以 OB 为直径画圆M，
∴AC 是⊙M的切线，
∵DN 是⊙M的切线，
∴EN＝OE＝1， MN⊥AN，
∴∠DNM＝∠DOE＝90°，
∵∠MDN＝∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM： MN＝DE： OE，

∵MN＝BM＝OM＝ OB，

∴DM＝OD+OM＝3MN，
∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，
∴OD： OB＝DE： EP，
∵OD＝OB，
∴DE＝EP＝3，
∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF： PF＝EC： BP＝3： 2，
∴EF： EP＝3： 5，
∴EF＝EP× ＝1.8，

∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．
故选： C．

4．解：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，

∴CG＝DG， ＝ ，∠AGF＝∠AGD＝90°，

∴∠ADF＝∠E，
又∵∠DAF＝∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∴①正确；
∵ ＝ ， CF＝2，

∴FD＝6，
∴CD＝8，

∵CG＝DG，
∴CG＝DG＝4，
∴FG＝2，
∴②错误；
∵AF•EF＝CF•FD，
即 3EF＝2×6，
∴EF＝4，
∴AE＝7，
∵△ADF∽△AED，
∴ ＝ ，

∴AD2＝AE×AF＝7×3＝21，
在 Rt△ADG 中， AG＝ ＝ ＝ ，

∴tan∠E＝tan∠ADF＝ ＝ ，

∴③错误；
∴S△ADF＝ FD•AG＝
＝3
，

∴④错误；
故选： A．

5．解：如图所示，连接 OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，

∴ ＝ ，

∵ ＝ ，

∴ ＝ ，故①正确，

在△BOG 与△COH 中，

，

∴△BOG≌△COH，
∴OG＝OH，∵∠HOG＝90°
∴△OGH 是等腰直角三角形， ②正确，
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S 四边形 OGBH＝S△BOC＝ S 正方形ABCD＝定值，故③错误，

∵△BGH的周长＝GH+BG+BH＝GH+BH+HC＝GH+BC，
∴当 OH⊥BC 时， OH 的值最小， GH 的值最小，此时 OG＝OH＝2， GH＝2 ，
∴△BGH的周长的最小值为 4+2 ，故④错误．

∴①②正确，
故选： C．

6．解：如图，连接 OP，

∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AO＝CO＝ AC＝ a， BO＝DO＝ BD＝ b，

∵点 P 为 CE 中点，

∴OP∥AE，且 OP＝ AE＝1，

∴随着点 E 的运动，点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心、 1 为半径的圆，

则当⊙O 与 OD 交于点 P 时， BP 最大，为 BO+OP＝ +1，故选： B．

7．解：∵点 M (a， 1)在直线 BC 上，
∴OB＝1，
∵BC∥x 轴，
∴BC⊥y 轴，
∴∠OBM＝90°，
当 BM＝OB＝1 时，△OBM 是等腰直角三角形，
则∠OMN＝45°，
此时 a＝±1；
当 BM＞OB 时，∠OMN＜45°，
∴a 的取值范围是﹣ 1≤a≤1；故选： A．
二．填空题
8．解：当点 E 落在半径 OA 上时，连接 OC，如下图 1 所示，
∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点 C 为弧 AB 的中点，点 A (2， 0)，
∴∠COD＝30°， OA＝OC＝2，

∴CD＝OC•sin30°＝2× ，

∴OD＝OC ，

∴AD＝OA ﹣ OD＝2 ﹣ ，
∵DE＝DA，
∴OE＝OD ﹣ OE＝ ﹣(2 ﹣ )＝2 ，
即点 E 的坐标为(2 ， 0)；
当点 E 落在半径 OB 上时，连接 OC， CD，如图 2 所示，

由已知可得， CE＝CA＝CB，
由上面的计算可知， OE＝2 ，

∴点 E 的横坐标为：
，
点 E 的纵坐标为： (2
)×sin60°＝3 ﹣ ，

故答案为： ( ， 0)； ( )．

9．解： ①连接 CD，如图 1 所示．
∵点 E 与点 D 关于 AC 对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故①正确．
②当 CD⊥AB 时，如图 2 所示．
∵AB 是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°， AC＝2， BC＝2 ．

∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，

∴CD＝ BC＝
．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点 D 在线段 AB 上运动时， CD 的最小值为 ．

∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段 EF 的最小值为 2 ．故②错误．

③当AD＝1 时，连接 OC，如图 3 所示．
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC 是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2， AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵点 E 与点 D 关于 AC 对称，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF 经过半径 OC 的外端，且 OC⊥EF，
∴EF 与半圆相切．故③正确．
④∵点 D 与点 E 关于 AC 对称，
点 D 与点 F 关于 BC 对称，
∴当点 D 从点 A 运动到点 O 时，
点 E 的运动路径 AM 与 AO 关于 AC 对称，
点 F 的运动路径 NG 与 AO 关于 BC 对称．
∴EF 扫过的图形就是图 5 中阴影部分．
∴S 阴影＝2S△AOC＝2× •AC•BC＝ ＝2 ．故④错误．

故答案为①③．

10．解：设点 C (m， 0)，
∵以 AC 为直径的⊙D 的半径 DE⊥AC，
∴点 E ( ， )，

∵△CBF 是以 CB 为斜边的等腰直角三角形，
∴F ( ， )，

∴EF2＝( ) 2+ ( ﹣ 2 ＝(m ﹣ 6) 2+36，

当点 F 到过点 A 、C、E 三点的抛物线的顶点的距离最小，
∴当 m＝6 时， EF 最小＝6，
∴C (6， 0)， E ( ，﹣ )，

设抛物线的解析式为 y＝a (x ﹣ ) 2 ﹣ ，

∵抛物线经过 A (1， 0)，
∴0＝a (1 ﹣ ) 2 ﹣ ，

∴a ＝ ，

∴y＝ (x ﹣ ) 2 ﹣ ．

故答案为 y＝ (x ﹣ ) 2 ﹣ ．

11．解：如图连接 AO、AB、BG 作 FH⊥AD 于 H，
∵EB 是切线， AD⊥BC
∴∠EBC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EB，
∴ ，

∵AG＝GD，
∴EF＝FB 故①正确，
∵BC 是直径，
∴∠BAC＝∠BAE＝90°，∵EF＝FB，
∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FBA+∠ABO＝90°，
∴∠FAB+∠OAB＝90°，
∴PA 是⊙O 的切线，故②正确．
∵FA＝FG， FH⊥AG，
∴AH＝HG，

∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，
∴四边形 FBDH 是矩形，
∴FB＝DH＝3，
∵AG＝GD，

∴AH＝HG＝1， GD＝2， FH＝ ＝2 ，

∵FH∥PD，
∴∠AFH＝∠APD，
∴tan∠P＝tan∠AFH＝ ＝ ＝ ，故③错误，

设半径为 r，在 RT△ADO 中，∵AO2＝AD2+OD2，
∴r2＝42+ (r ﹣ 2 ) 2，
∴r＝3 故④正确，
故答案为①②④．

12．解：连接 AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB 是⊙E 的直径， AB＝13，
∴OA2+OB2＝AB2＝169．
根据根与系数的关系可得：
OA+OB＝﹣ k＞0， OA•OB＝60，
∴OA2+OB2＝(OA+OB) 2 ﹣ 2OA•OB＝k2 ﹣ 120＝169，
∴k＝﹣ 17，
原方程为 x2 ﹣ 17x+60＝0，

解得 x1＝5， x2＝12，
∴OA＝12， OB＝5，
∴OA： OB＝12： 5．
故答案为 12： 5；

(2)过点 D 作 DH⊥AB 于H，如图．
∵△BOC∽△BDA，
∴∠OBC＝∠DBA，
在△BOD 和△BHD 中，

，

∴△BOD≌△BHD，
∴BH＝BO＝5， DH＝OD．
设 OD＝x，则 DH＝x， DA＝12 ﹣ x．
在 Rt△DHA 中，根据勾股定理可得，
x2+ (13 ﹣ 5) 2 ＝(12 ﹣ x) 2，
解得 x ＝ ，

∴点 D 的坐标为( ， 0)．

故答案为( ， 0)．

13．解：作 PC⊥直线 AB 于 C，连接 AP，如图所示：
∵直线 y＝﹣ x+3 分别与 x 轴、 y 轴交于 A、B，
当 y＝0 时， x ＝ ；
当 x＝0 时， y＝3；
∴A ( ， 0)， B (0， 3)；

∵∠AOB＝90°， tan∠OAB＝ ＝ ，

∴∠OAB＝60°，
∵以 P 为圆心， PH 为半径的圆与直线 AB 相切，
∴PH＝PC，
∴AP 平分∠OAB，
∴∠PAH＝ ∠OAB＝30°，

设 OH＝x，则 AH＝x+ ，
∵PH⊥x 轴，
∴∠PHA＝90°，

∴tan∠PAH＝ ，

∴PH＝AH•tan30°＝ (x+ )，

∵点 P 是 y＝﹣ (x＜0)的图象上一点，

∴PH•OH＝ ，即 (x+ )•x＝ ，

解得： x ＝ (负值舍去)，

∴x＝ ，

即 OH＝ ；

故答案为： ．

14．解：设 P (x， y)，
∵PA2＝(x ﹣ 1) 2+y2， PB2＝(x+1) 2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2 (x2+y2 ) +2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，

当点 P 处于 OQ 与圆的交点上时， OP 取得最值，
∴OP 的最小值为 OQ﹣PQ＝5 ﹣ 2＝3，
∴PA2+PB2最小值为 20．
故答案为： 20．

三．解答题
15． (1)证明：如图，连接 OC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OB，
∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC 为⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线；
(2)证明：∵∠CFO＝∠DCO＝90°，∠COF＝∠COF，
∴△DCO∽△CFO；
(3)解：∵⊙O 的半径为 ，
∴AB＝2 ，
∵S△ABC＝ AB•CF＝2 ，

∴CF＝2，

在 Rt△CFO 中， OC＝ ，根据勾股定理得， OF＝ ＝1，

由(2)知，△DCO∽△CFO，

，
∴

，
∴

∴CD＝2 ．

16． (1)证明：连接 OC，

∵PF＝FC， OC＝OB，
∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°，
∴∠CPF+∠OBC＝90°，
∴∠PCF+∠OCB＝90°，
∴∠FCO＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF 是⊙O 的切线．
(2)证明：连接 BG，

∵ ，

∴∠PAC＝∠PBG，
∵∠PBA＝2∠PAC，
∴∠PBA＝2∠PBG，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AGB＝∠PGB＝90°，
∴∠APB＝∠PAB，
∴AB＝BP；
(3)解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4， BC＝3，
∴AB＝
＝5，
＝

∴AB＝BP＝5，
∴PC＝2，
∵∠PDA＝∠PCA＝90°， PA＝PA，∠APB＝∠PAB，
∴△APC≌△APD (AAS)，
∴AD＝PC＝2， PD＝AC＝4，∠PAC＝∠APD，
∴AE＝PE，
设 DE＝x， AE＝PE＝4 ﹣ x，
在 Rt△AED 中， AD2+DE2＝AE2，即 22+x2＝(4 ﹣x) 2，
解得 x＝ ，

∴EP＝4 ﹣ x＝ ，

∵∠PEC＝90°﹣∠EPC， ∠FCE＝90°﹣∠PCF， 即∠PEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝PF，
∴CF＝
．

17． (1)证明：如图，连接 OC，

∵OA＝OB， CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线；
(2)解： BC2＝BD•BE，理由如下：
∵ED 是直径，
∴∠ECD＝90°．
∴∠E+∠EDC＝90°，
∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠BCD＝∠E，
又∵∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴ ＝ ，

∴BC2＝BD•BE；
(3)解：∵tan∠CED＝ ，

∴ ＝ ，

∵△BCD∽△BEC，
∴ ＝ ＝ ，

设 BD＝2x，

则 BC＝3x，
∵BC2＝BD•BE，
∴(3x) 2＝2x•(2x+5)，
解得 x1＝0 (舍去)， x2＝2，
∴BD＝2x＝4，
∴OA＝OB＝BD+OD＝4+2.5＝6.5．
18． (1)证明：如图 1，

连接 AD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵ ∠CAB+∠C＝90°，

∴∠CAD＝ ∠CAB，

∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB，
∴CD＝BD；
(2)证明：如图 2，

连接 AD，延长 DE 交⊙O 于 G，
∵直径 AB⊥DG，
∴DG＝2DE＝2GE，
∴AG＝AD，
∴∠GAD＝2∠BAD，
由(1)知：∠CAB＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAG，
∴BF＝DG，
∴BF＝2DE；
(3)解：如图 3，

连接 AD，作 QG⊥BC 于 G，
设 BE＝a，
∵DE⊥AB， tan∠BDE＝ ，

∴tan∠BDE＝ ，

∴DE＝3a，
∴BF＝2DE＝6a，
∵∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠BDE，
∴tan∠DAE＝ ＝ ，

∴AE＝3DE＝9a，
∴AB＝AE+BE＝10a，
∴AF＝ ＝8a，

∴tan∠BDH＝tan∠ABF＝ ＝ ，

设 BG＝x，则 QG＝3x，
在 Rt△QDG 中， QG＝3x，
由 ＝ 得，

DG＝ QG ＝ x，

∵BG+DG＝BD，

∴x+ x ＝ a，

∴x＝ ，

∴QG＝3x＝ a，

∵ ＝ ，

∴(a+ )•3a＝ a a，

∴a＝1，
∴AC＝AB＝10a＝10， BF＝2DE＝6，
∴AF＝8a＝8，
∴CF＝AC ﹣ AF＝10 ﹣ 8＝2．
19．解： (1)如图 1，

连接 OH， BH，

∵H 是半圆 的中点，

∴∠BOH＝∠HOC＝90°，
∵OH＝OB＝ ＝1，

∴BH＝ ＝ ，

故答案为： ；

(2)如图 2，

半圆 O 始终经过点 G，理由如下：
∵BD 是半圆 O 的直径，
∴∠BGD＝90°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴AG＝CG＝ ，

∴点 G 是 AC 的中点，
∴半圆 O 始终经过 AC 的中点 G；

(3)如图 3，

连接 OF，作 OQ⊥AB 于 Q，
∵∠CBD＝30°，△ABC 是等边三角形，

∴BD⊥AC， AD＝CD＝ ＝1，

∴BD＝AC•cos∠CBD＝2× ＝ ，

∴S△ABD＝ ＝ ＝ ，

∵ ＝ ，
∴∠DOF＝2∠ABD＝60°，

∴S 扇形DOF＝ ＝ ，

在 Rt△BOF 中， OB＝ ，∠ABD＝30°，

∴OQ＝ ， BQ ＝ ＝ ，

∴BF＝2BQ＝ ，

＝
＝ ，
∴S△BOF＝

∴S 阴影＝S△ABD ﹣ S△BOF ﹣ S 扇形DOF＝ ﹣ ﹣ π＝ ﹣ ；
(4)如图 4，

作 AN⊥BC 于 N，在 NA 上截取 MN＝BN，连接 OH， BH，连接 MH，
∵ON 是△BCD 的中位线，
∴ON∥AC，
∴∠BNO＝∠ACB＝60°，
∵∠MBN＝∠HBO＝45°，
∴∠MBN﹣∠MBD＝∠HBO ﹣∠MBD，
即：∠HBM＝∠OBN，
∵ ＝ ＝ ，

∴△HBM∽△OBN，
∴∠HMB＝∠BNO＝60°，
∴点 H 在以过点 M 于 BM 成 60°的线段上运动，当 α＝60°时，半圆的中点记作 T，可 得 TM 与A 的交点是 G，
作 AK⊥TG 于 K，可得∠AGT＝∠HBD＝45°，

∴AK＝ AG＝ ， AT＝ ＝ ＝ ，

∴ ≤AH≤ ．

20． (1)解：连接 AO， BO，作 OH⊥AB，

∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝30°，

∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝ ，

∴OH＝AH•tan30°＝ ＝1，

∴AO＝2OH＝2，
故答案为： 2；
(2)证明：在 BD 上取点 E，使 BE＝BC，连接 EC， AC，

∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC 为等边三角形，
∴DC＝AC，∠DCA＝60°，
∵四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝120°，
∵AD＝CD，

∴ ，

∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CBD＝60°，
∴△BEC 为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∴∠BCA＝∠ECD，
∴△ACB≌△DCE (SAS)，
∴AB＝DE，
∴DB＝DE+BE＝AB+BC；
(3)解：存在．

∵CM＝DM＝ 千米，

∴当 DP+CP 取得最大值时，四边形 DMCP 的周长最大，
连接 PM，过点 O 作 OH⊥DM 于点 H，设 OH＝x，

∵DM＝CM，