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例谈数学课堂教学中的常见误区
嵊州一中　叶国芳
以学生的发展为中心，为学生提供良好的学习环境，使学生主动参与、自主学习、积极探索、敢于创新的精神得到进一步的发展，这是新时代对数学教育的要求．在教学中，教师如何挖掘教材内涵，创设有利于培养学生思维能力的教学情境，如何引导学生感悟和体验，突出问题解决过程和学生思维过程的呈现，积极引导学生质疑、探究，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习，是数学课堂教学的一个主要课题．但在具体的课堂教学中，存在着诸如囿于教材、教法僵化、忽视素质、虎头蛇尾、泯灭火花、浅尝辄止等误区，与新课程教学理念相去甚远．下面，结合具体案例，谈谈教师在课堂教学中的常见误区，并提出具体对策，求证于方家．
一、囿于教材
案例一：一位高一教师上一堂“幂函数”的汇报课．应该说整节课的课堂教学开展较为顺利．从具体问题中概括出函数模型，然后引出幂函数概念，再师生探究幂函数性质．在讲完幂函数性质后，教师抛出课本上安排的本节的最后一个例题：证明幂函数f（x）=在[0，+）上是增函数，讲完后下课了．我觉得课本上安排的本节的最后一个例题与幂函数性质的联系较少，在这节课中讲这个例题，反而冲淡了重点，建议放在后面讲．在讲完幂函数的性质后，应编几个题目，让学生练一练，巩固本节课的重点——幂函数的性质，如编几道比较大小、给图选择、给图填空等题目，做到当堂内容，当堂巩固。
如补充练习（1），已知道2.4a﹥2.5a，则a的取值范围是
（2）图中C1，C2，C3为幂函数y=xa在第一象限的图象，则解析式中的指数a依次可取（ ）
A.，－2， B.－2，，
C.－2，， D. ，，－2
通过上述练习，尽管教材上的最后一个例题讲不掉了，但可以放到以后再讲，对当堂知识要趁热打铁，及时巩固，这样起到事半功倍的效果．我觉得，我们在教学中，要摆脱因“尊重教材”而囿于教材的现象．要在吃透教材精神的基础上大胆处理教材，进行有效的教学设计，对教材进行一番增、减、取舍、重组，进而把教材学术的形态转 化为教学形态，也就是要我们在新课程观念的引导下，运用我们的智慧去创造性地使用教材，
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实现内容的优化重组，形成属于自己的个性化教学．
由于高一是新教材，有些地方编得不很成熟，这更加需要我们去钻研、处理教材。
人教A版必修4第44页
例（1）求函数y=sin（），x∈[－2，2]的单调递增区间。
分析：我们可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。
解：令z=，函数y=sin z的单调递增区间是[，]
由≤≤，得
≤x≤，k∈Z
由x∈[－2，2]可知，－2≤且≤2
于是≤k≤，由于k∈Z，所以k=0
我们采用的解法：画区间求交集，先对k赋值，得到若干个区间和[－2，2]，求交集。
我们在变式教学中：求函数y=sin（），x∈[－2，2]的单调递增区间。按教材解法如下：
解：令z=，函数y=sin z的单调递减区间是[，]。
由≤≤，得≤x≤，k∈Z
由x∈[－2，2]可知，－2≤且≤2，于是
≤k≤，由于k∈Z，所以k无解，从而没有单调递减区间。
以上答案明显不对，应当修订解答为：
解：令z=，函数y=sin z的单调递减区间是[，]，
k∈Z。由≤≤，解得≤x≤，k∈Z。
由题意可知，－2≤且≤2，于是≤k≤，由于k∈Z，所以k=－1，0
即函数y=sin（），x∈[－2，2]的单调递增区间是
[－2，]，[，2]

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例（2）人教A版必修4第39页 例2求下列函数的周期：
（1） y=3cosx，x∈R；（2）y=sin2x，x∈R；（3）y=2sin（），x∈R。
解：（1）因为3cos（x+2）=3cosx，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为2。
（2）因为sin2（x+）=sin（2x+2）=sin2x，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为。
（3）因为2sin[－]=2sin[（）+2]=2sin（），所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4。
另解：
（1）因为f（x）=3cosx=3cos（x+2）=f（x+2），所以原函数的周期为2。
（2）因为f（x）=sin 2x=sin（2x+2）=sin2（x+）=f（x+），所以原函数的周期为。
（3）因为f（x）=2sin（）=2sin（+2）=2sin[－]=f（x+4），所以原函数的周期为4。
例（3）人教A版必修1第16页
函数概念引入的三个实例（1）炮弹发射问题；（2）南极上空臭氧层空洞问题；（3）恩格尔系数问题。分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？
建议：
（1）既要尊重教材的编写，又要灵活处理；
（2） 要用教材，不要教教材；
二、教法僵化
案例二：一次在高三听一堂调研课，内容是“定比分点公式和平移公式的应用”．在课堂上，老师基本照搬复习用书在复习，其中老师给出了复习用书中的一个例题，然后自己边讲解边板书．
例：函数y=－2(x－2)2－1的图象按平移后，使得抛物线顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的图象解析式和.
解:设=(h，k),则 ，代入已知函数得
－k=－2(－h－2)2－1 即=－2(－h－2)2+k－1
∵顶点在y轴上 ∴h－2=0 ∴h=－2
则=－22－1+k 又∵抛物线在x轴上截得弦长为4,令=0
得| 1－2 |=4, 由－22－1+k=0 ∴=± ∴| 1－2 |=2=4
∴k=9 ∴平移后的解析式为y=－2x2+8 ， =(－2, 9)
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上述解答也是复习用书上的现存的解答，过程完全正确．老师讲完后也没问同学们有没有想法，就接着讲其他内容了，我觉得这题用以下解法更为简洁：
解法2：因为所给函数图象平移后开口方向及大小不变，故由题意可得平移后的解析式为=－2(+2)(－2) 即=－22+8
由题意，原函数为y+1=－2(x－2)2,故令 即
综上可得,平移后的解析式为y=－2x2+8 ， =(－2, 9)
我想解法2比原来(书上)的解法更为简洁明了，而我们的教师照本宣科，没有去深入钻研题目，犯了形而上学的错误。我们要把知识视为培养能力、感悟人生的基石．课堂教学应由“给出知识”转向“引起活动”．解题教学是数学教学的核心，对一个专业水平高，解题能力强的教师而言，他必然要抓住解题这个主要环节，认真思考每个例题，为学生学会学习、学会独立思考、学会分析问题等方面做出示范和榜样，因此，他必然就不会采用“题海战术”的教学方法．由此可见，要做一名优秀的中学数学教师，首先，且也是最重要的是要具有雄
厚的专业底蕴和较高的解题能力．
建议：
（1）选例题，要先做（题）后看（答案），养成良好的备课习惯。
（2）利用假期，双休日等闲暇时光做一些新近的模拟题、高考题、竞赛题，逐步提高自己的解题能力。
三、忽视素质
案例三：笔者听课时，一位教师执教“函数的奇偶性”的教学片段如下：
教师：同学们，今天我们学习函数的奇偶性，它是非常重要的函数的性质，在高考中时常被考查，我先给出函数奇偶性的定义．
（教师边板书边讲解定义）
……
教师：从定义可以得到判断函数奇偶性的方法与步骤……下面我们讲解例题……
（以上的分析讲解不到6分钟，教师就接着讲了三种类型的问题：判断，证明函数的奇偶性、简单应用，再往后，就是学生的练习、教师的点评）
（在例题讲解、练习与分析的过程中，学生也积极参与交流、踊跃发言）
课后评课时，上课教师直言，没有什么好讲的，有时讲与不讲做题效果差不多，这样做也是为了节省出更多时间来解题．其他的一些听课教师也表示能理解这一观点．
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让我们先看看，这部分内容在新教材中是如何呈现的：
观察日常生活中的对称现象（产生对“对称”的感性认识）→观察数学图形（具有对称性的函数图象）→动手操作（折叠）实验→再观察思考→对称性的定性描述→尝试定量刻画→建立函数的奇偶性定义→性质讨论→问题解决与应用→再探究与引申．
从中不难看出，函数奇偶性概念的建立过程就是本节课的“重头戏”．学生如何从身边生活中的实例（教师应再去挖掘）感受对称美，再观察函数图象的对称性，产生函数图象对称性的刻画描述的倾向，即产生建立数学概念的欲望，再努力尝试定量（用式子）刻划进而建立函数奇偶性的定义．这应当是“独立思考、自主探索、师生互动”的学习过程．通过这样的学习过程，学生经历的是探索的过程，领悟的是数学学习的方法，得到的是自己探究的成果，体验的是成功的喜悦．因为学生在学习中获得的自信、科学态度和理性精神，比单纯拥有知识更有价值．让学生体验学习的进程，实现“知、能、情、法、行”的有机统一，让课堂更好地为学生的成长服务．
这位教师上课为了突出“重点”、节省时间、提高“效率”，直接将结论“告知”给学生，我以为这是一中急功近利的思想，从短期看，可能效果（这里指学生解题）不会差，此做法也许不无道理，但从落实新课程教学理念，从有利于学生的长远发展、提高学生的数学素质来看，结论也许就是相反的了．有的老师担心如果学生真的动起来，教师觉得难以控制，许多想不到的问题会突然冒出来，的确，这会给教师的课堂调整带来很大的挑战，但课堂活跃起来了，就迫使教师更精细地钻研教材、研究学生，设计多套预案，提高解题能力。事实证明，以往那种纯粹的老师讲、学生听，老师示范、学生模仿的教学模式，不利于促进学生自主发展。

建议：
课堂教学要正确处理“知课与技能”与“过程与方法”的关系，能力培养要渗透在知识落实的过程中，“冰冷的、无言的”数学知识只有通过“过程”方能变成“火热的思考”。

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四、虎头蛇尾
案例四，一次高二数学教研活动，一位教师上公开课，课题是“球的概念与性质”，课堂设计分这样五块。1、引入 2、探索 3、例题讲解（两个例题） 4、课堂小结（4个有关球的性质填空题） 5、研究性学习（3个问题）
探索
圆与球概念与性质的比较

圆
球
1定义

2图象

3性质
1、一条直线与圆相交，在圆内部与（包括圆上的交点）是 ，过圆心的 也称为圆的 。
2、与弦垂直的直径过弦的 。
3、圆心和弦中点的连线 弦。
4、在Rt△OAF中，OK2+AK2=

探究性学习相对于接受性学习，需要师生付出更多的时间、更多的精力，从应试的角度看效率相对较低。在当前考试制度尚未得到根本性变革的情况下，要不折不扣地达到新课程教学的理想目标，困难重重。忽视现实，强按牛头喝水，到头来“竹篮打水一场空”，
建议：
就数学课堂教学而言，就是在创新学习与双基训练、开放与封闭之间找一个均衡和谐的“点”，调节好“收”与“放”的度，解决理想与现实之间的落差问题，将新课程改革真正落到实处。
五、泯灭火花
案例五：一次，市内进行高三教研活动，一位教师上复习课，内容是“三角函数的图象”．
在解一道题时，出现等式：sin()=±1，然后教师问同学们：等于什么？当时，学生们七嘴八舌，教师点名，甲说应为，已说等于±+kπ，丙说等于+kπ，教师说“对，
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请坐下”。接着教师顺利做完本题。而对于那些错误的答案不予理睬，没有与他们交流、订正，我估计那些答错的同学也不知道自己错在哪里．
暴露错误的过程，能提高纠错的针对性，但题目只是例子，是训练学生思维的目标，还应再进一步引导学生反思错误的成因，通过自查自纠、反思交流、自我评价等各种形式，纠正错误，这并不意味着削弱教师的主导作用，而是要求教师从更高的观点去指导学生把评议引向深入，以提高学生的“元认知”能力，引领学生走出固有认知的“迷宫”，体验数学学习给人带来的成功喜悦感．从这一意义上讲，来自学生的错误，确实是一笔宝贵的课程资源，有待于我们做深入的开发和研究．
我平时上课，很支持学生提问题、讲解法，我的学生也喜欢提问题，很会讲。
例（1）将4封不同的信随机投到3个信箱中，试求3个信箱都不空的概率。
分析：=，学生提出：P==，错在哪里？
a1
a2
a3a4

a1
a2
a4a3
建议：
著名科学家爱因斯坦指出：提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性、从新角度去看旧 的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。无论在课堂上还是课外，我们总要认真的倾听学生的表达，鼓励学生发表自己的观点，鼓励学生质疑，允许学生出错，充分肯定学生的独立见解，对学生的思想、观点、表达的正确程度以及表达方式予以观察和指导。
六、浅尝辄止
案例六：一次，去听一堂初三平面几何复习课，课题为“相似三角形的复习”．教师整节课运用多媒体技术讲了5个填充题、4个大题，课堂容量很大，学生也积极参与交流、踊跃发言，课堂气氛热烈．她首先通过让学生做几个填空题来复习相似三角形的判定和性质，然后讲解例题，她有一个例题是这样讲的：
例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形BEDC为正方形，AB交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG．
教师通过简要分析，边讲解边板书
解：∵正方形BEDC中，CD∥BE，又GF∥AC，
∴GF∥BE
∴△AGF∽△ABE ∴ =，
又∵CF∥DE ∴△ACF∽△ADE
∴=， ∴=，
又正方形BEDC中， BE=DE，∴FC=FG
解完此题后，教师总结解题经验说：“本题的关键是一定要把GF∥AC转化为GF∥BE，然后得解，这个大家一定要记住”．话毕，又去讲解另一个例题．
我觉得这位教师尽管解答了这个问题，但暴露了3个不足：
1、做完这个题目后，她没有问同学们，还有没有其它的思路、其它的解法．
2、她讲的太绝了，她叫学生记住这个“转化”，僵化了学生的思维，反而把学生教“死”了。事实上，这个题目还有其它的好几种解法．例如
方法一：∵ GF∥AC ∴= ∵ GF∥BE ∴=
∴=，又正方形BCDE中 CB=BE，∴CF=GF
方法二：（受“等角对等边定理”的启发）
连结CG，DB，
∵ FG∥AC ∴=
∵ AC∥BE ∴==
∴= ∵又正方形BEDC中， BE=DC，
∴ =
∴ CG∥DB
∴∠ACG=∠ADB=45° 又AC∥GF ∴∠CGF=∠ACG=45°
∴∠GCF=∠CGF=45° ∴CF=FG
3、当时，整堂课的题目难度较均衡，学生回答问题较顺利，课堂热情高涨．从高要求来看，把此题适当拓展、深化，再加第二 问，如 ：求证：+=，那么本堂课显得有起伏，避免了平淡．
大量的课堂教学实践表明：课堂容量过大，教师会因教学内容过多而提快语速，加快节奏，这样就使教师在教学时少了几分从容、自然，多了几分紧张，压力．例题讲解往往蜻蜓点水，浅尝辄止，只重视多教给学生知识，而忽视教会学生学习的方法，只会授之以鱼，忽略了授之以渔，使学生吃“夹生饭”．教师的教不是为了学生真正理解，而是让学生模仿、记住有关的题型和方法．我认为真正的高效率不是简单依靠课堂的大容量、高难度来实现的，
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我认为真正的课堂大容量就是让学生在整个课堂上不停地思考、交流、感悟、总结，不断地有所收获，提高学生的思维量．
例（1）（05年高考福建卷）
从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中甲、乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
分析：
甲去乙不去 =72
甲不去乙去 =72
甲、乙都去 =72
甲、乙都不去 =72
共 240种
首先甲： =240种
首先乙： =240种
例（2）一次，我在高三实验（理）上不等式证明的复习课，有一道题是这样的：设x1、x2、y1、y2实数，且满足x12＋x22≤1，证明不等式
（x1y1＋x2y2－1）2≥（x12＋x22－1）（y12＋y22－1）
在备课时，我已准备好方法，运用构造函数，结合判别式△可以证得，但技巧性太强。于是在讲解这个题目时，我先试探性地问同学们，谁想出了这个题目的解法？此时，平时积极发言的学生周率先举手，运用三角代换法证出了此题。然后，我及时地给予表扬。这时学生王站起来说，把同学周的方法可以简化一下，经他一说，确实可以，同学们的脸上都露出了满意的笑容。接着，我问还有没有其他证法，学生相举手，他给出了方法三，他是用作差比较法，把左右两边展开后作差，然后运用柯西不等式。也是一条不错的路，同学们都露出一种羡慕的神情。上述三位同学的方法都较常规，我心里挺高兴，一一给予表扬。当我接下去准备抛出我的方法时，突然，学生章举手了，我马上请他讲，他说出方法四：
右边＝〔1－（x12＋x22）〕·〔1－（y12＋y22）〕
≤ 2－（x12＋x22＋y12＋y22） 2 ≤ 2－（2 x1 y1＋2 x2y2） 2
2 2
＝（1－x1y1－x2y2）2＝左边
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当学生章讲完他的证法时，同学们都发出了赞叹声，我连连称赞：太漂亮了，可以说是精彩极了。接下来，我说：“同学们讲得太精彩了，我的方法不敢拿出来了！”话毕，全班同学畅怀大笑。笑得是那样的自信，那样的灿烂。我内心不禁涌上幸福的感觉，因为我点2燃了学生内心的智慧之火，自信之光，事实上，在以后的课堂教学中，同学们的思维一直很活跃，很开放，他们也很喜欢我喜爱数学，我也爱这些学生。
建议：
作为教师，在日常的解题教学过程中，自己要不断反思，同时也要引导学生反思，养成解题反思的习惯，形成解题反思意识。对于解决了的数学问题不要急于收工，若能加以反思，质疑问难，启发学生发现问题和提出问题，便可以举一反三、事半功倍。

参考文献
1 渠东剑．实践高中数学新课程的断想．中学数学教学参考，2007,1-2
2 刘根祥. 数学学习中学生情感障碍分析及矫治策略初探. 数学教学研究,2006,10

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