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属于A而不属于B的部分所构成 的AB的差件，记为A-，B， 也可称为 运算
概率论公与式数(全理统)计

2011- 1- 1

第1章 随机事件及其概率

P n = m (m n)!

m!
m!
从m个人n个中人挑进出行排列
(1)排列
组合公式
C =
m(n) n!(m n)!
从m个人n个中人挑进出行组合

加法原理：( m两+n种方法均能
某件事由两m种方法n成，
(2)加法
种方法来m+n种完方成法，来则完这成件。事
和乘法原
乘法原理( ： 两m×步骤分别
理
某件事由两mn成， 种方法来m×n，法事。
重复排列和非重复排列(有序)
(3)一些
对立事件(至少有一个)
常见排列
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次
(4)随机
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果
试 验 和随
验。
机事件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个不试验事，可有 从少个其，中 有这样 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一
件 一 由部(基 事)合通成常用。的大写
(5) ②任何基由，这部都分一事组件中组的成的。 事件这、样一组事件用中来表的。示每一个事 空 间 和事基本事 ，的称为试的用样本表空间。，示
A， ，事示C，的，。它集
为必然事为件不，可能事件。
不可()的能事，率件而的为率事定为不件是可不同理能一，事 必然事件)的(1，概而概1定为然件。
①关：系
如果事A的件部也事成是B的件部(A发成，生必有事B发)： A 仁 B
如果同时有A仁 B， B A， 则A与称事B，A等B：于
A=B。
A、B 中至少有一个AUB，发或生的A+B。者事件： 的关系与
(6)事件

表为A-B或AB者， 表发而B不发生的事件。
A、B 同时发生：A n B， 或AB。者n B= A， 表与示B不 发生，能同
称事A与件B事互不容相者互。斥 基本是事不相。

1
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-A 称为A的事逆件A，立A。它A不表发，记示生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A
A A
n U
德摩i根i率AUB：A n B， A n B A U B
i 1 i 1
设为样A为本事空件间A都，，有对P(A)一，每
足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
(7) 3概°对率于两两互不A，A相，容的…有事件
定(的)公理义(化) P Ai P(Ai )
常称为可i列1i 1(完全)可加性。
则称P(A)为A率。
1° , … ，
2° P( ) P( ) … P( ) 1 。
1 2 n

1 2 n n
型(8)) ( )(任)U(一A)，()，) … P
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数

n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数同时样并且每本个空 间中的每一个基本则称事此 机试验以使用 何
(9) 概几何型 。 A，对任一事件
概型 L(A)
P(A) L() 。 L 中几何 、(面积、体积) 。

( 法10) P(A+B)P (A)+P(B)-P(AB)
公式当P(AB) ＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
( 减法11) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
公式
当 A=Ω时， B )=P1 P(B)
P(AB)
定A义、B是两个设事P(A)>0件，，则称为且A 条件
(12)条件 P(A)
件B发生的P(B条/A) 件。概率，记为 P(A)
概率 P(AB)

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条件概率是概率的一种，
例P(ΩB)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法P(AB)公=P(A)式P(B/A)：
(13) 更乘一法般A，，地A，…P，(A…A对)>0，A事则件有 公式 P(A1A2 …An)=1 P A1)P(nA2 |A1)P1(A23 |An-11A2) …P(A…n|A1A2…
A )
n 1 。
①两个事件的独立性
设A事、B满件P(A足B)=P(A)P(B)， 则称A、B是事相件互独 若A事、B相件互P(A独)>0，立则，有且
P(AB) P(A)P(B)
P(B |A) = = = P(B)
P(A) P(A)
若A事、B相件互则独可A与B立、得A与B，、到A与B也都相
(14) 立独。立
性 必然和事不Ø件与可任能何事事件件都相
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且P(AB同C)=P(A)P时(B)P(C)满足
那A、么相B、互C独立。
对n个于事件类似。
设B事1,B2,…,B件n满足
1° B1, B2 , … , Bn 两两P互(Bi)>0(不i=1,2,…相,n)，容，
(15) A 概
公式 i
2° ，
i=1
则有
P(A) = P(B )P(A |B ) + P(B )P(A |B ) + … + P(B )P(A |B )
1 1 2 2 n n 。
设B事，1B2，件Bn…及A满，足
1° B1， B2， B n…两，两Pi)>0，不i=1，相2，n容，， …，
U
A 仁 n B
2° i， P(A) > 0，
i=1
则
(16)贝叶 P(B )P(A / B )
斯公式 i n
j j
P(B / A) = ，i=1，2，…n。

j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(B )， ( i = 1， 2， …n)，，通常叫先验概P(率B/A)，。( i = 1， 2， …，
n )，i 通常称为后验概率。 i 贝叶斯公式反映了“因
“由果朔因”的推断。
(17) 我了 n 次试验，且满足
利概型 每次试验只有两种A发生或可A不能发生；结果，

1
j
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令 n 次试验A复的，
令 每次试验A发是生独与立A发否的生与，即与其 否是互不影响的。
这种试验n型。 用p表示A发每生次A1一q，，概Pn(k用)为
示n重伯Ak(0k共n)验的率，
k p k q n一k
k = 0,1,2, … , n
P (k) = C
，
。
n
n
第二章 随机变量及其分布

(1) 设离离散散X的型可X随(k1,2,取变)且值量取为各个
件)的(X=X概率为k
P(Xk=x )=p ，k=1,2,…，
则k称k上式X的为概离率散分型布随或机分 式给出：
X x , x , …, x , …
型随机变
量的分布
律

| 1 2 k
P(X = x ) p , p , …, p , …
k 1 2 k 。
显然分布律应满足下列
xw p = 1 ( k 2。)
k = 1,2, …
p > 0
，
k =1
( k 1) ，
(2) 设F(x连)是续随X的机分变若布量存函f在(x)，数对非，任x负，有意函实数
F (x) = x f (x)dx
型随机变 j

量的分布 ，
一w
密度则X为称连续f(x)X的概机率变密度。称函概 率密度。
密度 函4个数性具质有：下面
f (x) > 0
。
1°
+w f (x)dx = 1
一w
。
2°
(3) P(X x(散)<X共x + dx) 必 f (x)dx 与连续型
的(随)机变关(量)系积分f(x元)dx在连续型随P(X机=xk)=变pk在量离理
散型随机变量理论中所起的作

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(4) 设分X为布随x是机任变意量实，数，则函 函数F(x) = P(X x)

称为X的随分机布变函量数，本质上 P(a < X b) = F(b) F(a) 可 以X落得入(a,b]区概间率。
函F(x数)表示随机变量落入区间

分布函数具有如下性质： 1° 0 F(x) 1, < x < +；
2° F(x) 是单调不减的x<函x时，数F(x有)，F(x )；即
1 2 1 2
3° F() = lim F(x) = 0， F(+) = lim F(x) = 1；
x x+
4° F(x + 0) = F(x)， F(x)即是右连续的；

5° P(X = x) = F(x) F(x 0)。

对于离散型随机F(x)=变p；量，
k
x x
k
对于连续型随机F(x)=变jxf(x)d量x。，

(5) 0- 1 分八大布P(X=1)=p, P(X=0)=q
分布
二项分 在n 重贝努里试验中，(布) 设A发生的事件概p。率A事发件生为

的次数是X，则随X可机能2为,…,量n。，设

P(X = k) = P (k) = C k p k q n k ，
n n

其 中

q = 1 p,0 < p < 1, k = 0,1,2, …, n，

则称随机变量X服从 参 数为n，p 的二项分布。记为

X ~B(n, p)。

当n = 1 时， P(X = k) = p k q1 k， k = 0. 1 ，这就是(0- 1)
布，所以(0- 1)分布是二项

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泊松设分随X布的机分变布量律为
P(X = k) = 入 k e_入 ， 入 > 0， k = 0,1,2 …，
k!

则称X服随入的参变泊松X为~爪(入分)或布，
者P(入)。
泊松分布为二。项分布
P(X = k) = M N_M ,
超几何分布 C k C n_k k = 0,1,2 …, l
C n l = min(M , n)
N
随机X服变从n,N量,M几何分为H(n,,M)。，记
几何分布P(X= k) = q k _1 p, k = 1,2,3, …， p 0中， q=1-p。
随机X服变从p的量参几何G(p。，记为
均匀分布设随X的机值只变落b在]内[a，量其密度函数f(x)在[a， b]
1
上为常数， 即
b _ a

1
( 1
| ,
f (x) =〈 b _ a
|l0,


a≤x≤b
其他，

则称X在随[a，机b]上X~U均(a匀，分b)布。， 分布函数为

j
F(x) = x f (x)dx = _w

0，
x _ a
,
b _ a

1，

x<a，

a≤x≤b

x>b。

1 2
当 a≤x <x ≤b 时， 落在 间( x , x
P(x <1X 2<x ) = x2 _ x1 。
1 2 b _ a

)内的概率为

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指数分布
e x , x 0

1
f (x)
0,

,
x 0
,

其 中0， 则X的指数分
X 的分布函数为

F (x)

1 e x ,

0,

x 0
,

x<0。

记住积分公式：
xn e xdx n!

0
正态设分随X布的机密变度量函数为
2
f (x) 1 e x ，
其、0为X从机、参变数量 的正态分布X~或N(,2)高。斯(G
f (x) 具有如下性质： 1° f (x) 的图形是x对称的；
2
2° 当 x 时， f ( ) 1 为最大值；
若 X ~ N ( , )， (t 的则分布函数为
2
F (x) x e 2 2 dt
。。

参数0、 1 时的正态分布称为
(x) e x22
X ~ N (0,1)1，其密度函数记为
， ，
2 x

分布函数为
(x) 1 e t2(2) dt 。
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，
1
Φ(-x)＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。
2
x x
如X~ ( , 2 )， X ~N(0,1) 。
P(x1 X x2 ) 2 1 。

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(6) 下分分P(X位位)＝a表；：
数 a
上分P(X>位)＝a表。：
a
(7) 离函散已(数)型X的知分布列为
分布 X x , x , … , x , …
，
1 2 n
P(X = x ) p , p , … , p , …
Y = g(X ) 的i1分2y=g布(nx)互列不(相等)
Y g(x ), g(x i), … , ig(x ), …
，
1 2 n
P(Y = y ) p , p , … , p , …
若有ig(x)相1某2等些，n p 相则加g(x应)的作将概为对率。
连续型 i i i
先Xf(x)Y的分度F(y)＝布P函(g(X)≤数
X Y
y)，再利用变f(y)。上下限积
Y
第三章 二维随机变量及其分布

( 1 ) 型如果二(维X，随Y)机的向所量有
分布
个有，序对(散x,y)型随机

设=(X，Y) (x的,y)(i,所j=1,2,…有)，可能
i j
且 事=(x,y件)}的{概p,称率为
i j ij,
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为=(X，Y) X 和的Y的分联布合律分或布

布有时也用下面的概
Y
y
y
y
…
…
…
：
X
…
2
1
j
x
p
p
p
p
…
1
12
1j
11
x
p
p
…
2
：
22
：
2j
：
21
：

x
p
…
…
i
p
i1
ij
：
：
：
：
：
这里 p 具有下面两个性质：
( p( ij) ≥1)0 (i,j=1 ,；2,…)
(2) p = 1.
ij
j

i j

1
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连续对于(型)二维随机向量飞=(X , Y) ， 如果存在非负函数

f (x, y)(_w < x < +w,_w < y < +w) ，使对任意
分别平行D，于D={即(X,)|a<x<b标,c<y<d}轴的
有
P{(X , Y)= D} = jj f (x, y)dxdy ,

D
则飞为称连续f型(x,y)为飞随=(机X，向Y)量的；

密度X和Y分布密度 分 (x,y)具密有度下面两个性
( f ,y)≥0;
( j+)j+w f (x, y)dxdy = 1.
_w _w
(2 ) 二飞(X=x维,Y=y)= 飞 (X = x Y = y)
随机变量
的本质
( 3 ) (合X，Y)为二x,y,元随函机数变量，

分布函数

F(x, y) = P{X 共 x, Y 共 y }

称为二维随机 向X和Y联(X合，) 数。
分布函数是一个以全平面为其定义 域，以 事 件
{(O , O ) | _w < X (O ) 共 x,_w <Y(O ) 共 y } 的概率为函
1 2 1 2
数。 F(x,)具布有函以下数的基本性质：
( 0 共1F)(x, y) 共 1;

(2)F(x 和y,)减别，
当 x >x 时， F(有,y)x ,)F;( y >y 时， F(x,有y)≥F(x,y );
( 2 1 3) F2 (x 和y,)连22对，1 即
F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);

( F()w,_w) = F(_w, y) = F(x,_w) = 0, F(+w,+w) = 1.

(5) x 对<x，y于<y，
1 2 1 2
F (x， y ) _ F (x， y ) _ F (x， y ) + F (x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
(4 ) 离P散(X = x， Y = y) 如 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 如 f (x， y)dxdy
型与连续
型的关系

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( 5 ) X的型边缘分布为
分布 P = P(X = x ) = x p (i, j = 1,2, …)；
i i ij
j
Y 的边缘分布为
x
P = P(Y = y ) = p (i, j = 1,2, …)。
j j ij
i
连续X的型边缘分布密度为
f (x) = j +w f (x, y)dy；
-w
X
Y 的边缘分布密度为
f (y) = j +w f (x, y)dx.
-w
Y
(6 ) 在型X=已x的知条取件值下的，条Y件分
分布
i
P(Y = y |X = x ) = ij ；
p
j i p
i
在Y=已y的知条取件值下的，条X件分
j
p
P(X = x |Y = y ) = ij ,
i j p
j
连续在型Y=已y的知条的件条下件，分X布密
f (x, y)
f (x |y) = ；
f ( y)
Y
在X=已x的知条的件条下件，分Y布密
f (x, y)
f ( y |x) =
f (x)
X
(7 ) F(X型,Y)=F(x)F (y)

性


X
p = p p
离散型

Y

ij i j
有零不独立
连续f(x型,y)=f(x)f (y)
直接XY判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分
布
2"装 装 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p (xy- 山2 ) + (||( y装(-)2(山)2 ))||2 ,

p ＝0 1 2

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随机若X变,X,…X量,X,…X的相互独立， h,g 为连续函数，则： 函数h( 1，2X ,X )m + 1 g n( 和 ,…X)相互独立。
特例 ：(1) 若2X与mY独立， 则m+ ：(1) h(n gX)( Y和) 独立。
例如： 若X与Y独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。
( 8 ) 二设维随机向量(X，Y)的分布密度函数为

1
均匀分布

S1
f (x, y) =〈|0,D



(x, y) D

其他

其中 S 为区域 D 的面积，则称( D ，的Y)均 布，记为(X，Y)
U( 。D D)
例如图 3. 1、图 3.2 和图 3.3。
y
1

O

D
1 1


x

图 3.1

y
1

D
2
O 2 x
1

图 3.2

y
d

c O a
图 3.3


D
3

b x

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(9 ) 机向量(X，Y)的分
正态分布
2爪求 求 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 求(-)1(山)1 ))||2 - 2 p (xy - 山2 ) + (||( y 求(-)2(山)2 ))||2 ,

1 2
其中山,山 求 > 0, 求 > 0, | p |<1是5个参数，则称(
1 2 , 1 2
布，
记为(山 , 山 ，2 ,求 2 , p .)~N(
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式， 布，
即X~ 山 ,N求(2 ),Y ~ N(山 求 2 ).
1 1 2, 2
但X~是山,N若求(2),Y~ N(山 求 2 ) ，(X，Y)未必是二
1 1 2, 2
(10) =X+Y数 分布
根据F定(z)=P义(Z三z)=计P(X+Y算三z)：
Z

对于(z)连＝+jwf(x续,z-x)dx型，f
Z
-w
两个独立 的山山,求2态+求2)。分布
1 2 1 2
山 = C 山 ， 求 2 = C 2 求 2
n 个x相互x独立的正态分
i i
i i
i
i
若X,X …X 相互独立，其分布函数分别为
1 2 n
Z=max,min(
X ,X , …X )
1 2 n
F (x)， F (x) …F (x) ，则Z=max,min(X ,X , …X )的分布
x x x 1 2 n
1 2 n
函数为：
F (x) = F (x) F (x) …F (x)

1
max

x
1

x
2

x
n

F (x) = 1 - [1 - F (x)] [1 - F (x)] …[1 - F (x)]

min

x
1

x
2

x
n

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X 2 分布设n个随X,X机,…,X 独立，
1 2 n
布，可以证明它们的
W = n X
x
2
i
i=1
的分布密度为
f (u) =〈|2 n ( n) u 2(n) -1 e- 2(u) u > 0,
( 1

0,2 T|( 2)| u < 0.

我们Wn的2分布W~(，n)，为
其中
( 2) 0
T(| n )| = j +w x 2(n) -1e-x dx.

所谓自由度是指独立 分布中的一个重要参
X 2 分布满足可加性：设

Y - X 2 (n ),
i i
则

x
Z = k Y ~ X 2 (n + n + … + n ).
i 1 2 k
i=1

1
F
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t 分布设X，是Y两个相互独立的 X ~ N (0,1),Y ~ X 2 (n),
可以证明函数
X
T
=
Y / n
的概率密度为
r(| n + 1)|
f (t) (||(1 + n(t 2) ))|| - n 2(+)1 (-w < t < +w).
( 2 )
我们Tn的分布T~，t()。记为
t (n) = -t (n)
1-a a
F 分布
设X~X 2 (n ), Y ~ X 2 (n )， X Y独立以，证可明
1 2
X / n
=
1 的概率密度函数为 Y / n
2

f (y) = 2n22))|))| (||( n(n)2(1) ))|| 0y,n12y 1 + n(n)2(1) y))|| - n1 2(+)n2 , y > 0
我们F机第一n个，变第自二量个由n自度由为
2
的F分布F~，, nfn. 记为1
1 2
1
F (n , n ) =
1-a 1 2 F (n , n )
a 2 1
第四章 随机变量的数字特征

(1) 离散型 连续型

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一维 随机 变量 的数 字特
征
期望 设X是离散其型X是随布连机续其变型概量
期望就是平均值
律为P(X = x ) ＝ p ，
度f(x)为，
k
k
k=1,2,…,n，

E(X ) = +j xf(x)dx

E(X ) = n x p
(要求绝
k k
k =1
(要求绝对收敛)

函数的期Y=g(X望)

E(Y) = n g(x )p
k k
k=1

D(X ) = [x E(X )]2 p
k k
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差
k

Y=g(X)
E(Y) = +j g(x)f (x)dx

D(X ) = +j [x E(X )]2 f (x)dx

(X ) = D(X )，
①对k，于称正X整数k，X的 的k次幂 的X的k数k次学幂期的X的k数为
阶原点,即矩矩，，vk,记即记为为
矩

νk=E(Xk)= x i(k) pi , ν =E(Xk)= j + xk f (x)dx,
i k
k=1,2, …. k=1,