2023年中考数学专项训练题含答案(二).docx

初三数学中考复习 实数 专项复习训练题
1． 25 的算术平方根是( )

A． 5 B．±5 C．－5 D． 25
2. 若 3－x有意义，则x 的取值范围是( )
A． x≥3 B． x≥0 C． x≤3 D． x≤0
3. 下列选项中的整数，与 17最接近的是( )
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
4. 下列式子正确的是( )

3
A. 9＝±3 B. －8＝－ 2 C. (－3) 2＝－ 3 D ．－ 25 ＝5

5. 实数 3的相反数是( )
1
A. 3 B. C．± 3 D ．－ 3 3
6. 3－π的绝对值是( )

A． 3－π B．π－3 C． 3 D．π
7. 下列各数中，为无理数的是( )

3 1
3
A. 8 B. 4 C. D. 2

8．在－1.732， 2，π， 2＋ 3， 3.212 212 221…(按照规律，两个 1 之间增 加一个 2)这些数中，无理数的个数为( )
A． 5 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
9. 下列实数中最大的数是( )

A． 3 B． 0 C. 2 D．－4
10. 下列各组数中，互为相反数的是( )

1 3 3
2
A．－2 与－ B. (－3) 2 与 3 C．－2 与 －8 D. 4与 －8

11. 下列说法：
①有理数与数轴上的点是一一对应的；
②无理数与数轴上的点是一一对应的；
③每一个实数都能在数轴上找到对应的点；
④数轴上的每一个点都对应一个实数．
其中正确的说法有( )
A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
12. 用科学记数法表示的数是 1.69×105 ，则原来的数是( )
A． 169 B． 1690 C． 16900 D． 169000
13. 下列四个数中最大的数是( )
A.0 B.－1 C.－2 D.－3
14. 下列各数中，比－1 小的数是( )
A.－2 B． 0 C． 1 D． 2
15. 比较三个数－3，－π，－ 10的大小，下列结论正确的是( )

A．－π＞－3＞－ 10
C ．－ 10＞－3＞－π

B ．－ 10＞－π＞－3
D．－3＞－π＞－ 10

16. 计算(－3)＋5 的结果等于( )
A． 2 B．－2 C． 8 D．－8
17．化简 3 － 3(1 － 3)的结果是( )
A． 3 B．－3 C. 3 D ．－ 3

5－1
2
18. 估计 与 0.5 的大小关系是：

5－1
_______0.5. (填“＞”“＝”或 2

3|.

“＜”)

19. 若|a＋1|＝ 5，则 a ＝_______________________
20. 若|a|＝ | － 5| ，则 a ＝____________

3
3
21. 下列说法：①－ 是负分数；②无理数包括正无理数， 0，负无理数；③实

数包括正实数， 0，负实数；④有限小数或无限循环小数是有理数．其中正确的 说法是____________ (填序号)．
22. 在 3和 12之间的整数是____________．
23. 若将三个数－ 3， 7， 17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖 的数是__________．

24. 计算：
4＋ 225 － 400

25. 计算：
|2 － 3|－|1－

2|

－

| 2

－

26. 求下列各式中的 x：
(1) |－x|＝ 5－1；

(2) | 3－x|＝ 2.

参考答案：
1--- 17 ACBBD BDDAD CDAAD AA
18. ＞
19. 5－1 或－ 5－1
20. ± 5
21. ③④
22. 2， 3
23. 7
24. 解：原式＝2＋15－20＝－ 3.
25. 解：原式＝2－ 3 － 2＋1－ 3＋ 2 ＝3－2 3.
26. (1) 解： x ＝ 5－1 或－ 5＋1.

(2) 解： x ＝ 3＋ 2或 3 － 2.

数学中考复习 直角三角形与勾股定理 专项复习练习

1．下列各组中的三个数作为三角形的边长， 其中能构成直角三角形的是( )
A. 3， 4， 5 B． 1， 2， 3 C． 6， 7， 8 D． 2， 3， 4
2. 一直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为( )
A． 5 B. 7 C. 5 D． 5 或 7
3. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且 BC＝ 2AD，以 AB，
BC， DC 为边向外作正方形，其面积分别为 S， S， S ，若 S ＝3， S ＝9，则 S
1 2 3 1 3 2
的值为( )

A． 12 B． 18 C． 24 D． 48
4. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A， B 都是格点， 则线段 AB 的长度为( )

A． 5 B． 6 C． 7 D． 25
5. 如图，△ABC 中， AB ＝AC， AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB＝ 5， AD ＝3，则 BC 的长为( )

A． 5 B． 6 C． 8 D． 10
6. 如图 \ 在△ABC 中 \ ∠ACB＝90° \ CD⊥AB \ 垂足为 D \ 点 E 是 AB 的中 点 \ CD＝DE＝a \ 则 AB 的长为( )

4 3
A．2a B． 2 2a C． 3a D. 3 a
7. 由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2
C． (b＋c)(b－c)＝ a2

D． a ＝3＋k， b＝4＋k， c ＝5＋k(k＞0)
8. 如图 \ 将两个大小、 形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起 \ 与点 A 重合 \ 点 C′落在边 AB 上 \ 连接 B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90° ＝3 \ 则 B′C 的长为( )

\

其中点 A′ AC＝BC

A．3 3 B． 6 C． 3 2 D. 21
9. 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的 弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图 所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，直角三角形的较短直 角边长为 a，较长直角边长为 b，那么(a＋b)2 的值为( )

A． 13 B． 19 C． 25 D． 169
10. 如图 \ 透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12 cm \ 底面周长为 10
cm \ 在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒 \ 此时一只蚂蚁正好在容器 外壁 \ 且离容器上沿 3 cm 的点 A 处 \ 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ( )

A． 13 cm B． 2 61 cm C. 61 cm D． 2 34 cm
11. 三角形三边长分别为 3， 4， 5，那么最长边上的中线长等于_______．
12. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°， AB 的垂直平分线 ED 交 AB 于 点 E，交 BC 于点 D，若 CD＝ 3，则 BD 的长为______．

13. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°， AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，

若 CD＝1，则 BD＝ ______．

14. 在△ABC 中， BD 和CE 分别是边 AC， AB 上的中线，且 BD⊥CE，垂足为 O.若 OD＝2 cm， OE＝4 cm，则线段 OA 的长度为___________cm.

15. 如图，在△ABC 中， AC ＝BC ，∠C＝90°， D 是 AB 的中点， DE⊥DF，点 E， F 分别在 AC， BC 上，求证： DE＝DF.

参考答案：
1--- 10 BDDAC BDACA
11. 2.5
12. 6
13. 2
14. 4 5
15. 解：连接 DC，∵AC＝BC，∠C＝90°， D 是 AB 的中点，
∴CD⊥AB，∠A＝∠B＝∠DCA＝∠DCB＝45°， CD＝DB，∴∠FDB＋∠CDF＝90°，
又 DE⊥DF，
∴∠EDC＋∠CDF＝90°，
∴∠EDC＝∠FDB，
∴△ECD≌△FBD(ASA )，
∴DE＝DF

数学中考复习 图形的认识初步与相交线、平行线 专项复习练习

1．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶 的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )

A．垂线段最短
C．经过两点，有且仅有一条直线

B．经过一点有无数条直线
D．两点之间，线段最短

2. 下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是( )

3. 如图，下列说法错误的是( )

A．若 a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则 a∥c

C．若∠3＝∠2，则 b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则 a∥c

4. 如图，直线 a∥b，直线 c 分别与 a， b 相交于A， B 两点， AC⊥AB 于点 A，交

直线 b 于点 C. 已知∠1＝ 42°，则∠2 的度数是( )

A．38° B．42° C．48° D．58°
5. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1＝∠2 的是( )

6. 如图，下列条件中能判定直线 l ∥l 的是( )
1 2

A．∠1＝∠2
C．∠1＋∠3＝180°

B．∠1＝∠5
D．∠3＝∠5

7. 下列图形中，属于立体图形的是( )

8. 如图， a∥b，∠1＝ 70°，则∠2＝ ( )

A．20° B．35° C．70° D．110°
9. 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一 条直的参照线，其运用到的数学原理是( )

A．两点之间，线段最短
C．垂线段最短

B．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行

10. 如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的 面上标的字是( )

A．遇 B．见 C．未 D．来
11. 如图，直线 a∥b，直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，∠C＝ 90°， b＝ 55°，则∠α 的度数为( )

A．15° B．25° C．35° D．55°
12. 如图， AB⊥AC， AD⊥BC，垂足分别为 A， D，则图中能表示点到直线距离的
线段共有( )

A． 2 条 B． 3 条 C． 4 条 D． 5 条
13. 把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠ 1 ＝30°，则∠2 的度数为 ( )

A．45° B．30° C．20° D．15°
14. 如图，已知 a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1＝40o，
则∠2 的度数为( )

A．100° B．110° C．120° D．130°
15. 已知直线 a∥b∥c， a 与b 的距离为 5 cm， b 与 c 的距离为 2 cm，则 a 与 c 的距离是( )
A． 3 cm B． 7 cm C． 3 cm 或 7 cm D．以上都不对
16. 如图， AB＝12， C 为 AB 的中点，点 D 在线段 AC 上，且 AD∶CB＝1∶3，则 DB 的长度为___________．

17. ∠ α ＝43o16 ′20″， 则 ∠ α 的 余 角 是 _____________________， 补 角 是

．
_____________________________
18. 已知线段 AB＝8 cm，在直线 AB 上画线段 BC，使它等于 3 cm，则线段AC＝ __________________cm.
19. 如图，线段 AB＝4，点 O 是线段 AB 上一点， C， D 分别是线段 OA， OB 的中 点，小明据此很轻松地求得 CD＝ 2.他在反思过程中突发奇想：若点 O 运动到 AB 的延长线上或点 O 在 AB 所在直线外时，原有结论“CD＝2”是否仍然成立？请 帮小明画出图形并说明理由．

20. 如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB，∠PCD 的关系， 请你从所得到的关系中任选一个加以证明．

参考答案：
1--- 15 DBCCB CCCBD CDDDC
16. 10
17. 46°43 ′40″ 136°43′40″
18. 5 或 11
19. 解：原有的结论仍然成立 \ 理由：(1)当点 O 在 AB 的延长线上时 \ 如图① \
1 1 1
CD＝OC－OD＝2(OA－OB)＝2AB ＝2 ×4＝2；
(2)当点 O 在 AB 所在的直线外时 \ 如图② \ C \ D 分别是 OA \ OB 的中点 \ 由
1 1
三角形中位线定理可得 CD＝2AB ＝2 ×4＝2

图① 图②
20. 解：①∠APC＝∠PAB＋∠PCD；
②∠APC＝360°－(∠PAB＋∠PCD)；

③∠APC＝∠PAB－∠PCD；
④∠APC＝∠PCD－∠PAB.
以①为例证明：过点 P 作 PE∥AB，点 E 在点P 左侧，

∵AB∥CD，∴PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，
∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD

例谈“双勾模型图”的提炼及其应用
数学教学中， 适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼， 形成模型， 再利用模型去分析和解决问题， 能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说 明.
1.题目
笔者在教学勾股定理内容 时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题:
在ABC 中， AD 」BC 于D ，求证: AB2 BD2 = AC2 CD2 = AD2 .
这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图 1、图 2.

题中有垂直且有线段的平方之间的关系， 自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形， 利用勾股定 理及两个直角三角形的公共边，便能得证.
即由 AD 」BC ，得
A B2 B D2 = A A2 C2 ，A D

所以 AB2 BD2 = AC2 CD2 = AD2 .
这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”. 2.双勾模型图的应用
例 1 (2016年益阳中考题)如图 3，在ABC 中， AB = 15, BC = 14, AC = 13 ，求ABC 的面积.某
学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
1.作 AD 」BC 于D ，设BD = x， 用含BD = x 的代数式表示CD .
2.根据勾股定理，利 用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出 x .
3.利用勾股定理，求出AD 的长，再计算三角形面积.

解析 由双勾模型图 3，得
A B2 B D2 = A 2C C.2D
设BD = x ，则CD = ,
14 x
即152 x2 = 132 (14 x)2 ,
解得 x = 9 .
：AD = AB2 BD2 = 12
,
1
即 S = BC . AD
ABC 2
1
= 1412 = 84 . 2
评析 本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图 1 求出BD 的长，然后利用勾股定理即可求 出高 AD 的长.

例 2 如图 4，四边 形 ABCD 中， BD 」AC .求证: AD2 + BC2 = AB2 + CD2 . 解析 由双勾模型图 1 得:
AD2 AE2 = CD2 CE2，

AB2 AE2 = BC2 CE2 .
将两式相减，得
A D2 A B2 = C D2 B，2C

即 AD2 + BC2 = AB2 + CD2 .
评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)， 利用双勾模型图的结沦很容易解决， 这也体现了利用模型图 给解题带来的简便.
例 3 如图 5，在Y ABCD 中，求证： AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2 .

解析 作DE 」BA 于点E， CF 」AB 交 AB 的延长线于点F，
则三AED = 三BFC = 90。CD = EF， .
由三Y ABCD， 得
A B= D C= E, F A=B . C D
由双勾模型图 1，得
B D2 B E2 = A D2 A，2E
由双勾模型图 2，得
A C2 A F2 = B 2C B2F

两式相加，得
B D2 B E2 + A 2C A2F= A2 A2 +E 2BC， B F
整理得，
A C2 + B D2 = A F2 B2F+ B2 A2 +E A2+D， B C

即 AC 2 + BD2 = (AF + BF )(AF BF ) + (BE + AE)(BE AE) + AD2 + BC2

= (AF + BF )gAB + ABg(BE AE) + 2BC2

= (AF AE + BF + BE)gAB + 2BC2

= (EF + EF )gAB + 2BC2

= 2EFgAB + 2BC2

= 2AB2 + 2BC2
评析 题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾 模型图，利用这个模型图即可完成证明.
例 4 如图 6，正方形ABCD 和正方形BEFG， AG 、 CE 相交于点H .若 AE = 2CG = 4 ，求正方 形 ABCD 和正方形BEFG 的面积之和.

解析 连结 AC, EG, AE, CG .
由正方形 ABCD 和正方形BEFG ，得
A B= C ,B B=G B，E
三ABC = 三GBE = 90。， ∴ 三ABG = 三CBE，
可得ABG CBE ，
∴ 三BAG = 三BCE .
从而三CAH + 三ACH
= 三CAH + 三ACB + 三BCE
= 三CAH + 三ACB + 三BAG
= 90。，
即 AG 」CE .
由双勾模型图 1 及例 2，易推得
C G2 + A E2 = A 2C+ E，2G
由 AE = 2CG = 4 ，得CG = 2，
∴ AC2 + EG2 = 22 + 42 = 20 .
因此，正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和为
1 1
AB2 + BE2 = (AC2 + EG2 ) = 20 = 10 .
2 2
评析 题中 “正方形的母子图”中有一个重要 的结论: AG 与CE 既相等， 又垂直. 由垂直， 联想到双 勾 模型图，便能顺利解答. 当然，解本题时，若有例 2 的模型图在心中 ，就更易解答.

五种基本图形在解题中的应用
初中几何中有许多基本图形，这些基本图形与其它知识点组合在一起，共同演绎着变化无穷的几何综 合性问题.解决这类问题，一般要分离或者构造 出基本图形，然后应用基本图形的性质及相关结 论解决问 题.本文介绍常见的五种基本图形及其应用，供大家参考.
基本图形 1 如图 1 所示， ABC 是圆内接三角形，直线EF 经过点C .
结论 1 若三ACE = 三B (三BCF = 三A )，则直线EF 与圆O 相切.
1 1
结论 2 若三ACE = 三AOC (三BCF = 三BOC )，则直线EF 与圆O 相切.
2 2
应用 1 如图 2， AB 是⊙O 的直径， D 、 E 分别是三ACB 的角平分线与⊙O 、 AB 的交点， P 为 直线 AB 延长线上一点，且PC = PE .判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由.

分析 本题考察了角平分线、三角形的外角、等腰三角形、圆周角定理等相关知识点问题的突破口在 于能否识别弦切角基本模型，即三PCB = 三CAB ，问题就转化为结论 1.
基本图形 2 如图 3 所示， 三C = 三DAB ，则 AB2 = BDgBC， ADgBC = ABgAC .
这是相似三角形常见的基本图形，反映的是部分与整体相似，两个三角形拥有一个公共角，只要再找
出一组对应角相等即可，利用相似三角形对应线段成比例，进而化成等积的形式即可.

应用 1 如图 4 ， AB 与圆O 相切，切点为A ，连结BO 并延长，与圆O 交于点C 、 D ，连结AC， AD ，求证:
(1 ) AB2 = BDgBC ;

(2)若 AB = 4， BC = 8 ，求圆O 的半径及S ABC .
分析 这是一道圆与相似三角形的综合题 . 已知圆O 与 AB 相切，连结 OA ，则 OA 」AB ，再加上 三CAD = 90。，可得三C = 三DAB ，证得CAB : DAB ，问题就还原成题目 1.问题(2)利用(1)结论，可 建立一元二次方 程求出半径.
应用 2 如图 5，直线 AB 经过圆O 上的点， 并且OA = OB， CA = CB， 圆O 交直线OB 于点E 、D， 连结EC， CD .
(1)猜想直线AB 与圆O 的位置关系，并说明理由;

(2)求证BC2 = BDgBE， DBgCE = BC gCD ;
1
(3)若tan 三CED = ，圆O 的半径为 3，求OAB 的面积.
2

分析 这是一道涉及等腰三角形、直线与圆的位置关系、相似三角形、三角函数值等多个知识点的几
何综合题.(1)利用等腰三角形的三线合一证得OC 」AB ;(2)属于题目 1 的简单变形;(3)求OAB 的面积， 关
1 CD
键在于求 AB 的长度，难点在于如何利用tan 三CED = 这个条件.在RtCED 中， tan 三CED = ，
2 CE
CD 1 BD CD 1
即 = .观察发现，由 DCB : BCE ，可得到 = = ，即BC = 2BD ;然后利用第(2)的结
CE 2 BC CE 2
论，转化为方程求解问题，进而求出BD 、 BC 的长，问题就迎刃而解了.
基本图形 3
1.如图 6，已知 AB = AC， AB 」AC， DE 过点A ，且CD 」DE， BE 」DE ，垂足分别为D 、 E ，则 AD = BE， CD = AE .

2. 如图 7，已知 AD = AE， 三CEA = 三ADB = 三CAB = 三EAD = 90。，则CE = BD， AB = AC .

应用 如图 8，抛物线 y = x2 5x 6 ，点P 在抛物线上，点Q 在直线x = 3 上， PBQ 能否成为 以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若 能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由.

分析 过点P 作PE 」x 轴， PF 」直线x = 3 ，垂足分别为E， F， 三FPE = 90。. 当PE = PF ， 三QPB = 90。时， PBQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.这是解决问题的突破口， 通过构造“K ”
型全等形，使得几何问题代数化.
基本图形 4
如图 9， 已知， 在ABC 中， 三CAB = 45。，过点C 作CD 」AB， 点 A 作 AE 」BC，则BD =DH ，
AH = BC .

应用 1 如图 10，在正方形ABCD 中，以对角线BD 为边作菱形 BDFE ，使得B， C， E 三点在同
一条直线上，连结BF 交CD 于点G .求证:CG = CE .
分析 连结DE 交BF 于点H ，问题就还原成基本图形，证BCG CDE 即可.
应用 2 如图 1l，已知在平行四边形ABCD 中， 三DBC = 45。， DE 」BC 于E， BF 」CD 于F， DE 、 BF 交于H， BF 、 AD 的延长线交于G .有下列结论:
①三A = 三BHE ;② AD = BE + BH ;③ AD2 + DH 2 = 2CD2 .其中正确的是.

分析 本题以全等三角形为载体，融入平行四边形、勾股定理等相关知识，注重对基础知识、基本技 能的考查.
① ② 正 确， 由 BEH CDE 及 平 行 四 边 形 的 性 质， 得 到 C E = E H， CD = BE ， 所 以 A D= B C= B E+ E C= B . E
③正确， AD2 + DH 2 = BC2 + DH 2

= (BE + CE)2 + (DE HE)2

= (BE + HE)2 + (BE HE)2

= 2(BE2 + HE2 ) = 2BH 2 = 2CD2 .
基本图形 5
如图 12，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别在BC 、 CD 上， AE 、 BF 交于点O . 结论 1 若 AE 」BF ，则 AE = BF (或BE = CF 或DF = CE ).

结论 2 若 AE = BF (或BE = CF 或DF = CE )，则 AE 」BF .

应用 如图 13 所示，将图 12 中 AE 、 BF 平移至EF 、 GH ，上述 结论依然成立.
老子在《道德经》里写道: “天下难事，必作于易;天下大事，必作于细” .数学问题的解决过程亦是如 此，将 复杂问题简单化，一步步将未知问题转化到已知范围.在求解几何问题时，就是要通过观察、类比、 联想，把复杂图形转化为简单的基本图形问题，就能容易获解.

构造基本图形巧解含 45º角的问题
本文以两道含有 45º角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.
一、试题呈现
题 1 (2017 年丽水中考题)如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y = x + m 分别交x 轴， y 轴于

A 、 B 两点，已知点C(2,0) .
(l)略;
(2)设P 为线段OB 的中点，连结PA， PC 若三CPA = 45。，则m 的值是.

k
题 2 (2 017 年金华中考题)如图 2，已知点 A(2,3) 和点B(0,2) ，点 A 在反比例函数 y = 的图象上.
x
作射线 AB ，再将射线AB 绕点 A 按照逆时针方向旋转 45º，交反比例函数的图象于点C ，则点C 的坐标 是.
上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45º的特殊角. 因此， 如何利用 45º角成为了解题的突破口， 45º角的两边与x 轴的交点都形成了一个类似的三角形， 因此 这两道题有着如下的共同解法.
二 、共同解法展示
1.构造“一线三等角”，利用相似三角形
丽水题解法 1 如图 3，在 y 轴截取OD = OC ，此时三PDC = 45。，可以证得
BP BA
ABP : PDC， = .
CD PD
m m
进而得到方程 : 2 2 = 2m : ( + 2)，
2