2023年高考数学名校选填压轴题(解析版).docx

2023 年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(三)
一、单选题
1． (2022·湖北 · 宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C： x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0)与抛物线C ：
1 a2 b2 2
y2 = 2px(p > 0)有公共焦点 F，过 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长 FA 与抛物线C 相交于
2

点 B，若点 A 为线段 FB 的中点，双曲线C1 的离心率为e ，则 e2 = ( )
A． 3 + 1 B． 5 + 1 C． 5 + 1 D． 5 + 2 2 2 3 3
【答案】 B
【解析】根据题意，作图如下：

因为双曲线C1和抛物线C2共焦点，故可得a2 + b2 = 4(p2) ，
又F(c,0)到 y = b x 的距离d = bc = b ，即 AF = b ，又 A 为 BF 中点，则 BF = 2b，
a a2 + b2
设点B(x, y)，则2b = x + p ，解得 x = 2b - p ；由 a2 + b2 = p2 可得 OA = a，
2 2 4
1 1 4ab ( p 4ab )
则由等面积可知： 2 根 BF 根 OA = 2 根 OF 根 y ，解得 y = p ，则B|(2b - 2 , p )|，
则 x = b, y = ，又点 A 在渐近线y = x 上，即 = ，即2a2 = pb，
2ab b b2 2ab

A A p a a p
又 p2 = 4a2 + 4b2 ，联立得 a4 - a2b2 - b4 = 0 ，即 b2 - a2 + 1 = 0 ，解得 b2 = 5 - 1，
a2 b2 a2 2
故 e2 = 1+ b2 = 5 + 1 .
a2 2
故选： B.
2．(2022·湖北 · 宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若对任意的x， x =[0，+w )， 1 2
且 x 丰 x ，都有 x1 f (x1 )- x2 f (x2 ) < 0 成立，则不等式mf(m)- (2m - 1)f (2m - 1)>0 的解集为( )
1 2 x - x
1 2

A． ( 3(1)， 1) B． (－∞， 1) C． (1,w) D． (|(-w, 3(1)))| (1,+ w)
【答案】 D
【解析】 ∵函数f(x)是定义在 R 上的奇函数
∵ g(x)= xf (x)为定义在 R 上的偶函数
又∵ 1 1 2 2 < 0
x f (x )- x f (x )
x - x
1 2
∵ g(x)= xf (x)在[0，+w ) 上递减，则g(x)在 (-w ,0)上递增
mf (m)- (2m - 1)f (2m - 1)> 0 即mf (m)>(2m - 1)f (2m - 1)
则 m < 2m - 1 解得： m = (|(-w , 3(1)))| 同 (1,+w)．
故选： D．
3． (2022·湖北 ·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx = x - x3 + x5 - x7 + +
3! 5! 7!
(-1)n-1 ()!+ ， (其中x = R， n = N*， n!=1×2×3×…×n . 0!=1)，现用上述公式求 1- 2(1)! + 4(1)! - 6(1)! + +(-1)n-1 (2n1-2)!+ 的值，下列选项中与该值最接近的是( )
A． sin30 B． sin33 C． sin36 D． sin39
【答案】 B
【解析】 (sin x)' = cos x = 1- 2(x)2! + 4(x)4! - 6(x)6! + +(-1)n-1 ()!+
所以 cos1=1- 2(1)! + 4(1)! - 6(1)! + + (-1)n-1 (2n1- 2)! +
( " ) ( 180 )
= sin |( 2 - 1)| =sin |(90 - " )| ，由于

( 180 )
|(90 - " )| 与 33 最接近，
故选： B
4． (2022·湖北 ·黄冈中学模拟预测) 某旅游景区有如图所示 A 至 H 共 8 个停车位， 现有 2 辆不同的白色车和

2 辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )

A． 288 B． 336 C． 576 D． 1680
【答案】 B
【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选, 由于车是不相同的,故白车的停法有 4人3人 2 = 24 种,
第二步,排黑车,若白车选 AF ,则黑车有BE, BG, BH , CE, CH , DE, DG 共 7 种选择,黑车是不相同的,故黑车的停 法有 2 人 7 = 14 种，
根据分步计数原理,共有24人14 = 336 种,
故选： B
5． (2022· 山东 ·模拟预测)已知函数 f(x) =xex 一2a(lnx+x)有两个零点，则 a 的最小整数值为( )

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】 C
【解析】 f (x) = xex 一 2a(ln x + x) = ex+ln x 一 2a(ln x + x)，
设t = x + ln x(x > 0)， t, = 1+ 1 > 0 ，即函数在(0, +w )上单调递增，易得t = R ，于是问题等价于函数
x
g(t)= et 一 2at 在 R 上有两个零点， g,(t)= et 一 2a，
若 a 共 0 ，则g,(t)> 0 ，函数g(t)在 R 上单调递增，至多有 1 个零点，不合题意，舍去；
若a > 0 ，则x=(一w,ln 2a)时， g,(t)想 0， g(t)单调递减， x=(ln 2a, +w)时， g,(t)> 0， g(t)单调递增.
因为函数g(t)在 R 上有两个零点，所以g(t) = g(ln 2a)= 2a(1 一 ln 2a)想 0 亭 a > e ，
min 2
而g(0)= 1 > 0，
限定 t > 1 ，记Q (t)= et 一 t， Q,(t)= et 一 1 > 0 ，即Q (t)在(1,+w)上单调递增，于是
Q (t)= et 一 t >Q(1)= e 一 1 > 0 亭 et > t ，则t > 2 时 ， e 2(t) > t 亭 et > t2 ，此时 g(t)>t2 一 2at = t (t 一 8a)，因为
2 4 4 4
a > e ，所以8a > 4e >1 ，于是t > 8a 时， g(t)> 0 .
2
综上：当 a > 时，有两个交点， a 的最小整数值为 2.
e
2

A．
B．
D．

故选： C.
6． (2022·山东·模拟预测)已知函数 f (x) = Asin(ox +v)(o > 0,0 <v <" ) 为偶函数，在0, 3(")))| 单调递减，且 在该区间上没有零点，则o 的取值范围为( )
A． 2(3) , 2 B． 1, 2(3) C． D． (|(0, 2(3)
【答案】 D
【解析】因为函数为偶函数，且在 0, 3(")))|单调递减，所以v= 2(") + k"(k =Z)，而0<v < " ，则v= 2(") ，于是 f (x) = A cosox(o > 0) ，函数在 0, 3(")))| 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0< 3(") o 三 2(") 亭 o =(0,2(3)] .
故选： D.
7． (2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x - y + 1 = 0 经过椭圆x2 +y2 = 1(a > b > 0) 的左焦点F ， a2 b2
交椭圆于 A、 B 两点，交y 轴于C 点，若 FC = 2AC，则该椭圆的离心率是( )


10 - 2

2


3 - 1

2

C． 2 2 - 2


2 - 1

【答案】 A
【解析】由题意可知，点F(-c,0)在直线x - y + 1 = 0 上，即1- c = 0 ，可得c = 1，
直线x - y + 1 = 0 交y 轴于点C(0,1)，
设点A(m, n)， FC = (1,1)， AC = (-m,1- n)，
( 1
(-2m = 1 |m = - 2
由 FC = 2AC可得〈l2 (1- n)= 1 ，解得 〈|ln
(|(1+ 2(1)))|2 + (|(0 - 2(1)))|2 =
10
，
椭圆 x2 +y2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为E(1,0)，则 AE =
2
a2 b2

10 + 2
2
， ：2a = AE + AF =
，
2
2
又 AF = (|(-1+ 2(1)))|2 + (|(0 - 2(1)))|2 =

4 ( 10 - 2 )
2
4
10 - 2
2c
=
=
=
10 + 2
10 + 2
8
2 .
因此，该椭圆的离心率为e = 2a =
2

故选： A.
OA = 1， OB = 2， OA . OB = -1，过点O 作OD 垂
8． (2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知 OAB ，

1
直 AB 于点 D ，点 E 满足OE = ED ，则 EO . EA的值为( )
2

3
A． 一
28

1
B． 一
21

2
C． 一
9

2
D． 一
21

【答案】 D
【解析】由题意，作出图形，如图，

OA = 1， OB = 2， OA . OB = 一1
1
2
：OA . OB = 1人 2cos 三AOB = 2cos 三AOB = 一1， ：cos 三AOB = 一 ，
由三AOB仁(0,几 )可得三AOB = 2几，
3

：AB = OA2 + OB2 一 2 . OA . OB .cos三AOB = 7，

1 1 3 3
又 S = . OA . OB . sin 三AOB = . OD . AB = ，则OD = ，
△AOB 2 2 2 7
：EO . EA = 一OE . (ED + DA)= 一2OE2 = 一 2 . OD2 = 一 2 人 3 = 一 2 . 9 9 7 21
故选： D．
9． (2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数 f(x)= ex 一 2x 图象在点(x , f (x ))处的切线方程为 0 0

y = kx + b ，则k 一 b 的最小值为( )
A． 一2 B． 一2 + 1 C． 一 1 D． 一2 一 1 e e e
【答案】 D
【解析】由 f (x)= ex 一 2x 求导得： f,(x) = ex 一 2，于是得 f ,(x0 ) = ex0 一 2，

函数 f (x) = ex 一 2x 图象在点(x , f (x )) 处的切线方程为 y 一 (ex0 一 2x ) = (ex0 一 2)(x 一 x )，
0 0 0 0

整理得： y = (ex0 一 2)x + (1一 x )ex0 ，从而得k = ex0 一 2,b = (1一 x )ex0 ， k 一 b = x ex0 一 2，
0 0 0

令 g(x) = xex 一 2 ，则 g,(x) = (x +1)ex ，当 x < 一1时， g,(x) < 0 ，当 x > 一1时， g,(x) > 0，
min e
于是得g(x) 在(一w, 一1) 上单调递减，在(一1, +w) 上单调递增，则g(x) = g(一1) = 一2 一 1，

1
所以k 一 b 的最小值为 一2 一 .
e
故选： D
10．(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是 R 的函数 f (x)满足： Vx= R，f (4 + x)+ f (一x)= 0， f (1+ x)为偶函数， f (1)= 1 ，则 f (2023)= ( )

A． 1 B． -1 C． 2 D． -3
【答案】 B
【解析】因为 f (1+ x)为偶函数，所以 f (x)的图象关于直线 x = 1 对称，所以 f (2 一 x)= f (x)，又由
f (4 + x)+ f (一x)= 0，得 f (4 + x)= 一f (一x)，所以 f (8 + x)= 一f (一4 一 x)= 一f (6 + x)，所以 f (x + 2)= 一f (x)， 所以 f (x + 4)= f (x)，故 f (x)的周期为 4，所以 f (2023)= f (3)= 一f (1)= 一1．
故选:B．
11． (2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六 边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109 28' ， 这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关
的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF 一 A,B,C,D,E,F, 的三个顶点 A, C, E 处分别用平面 BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M 一 ABF, O 一 BCD, N 一 DEF ，平 面 BFM ，平面 BDO ，平面 DFN 交于点 P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成
的二面角的大小为9 ，则( )

ABC' ，

A． tan9 = 3 tan54 44' 3

B． sin9 = 3 tan54 44' 3

C． cos9 = 3 tan54 44' D． tan9 = 3
3 tan54 44'
【答案】 C
【解析】先证明一个结论：如图， ABC 在平面 内的射影为

C AB C' 的平面角为9 ,9 (0, ) ，则cos9 = ABC' .
π S
2 S
ABC

证明：如图，在平面b 内作CE 」 AB ，垂足为 E ，连接 EC '，
因为 ABC 在平面 内的射影为 ABC'，故 CC' 」 ，
因为 AB 仁 ，故 CC' 」 AB，
因为CE AB = E，
故 AB 」 平面 ECC ' .

因为 EC, 仁平面 ECC '，
故 C'E 」 AB ，所以 三CEC ' 为二面角的平面角，
所以 三CEC ' =9 .

EC, S
在直角三角形 CEC ' 中， cos 三CEC, = cos9 = = ABC' .
EC S
ABC

S
S
由题设中的第二图可得： cos9 = DBC .
DBO
1 3 3
设正六边形的边长为a ，则 S = a2 〉 = a2，
DBC 2 2 4
如图，在 DBO 中，取 BD 的中点为W ，连接OW ，则OW」 BD，
且 BD = 3a， 三BOD = 109o 28'，
故 OW = a 〉 ，
3 1

2 tan 54o44'
DBO 2 2 tan 54o44' 4 tan 54o44'
3
故 S = 1 〉 3a 〉 3 a 〉 1 = 3 a2 〉 1 ，

故 cos9 = tan 54o44' .
3
故选： C.

12．(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna = a + m，2021ln b = b + m，其中 a b，若 ab 想 入

恒成立，则实数入 的取值范围为( )
A． ((2021e)2, +w ) B． (20212, +w) C． 20212,+w) D． (2021e)2, +w )
【答案】 C
【解析】令 f (x) = ln x 一 1 x ，则 f ,(x) = 1 一 1 = 2021 一 x，
2021 x 2021 2021x
：当x=(0,2021)时， f ,(x) > 0 ，当x=(2021+,w ) 时， f ,(x) 想 0，
f (2021) > 0， ：设 0 想 a 想 2021 想 b ，则 b = t(t > 1)，
a
两式相减，得2021ln b = b 一 a ，则2021lnt = a(t 一1)， ：a = 2021ln t， b = at = 2021t ln t ， a t 一 1 t 一 1
：ab = ，
(t 一 1)2
20212 .t(ln t)2

C．
D．

令 g(t) = t(lnt)2 一 (t 一 1)2， ：g,(t) = (ln t)2 + 2ln t 一 2t + 2，
令 h(t) = (ln t)2 + 2ln t 一 2t + 2 ，则h,(t) = 2 (ln t + 1一 t)，
t
令m(t) =lnt +1一t ，则m,(t) = 1 一 1 想 0，
t
：函数m(t) 在(1,+w) 上单调递减， ：m(t) 想 m(1)= 0, 即h,(t) 想 0,：h(t) 想 h (1) = 0，
：g,(t) 想 0， ：函数g (t) 在(1,+w) 上单调递减， ：g(t) 想 g (1) = 0， ：t(lnt)2 一 (t 一 1)2 想 0， ：ln一 想 1，：ab 想 20212，
：实数入 的取值范围为 20212,+w)，

故选： C．
13． (2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C： x2 一 y2 = 1 ( a > 0， b >0 )的左、右焦点 a2 b2
分别为 F1、 F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点．若F1A = AB， 1(F)B . 2(F)B = 0 ，则 C 的离

心率为( )

A． 2 B．

【答案】 A
【解析】如下图示，

5

3

+ 1

5 + 1

因为 F A = AB， FB . F B = 0， O 是F F 中点，
1 1 2 1 2
所以 A是 1(F)B 中点且 F1B 」 F2 B ，则OA」 F1B， 1(OF) OB c，
因为直线OA 是双曲线x2 一 y2 = 1 的渐近线，
a2 b2
所以kOA= 一 a(b)， kF1B = b(a) ，直线 1(F)B 的方程为 y = b(a) (x + c)，

联立〈 + c) ，解得B ))| ，则| OB |2 = ( )2 + ()2 = c2 ，整理得 b2 = 3a2，
因为 c2 - a2 = b2 ，所以 4a2 = c2， e = = 2 .
c
a
故选： A
14． (2022·湖南 ·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f(x ) = cos2 ox + 3 sinox - 1 (o > 0, x =R ).若函 2 2 2
数 f (x )在区间(",2 ")内没有零点 ， 则 o 的取值范围是
A． (|(0, 12(5) B． (|(0, 12(5) 请 ))|
C． (|(0, 6(5) D． (|(0, 12(5)
【答案】 D
【解析】 (1) (o" + " ,2o" + " ) 三 (2k" ,2 k" +" ), k = Z，则{ ox + 6(") > 2k" ，则{o > 2k - 6(1) ，取k = 0 ，
6 6 2o" + " 不 2k" +" o 不 k + 5
6 12
o > 0, ：0 < k 不 5 ；
12
o" + " > 2k" +" o > 2k + 5
(2)(o" + " ,2o" + " ) 三 (2k" +" ,2 k" + 2" ), k = Z ，则{ 6 ，解得： { 6 ，取k = 0 ，
6 6 2o" + " 不 2k" + 2" o 不 k + 11
6 12
： 不 k 不 ； 6 12
5 11

5 5 11
综上可知： k 的取值范围是(0, ] [ , ] ，选 D .
12 6 12

15． (2022·湖南 · 高三开学考试)已知 a = 2,b = 5 3(1) , c = (2 + e)e(1) ，则a, b, c 的大小关系为( )
A． b < c < a B． c < b < a
C． b < a < c D． c < a < b
【答案】 A

【解析】由题意，可得 a = (2 + 2)2(1) , b = (2 + 3)3(1) , c = (2 + e)e(1)，
所以令 f (x)= x(1) . ln(2 + x),( x > 0) ，则 f，(x)= x 2
x + 2 (x + 2)2
令 g (x)= x - ln(2 + x),( x > 0) ，则g，(x) = -x < 0，

所以g(x)在(0, +w)上单调递减， g(x)< g(0)= 0 ，所以 f ,(x)< 0 恒成立，
所以 f (x)在(0, +w)上单调递减，
因为 2 < e < 3 ，所以 f (2)> f (e)> f (3)，即1 ln(2 + 2)>1 ln(2 + e)>1 ln(2 + 3)，
2 e 3
所以 ln(2 + 2)2(1) > ln(2 + e)e(1) > ln(2 + 3)3(1) ，所以 42(1) > (2 + e)e(1) > 53(1) ，即b < c < a .
故选： A.
16． (2022·湖北·高三开学考试)已知a, b, c 均为不等于 1 的正实数，且lnc = alnb,lna = blnc ，则a, b, c 的大小 关系是( )
A． c > a > b B． b > c > a
C． a > b > c D． a > c > b
【答案】 D
【解析】 lnc = alnb,ln a = blnc 且a、 b、 c 均为不等于1的正实数，
则ln c 与 ln b 同号， ln c 与ln a 同号，从而ln a、 ln b、 ln c 同号.
∵若a、 b、 c =(0,1)，则ln a、 ln b、 ln c 均为负数，
ln a = b ln c > ln c ，可得a > c， ln c = a ln b > ln b ，可得c > b ，此时a > c > b；
∵若a、 b、 c =(1,+w)，则ln a、 ln b、 ln c 均为正数，
ln a = b ln c > ln c ，可得a > c， ln c = a ln b > ln b ，可得c > b ，此时a > c > b .
综上所述， a > c > b .
故选： D.
17． (2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设 f ,(x)是定义在 R 上的连续的函数 f (x)的导函数，
f (x)一 f ,(x)+ 2ex < 0 (e 为自然对数的底数)，且 f (2)= 4e2 ，则不等式 f (x)> 2xex 的解集为( )
A． (一2,0) (2, +w) B． (e, +w)
C． (2,+w) D． (一w, 一2)同 (2,+w)

【答案】 C
【解析】设 g(x)= f (x)ex 一 2x ，则 g,(x)= f ,(x)一 f (x)ex 一 2 = f ,(x)一 f (x)一 2exex，
∵ f(x)一 f ,(x)+2ex < 0，

e

∵g,(x)>0 ，函数g(x)在 R 上单调递增，
又 f (2)= 4e2，
∵ g (2)= f (2) 一 4 = 0 ,
e
2
x
由 f (x)> 2xex ，可得 f (x ) 一 2x > 0，
即g(x)> 0 = g (2)，又函数g(x)在 R 上单调递增，
所以 x > 2 ，即不等式 f(x)>2xex 的解集为 (2,+w).

故选： C．
18． (2022·湖北 ·襄阳五中高三开学考试)已知实数a， b 满足a ea一3 = 1， b(ln b 一 1)= e4 ，其中 e 是自然对

数的底数，则ab 的值为( )

A． e3 B． 2e3 C． 2e4 D． e4
【答案】 D
【解析】因为a ea一3 =