概率论与数理统计公式整理(精华版).docx

属于A而不属于B的部分所构成 的AB的差件，记为A-，B， 也可称为 运算概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1第1章 随机事件及其概率P n = m (m n)!m!m!从m个人n个中人挑进出行排列(1)排列组合公式C =m(n) n!(m n)!从m个人n个中人挑进出行组合加法原理：( m两+n种方法均能某件事由两m种方法n成，(2)加法种方法来m+n种完方成法，来则完这成件。事和乘法原乘法原理( ： 两m步骤分别理某件事由两mn成， 种方法来mn，法事。重复排列和非重复排列(有序)(3)一些对立事件(至少有一个)常见排列顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次(4)随机但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果试 验 和随验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个不试验事，可有 从少个其，中 有这样 如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一件 一 由部(基 事)合通成常用。的大写(5) 任何基由，这部都分一事组件中组的成的。 事件这、样一组事件用中来表的。示每一个事 空 间 和事基本事 ，的称为试的用样本表空间。，示A， ，事示C，的，。它集 为必然事为件不，可能事件。不可()的能事，率件而的为率事定为不件是可不同理能一，事 必然事件)的(1，概而概1定为然件。关：系如果事A的件部也事成是B的件部(A发成，生必有事B发)： A 仁 B如果同时有A仁 B， B A， 则A与称事B，A等B：于A=B。A、B 中至少有一个AUB，发或生的A+B。者事件： 的关系与(6)事件表为A-B或AB者， 表发而B不发生的事件。A、B 同时发生：A n B， 或AB。者n B= A， 表与示B不 发生，能同称事A与件B事互不容相者互。斥 基本是事不相。1概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1 -A 称为A的事逆件A，立A。它A不表发，记示生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)分配率：(AB)C=(AC)(BC) (A A An U德摩i根i率AUB：A n B， A n B A U Bi 1 i 1设为样A为本事空件间A都，有对P(A)一，每足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =1(7) 3概对率于两两互不A，A相，容的有事件定(的)公理义(化) P Ai P(Ai )常称为可i列1i 1(完全)可加性。则称P(A)为A率。1 , ，2 P( ) P( ) P( ) 1 。1 2 n1 2 n n型(8) ( )(任)U(一A)，()，) P1 2 m 1 2 mm A所包含的基本事件数 n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数同时样并且每本个空 间中的每一个基本则称事此 机试验以使用 何(9) 概几何型 。 A，对任一事件概型 L(A)P(A) L() 。 L 中几何 、(面积、体积) 。( 法10) P(A+B)P (A)+P(B)-P(AB)公式当P(AB) 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)( 减法11) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)公式当 A=时， B )=P1 P(B)P(AB)定A义、B是两个设事P(A)0件，则称为且A 条件(12)条件 P(A)件B发生的P(B条/A) 件。概率，记为 P(A)概率 P(AB)概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1条件概率是概率的一种，例P(B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法P(AB)公=P(A)式P(B/A)：(13) 更乘一法般A，地A，P，(AA对)0，A事则件有 公式 P(A1A2 An)=1 P A1)P(nA2 |A1)P1(A23 |An-11A2) P(An|A1A2A )n 1 。两个事件的独立性设A事、B满件P(A足B)=P(A)P(B)， 则称A、B是事相件互独 若A事、B相件互P(A独)0，立则，有且P(AB) P(A)P(B)P(B |A) = = = P(B)P(A) P(A)若A事、B相件互则独可A与B立、得A与B，、到A与B也都相(14) 立独。立性 必然和事不件与可任能何事事件件都相 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且P(AB同C)=P(A)P时(B)P(C)满足那A、么相B、互C独立。对n个于事件类似。设B事1,B2,B件n满足1 B1, B2 , , Bn 两两P互(Bi)0(不i=1,2,相,n)，容，(15) A 概公式 i2 ，i=1则有P(A) = P(B )P(A |B ) + P(B )P(A |B ) + + P(B )P(A |B )1 1 2 2 n n 。设B事，1B2，件Bn及A满，足1 B1， B2， B n两，两Pi)0，不i=1，相2，n容， ，UA 仁 n B2 i， P(A) 0，i=1则(16)贝叶 P(B )P(A / B )斯公式 i n j jP(B / A) = ，i=1，2，n。j =1此公式即为贝叶斯公式。P(B )， ( i = 1， 2， n)，通常叫先验概P(率B/A)，。( i = 1， 2， ，n )，i 通常称为后验概率。 i 贝叶斯公式反映了“因“由果朔因”的推断。(17) 我了 n 次试验，且满足利概型 每次试验只有两种A发生或可A不能发生；结果，1j概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1令 n 次试验A复的，令 每次试验A发是生独与立A发否的生与，即与其 否是互不影响的。这种试验n型。 用p表示A发每生次A1一q，概Pn(k用)为示n重伯Ak(0k共n)验的率，k p k q n一kk = 0,1,2, , nP (k) = C，。nn第二章 随机变量及其分布(1) 设离离散散X的型可X随(k1,2,取变)且值量取为各个件)的(X=X概率为kP(Xk=x )=p ，k=1,2,，则k称k上式X的为概离率散分型布随或机分 式给出：X x , x , , x , 型随机变量的分布律| 1 2 kP(X = x ) p , p , , p , k 1 2 k 。显然分布律应满足下列xw p = 1 ( k 2。)k = 1,2, p 0，k =1( k 1) ，(2) 设F(x连)是续随X的机分变若布量存函f在(x)，数对非，任x负，有意函实数F (x) = x f (x)dx型随机变 j量的分布 ，一w密度则X为称连续f(x)X的概机率变密度。称函概 率密度。密度 函4个数性具质有：下面f (x) 0。1+w f (x)dx = 1一w。2(3) P(X x(散)X共x + dx) 必 f (x)dx 与连续型的(随)机变关(量)系积分f(x元)dx在连续型随P(X机=xk)=变pk在量离理散型随机变量理论中所起的作概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1(4) 设分X为布随x是机任变意量实，数，则函 函数F(x) = P(X x)称为X的随分机布变函量数，本质上 P(a X b) = F(b) F(a) 可 以X落得入(a,b区概间率。函F(x数)表示随机变量落入区间分布函数具有如下性质： 1 0 F(x) 1, x +；2 F(x) 是单调不减的x函x时，数F(x有)，F(x )；即1 2 1 23 F() = lim F(x) = 0， F(+) = lim F(x) = 1；x x+4 F(x + 0) = F(x)， F(x)即是右连续的；5 P(X = x) = F(x) F(x 0)。对于离散型随机F(x)=变p；量，kx xk对于连续型随机F(x)=变jxf(x)d量x。，(5) 0- 1 分八大布P(X=1)=p, P(X=0)=q分布二项分 在n 重贝努里试验中，(布) 设A发生的事件概p。率A事发件生为的次数是X，则随X可机能2为,量n。，设P(X = k) = P (k) = C k p k q n k ，n n其 中q = 1 p,0 p 0， k = 0,1,2 ，k!则称X服随入的参变泊松X为爪(入分)或布，者P(入)。泊松分布为二。项分布P(X = k) = M N_M ,超几何分布 C k C n_k k = 0,1,2 , lC n l = min(M , n)N随机X服变从n,N量,M几何分为H(n,M)。，记几何分布P(X= k) = q k _1 p, k = 1,2,3, ， p 0中， q=1-p。随机X服变从p的量参几何G(p。，记为均匀分布设随X的机值只变落b在内a，量其密度函数f(x)在a， b1上为常数， 即b _ a1( 1| ,f (x) = b _ a|l0,axb其他，则称X在随a，机b上XU均(a匀，分b)布。， 分布函数为jF(x) = x f (x)dx = _w0，x _ a,b _ a1，xb。1 2当 ax x b 时， 落在 间( x , xP(x 1X 2x ) = x2 _ x1 。1 2 b _ a)内的概率为概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1指数分布 e x , x 01f (x) 0,x 0,其 中0， 则X的指数分X 的分布函数为F (x) 1 e x ,0,x 0,x位)a表。：a(7) 离函散已(数)型X的知分布列为分布 X x , x , , x , ，1 2 nP(X = x ) p , p , , p , Y = g(X ) 的i1分2y=g布(nx)互列不(相等)Y g(x ), g(x i), , ig(x ), ，1 2 nP(Y = y ) p , p , , p , 若有ig(x)相1某2等些，n p 相则加g(x应)的作将概为对率。连续型 i i i先Xf(x)Y的分度F(y)布P函(g(X)数X Yy)，再利用变f(y)。上下限积Y第三章 二维随机变量及其分布( 1 ) 型如果二(维X，随Y)机的向所量有分布个有，序对(散x,y)型随机设=(X，Y) (x的,y)(i,所j=1,2,有)，可能i j且 事=(x,y件)的概p,称率为i j ij,P(X , Y) = (x , y ) = p (i, j = 1,2, )i j ij为=(X，Y) X 和的Y的分联布合律分或布布有时也用下面的概Yyyy：X21jxpppp1121j11xpp2：22：2j：21：xpipi1ij：这里 p 具有下面两个性质：( p( ij) 1)0 (i,j=1 ,；2,)(2) p = 1.ijji j1概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1连续对于(型)二维随机向量飞=(X , Y) ， 如果存在非负函数f (x, y)(_w x +w,_w y +w) ，使对任意分别平行D，于D=即(X,)|axb标,cyd轴的有P(X , Y)= D = jj f (x, y)dxdy ,D则飞为称连续f型(x,y)为飞随=(机X，向Y)量的；密度X和Y分布密度 分 (x,y)具密有度下面两个性( f ,y)0;( j+)j+w f (x, y)dxdy = 1._w _w(2 ) 二飞(X=x维,Y=y)= 飞 (X = x Y = y)随机变量的本质( 3 ) (合X，Y)为二x,y,元随函机数变量，分布函数F(x, y) = PX 共 x, Y 共 y 称为二维随机 向X和Y联(X合，) 数。分布函数是一个以全平面为其定义 域，以 事 件(O , O ) | _w X (O ) 共 x,_w x 时， F(有,y)x ,)F;( y y 时， F(x,有y)F(x,y );( 2 1 3) F2 (x 和y,)连22对，1 即F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);( F()w,_w) = F(_w, y) = F(x,_w) = 0, F(+w,+w) = 1.(5) x 对x，y于 0 .2 2 2 1 1 2 1 1(4 ) 离P散(X = x， Y = y) 如 P(x X 共 x + dx， y 0, 求 0, | p | 0,( 10,2 T|( 2)| u 0.我们Wn的2分布W(，n)，为其中( 2) 0T(| n )| = j +w x 2(n) -1e-x dx.所谓自由度是指独立 分布中的一个重要参X 2 分布满足可加性：设Y - X 2 (n ),i i则xZ = k Y X 2 (n + n + + n ).i 1 2 ki=11F概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1t 分布设X，是Y两个相互独立的 X N (0,1),Y X 2 (n),可以证明函数XT=Y / n的概率密度为r(| n + 1)|f (t) (|(1 + n(t 2) )| - n 2(+)1 (-w t 0我们F机第一n个，变第自二量个由n自度由为2的F分布F，, nfn. 记为11 21F (n , n ) =1-a 1 2 F (n , n )a 2 1第四章 随机变量的数字特征(1) 离散型 连续型概率论公与式数(全理统)计2011- 1- 1一维 随机 变量 的数 字特征期望 设X是离散其型X是随布连机续其变型概量期望就是平均值律为P(X = x ) p ，度f(x)为，kkk=1,2,n，E(X ) = +j xf(x)dxE(X ) = n x p(要求绝k kk =1(要求绝对收敛)函数的期Y=g(X望)E(Y) = n g(x )pk kk=1D(X ) = x E(X )2 pk k方差D(X)=EX-E(X)2，标准差kY=g(X)E(Y) = +j g(x)f (x)dxD(X ) = +j x E(X )2 f (x)dx (X ) = D(X )，对k，于称正X整数k，X的 的k次幂 的X的k数k次学幂期的X的k数为阶原点,即矩矩，vk,记即记为为矩k=E(Xk)= x i(k) pi , =E(Xk)= j + xk f (x)dx,i k k=1,2, . k=1,