2023年高考数学名校选填压轴题(解析版).docx

2023 年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(三)一、单选题1 (2022湖北 宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C： x2 - y2 = 1(a 0,b 0)与抛物线C ：1 a2 b2 2y2 = 2px(p 0)有公共焦点 F，过 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长 FA 与抛物线C 相交于2点 B，若点 A 为线段 FB 的中点，双曲线C1 的离心率为e ，则 e2 = ( )A 3 + 1 B 5 + 1 C 5 + 1 D 5 + 2 2 2 3 3【答案】 B【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C1和抛物线C2共焦点，故可得a2 + b2 = 4(p2) ，又F(c,0)到 y = b x 的距离d = bc = b ，即 AF = b ，又 A 为 BF 中点，则 BF = 2b，a a2 + b2设点B(x, y)，则2b = x + p ，解得 x = 2b - p ；由 a2 + b2 = p2 可得 OA = a，2 2 41 1 4ab ( p 4ab )则由等面积可知： 2 根 BF 根 OA = 2 根 OF 根 y ，解得 y = p ，则B|(2b - 2 , p )|，则 x = b, y = ，又点 A 在渐近线y = x 上，即 = ，即2a2 = pb，2ab b b2 2abA A p a a p又 p2 = 4a2 + 4b2 ，联立得 a4 - a2b2 - b4 = 0 ，即 b2 - a2 + 1 = 0 ，解得 b2 = 5 - 1，a2 b2 a2 2故 e2 = 1+ b2 = 5 + 1 .a2 2故选： B.2(2022湖北 宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若对任意的x， x =0，+w )， 1 2且 x 丰 x ，都有 x1 f (x1 )- x2 f (x2 ) 0 的解集为( )1 2 x - x1 2A ( 3(1)， 1) B (， 1) C (1,w) D (|(-w, 3(1)| (1,+ w)【答案】 D【解析】 函数f(x)是定义在 R 上的奇函数 g(x)= xf (x)为定义在 R 上的偶函数又 1 1 2 2 0 即mf (m)(2m - 1)f (2m - 1)则 m 0)， t, = 1+ 1 0 ，即函数在(0, +w )上单调递增，易得t = R ，于是问题等价于函数xg(t)= et 一 2at 在 R 上有两个零点， g,(t)= et 一 2a，若 a 共 0 ，则g,(t) 0 ，函数g(t)在 R 上单调递增，至多有 1 个零点，不合题意，舍去；若a 0 ，则x=(一w,ln 2a)时， g,(t)想 0， g(t)单调递减， x=(ln 2a, +w)时， g,(t) 0， g(t)单调递增.因为函数g(t)在 R 上有两个零点，所以g(t) = g(ln 2a)= 2a(1 一 ln 2a)想 0 亭 a e ，min 2而g(0)= 1 0，限定 t 1 ，记Q (t)= et 一 t， Q,(t)= et 一 1 0 ，即Q (t)在(1,+w)上单调递增，于是Q (t)= et 一 t Q(1)= e 一 1 0 亭 et t ，则t 2 时 ， e 2(t) t 亭 et t2 ，此时 g(t)t2 一 2at = t (t 一 8a)，因为2 4 4 4a e ，所以8a 4e 1 ，于是t 8a 时， g(t) 0 .2综上：当 a 时，有两个交点， a 的最小整数值为 2.e2ABD故选： C.6 (2022山东模拟预测)已知函数 f (x) = Asin(ox +v)(o 0,0 v ) 为偶函数，在0, 3()| 单调递减，且 在该区间上没有零点，则o 的取值范围为( )A 2(3) , 2 B 1, 2(3) C D (|(0, 2(3)【答案】 D【解析】因为函数为偶函数，且在 0, 3()|单调递减，所以v= 2() + k(k =Z)，而0v 0) ，函数在 0, 3()| 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0 b 0) 的左焦点F ， a2 b2交椭圆于 A、 B 两点，交y 轴于C 点，若 FC = 2AC，则该椭圆的离心率是( )10 - 223 - 12C 2 2 - 22 - 1【答案】 A【解析】由题意可知，点F(-c,0)在直线x - y + 1 = 0 上，即1- c = 0 ，可得c = 1，直线x - y + 1 = 0 交y 轴于点C(0,1)，设点A(m, n)， FC = (1,1)， AC = (-m,1- n)，( 1(-2m = 1 |m = - 2由 FC = 2AC可得l2 (1- n)= 1 ，解得 |ln (|(1+ 2(1)|2 + (|(0 - 2(1)|2 =10，椭圆 x2 +y2 = 1(a b 0) 的右焦点为E(1,0)，则 AE =2a2 b210 + 22， ：2a = AE + AF =，22又 AF = (|(-1+ 2(1)|2 + (|(0 - 2(1)|2 =4 ( 10 - 2 )2410 - 22c=10 + 210 + 282 .因此，该椭圆的离心率为e = 2a =2故选： A.OA = 1， OB = 2， OA . OB = -1，过点O 作OD 垂8 (2022江苏南京市雨花台中学模拟预测)已知 OAB ，1直 AB 于点 D ，点 E 满足OE = ED ，则 EO . EA的值为( )23A 一 281B 一 212C 一 92D 一 21【答案】 D【解析】由题意，作出图形，如图，OA = 1， OB = 2， OA . OB = 一112：OA . OB = 1人 2cos 三AOB = 2cos 三AOB = 一1， ：cos 三AOB = 一 ，由三AOB仁(0,几 )可得三AOB = 2几，3：AB = OA2 + OB2 一 2 . OA . OB .cos三AOB = 7，1 1 3 3又 S = . OA . OB . sin 三AOB = . OD . AB = ，则OD = ，AOB 2 2 2 7：EO . EA = 一OE . (ED + DA)= 一2OE2 = 一 2 . OD2 = 一 2 人 3 = 一 2 . 9 9 7 21故选： D9 (2022江苏南京市雨花台中学模拟预测)若函数 f(x)= ex 一 2x 图象在点(x , f (x )处的切线方程为 0 0y = kx + b ，则k 一 b 的最小值为( )A 一2 B 一2 + 1 C 一 1 D 一2 一 1 e e e【答案】 D【解析】由 f (x)= ex 一 2x 求导得： f,(x) = ex 一 2，于是得 f ,(x0 ) = ex0 一 2，函数 f (x) = ex 一 2x 图象在点(x , f (x ) 处的切线方程为 y 一 (ex0 一 2x ) = (ex0 一 2)(x 一 x )，0 0 0 0整理得： y = (ex0 一 2)x + (1一 x )ex0 ，从而得k = ex0 一 2,b = (1一 x )ex0 ， k 一 b = x ex0 一 2，0 0 0令 g(x) = xex 一 2 ，则 g,(x) = (x +1)ex ，当 x 一1时， g,(x) 一1时， g,(x) 0，min e于是得g(x) 在(一w, 一1) 上单调递减，在(一1, +w) 上单调递增，则g(x) = g(一1) = 一2 一 1，1所以k 一 b 的最小值为 一2 一 .e故选： D10(2023江苏南京市第一中学模拟预测)已知定义域是 R 的函数 f (x)满足： Vx= R，f (4 + x)+ f (一x)= 0， f (1+ x)为偶函数， f (1)= 1 ，则 f (2023)= ( )A 1 B -1 C 2 D -3【答案】 B【解析】因为 f (1+ x)为偶函数，所以 f (x)的图象关于直线 x = 1 对称，所以 f (2 一 x)= f (x)，又由f (4 + x)+ f (一x)= 0，得 f (4 + x)= 一f (一x)，所以 f (8 + x)= 一f (一4 一 x)= 一f (6 + x)，所以 f (x + 2)= 一f (x)， 所以 f (x + 4)= f (x)，故 f (x)的周期为 4，所以 f (2023)= f (3)= 一f (1)= 一1故选:B11 (2022湖南长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六 边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109 28 ， 这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF 一 A,B,C,D,E,F, 的三个顶点 A, C, E 处分别用平面 BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M 一 ABF, O 一 BCD, N 一 DEF ，平 面 BFM ，平面 BDO ，平面 DFN 交于点 P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为9 ，则( )ABC ，A tan9 = 3 tan54 44 3B sin9 = 3 tan54 44 3C cos9 = 3 tan54 44 D tan9 = 33 tan54 44【答案】 C【解析】先证明一个结论：如图， ABC 在平面 内的射影为C AB C 的平面角为9 ,9 (0, ) ，则cos9 = ABC . S2 SABC证明：如图，在平面b 内作CE AB ，垂足为 E ，连接 EC ，因为 ABC 在平面 内的射影为 ABC，故 CC ，因为 AB 仁 ，故 CC AB，因为CE AB = E，故 AB 平面 ECC .因为 EC, 仁平面 ECC ，故 CE AB ，所以 三CEC 为二面角的平面角，所以 三CEC =9 .EC, S在直角三角形 CEC 中， cos 三CEC, = cos9 = = ABC .EC SABCSS由题设中的第二图可得： cos9 = DBC .DBO1 3 3设正六边形的边长为a ，则 S = a2 = a2，DBC 2 2 4如图，在 DBO 中，取 BD 的中点为W ，连接OW ，则OW BD，且 BD = 3a， 三BOD = 109o 28，故 OW = a ，3 12 tan 54o44DBO 2 2 tan 54o44 4 tan 54o443故 S = 1 3a 3 a 1 = 3 a2 1 ，故 cos9 = tan 54o44 .3故选： C.12(2022湖南长沙市明德中学高三开学考试)已知2021lna = a + m，2021ln b = b + m，其中 a b，若 ab 想 入恒成立，则实数入 的取值范围为( )A (2021e)2, +w ) B (20212, +w) C 20212,+w) D (2021e)2, +w )【答案】 C【解析】令 f (x) = ln x 一 1 x ，则 f ,(x) = 1 一 1 = 2021 一 x，2021 x 2021 2021x：当x=(0,2021)时， f ,(x) 0 ，当x=(2021+,w ) 时， f ,(x) 想 0，f (2021) 0， ：设 0 想 a 想 2021 想 b ，则 b = t(t 1)，a两式相减，得2021ln b = b 一 a ，则2021lnt = a(t 一1)， ：a = 2021ln t， b = at = 2021t ln t ， a t 一 1 t 一 1：ab = ，(t 一 1)220212 .t(ln t)2 CD令 g(t) = t(lnt)2 一 (t 一 1)2， ：g,(t) = (ln t)2 + 2ln t 一 2t + 2，令 h(t) = (ln t)2 + 2ln t 一 2t + 2 ，则h,(t) = 2 (ln t + 1一 t)，t令m(t) =lnt +1一t ，则m,(t) = 1 一 1 想 0，t：函数m(t) 在(1,+w) 上单调递减， ：m(t) 想 m(1)= 0, 即h,(t) 想 0,：h(t) 想 h (1) = 0，：g,(t) 想 0， ：函数g (t) 在(1,+w) 上单调递减， ：g(t) 想 g (1) = 0， ：t(lnt)2 一 (t 一 1)2 想 0， ：ln一 想 1，：ab 想 20212，：实数入 的取值范围为 20212,+w)，故选： C13 (2022湖南长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C： x2 一 y2 = 1 ( a 0， b 0 )的左、右焦点 a2 b2分别为 F1、 F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点若F1A = AB， 1(F)B . 2(F)B = 0 ，则 C 的离心率为( )A 2 B【答案】 A【解析】如下图示，53+ 15 + 1因为 F A = AB， FB . F B = 0， O 是F F 中点，1 1 2 1 2所以 A是 1(F)B 中点且 F1B F2 B ，则OA F1B， 1(OF) OB c，因为直线OA 是双曲线x2 一 y2 = 1 的渐近线，a2 b2所以kOA= 一 a(b)， kF1B = b(a) ，直线 1(F)B 的方程为 y = b(a) (x + c)，联立 + c) ，解得B )| ，则| OB |2 = ( )2 + ()2 = c2 ，整理得 b2 = 3a2，因为 c2 - a2 = b2 ，所以 4a2 = c2， e = = 2 .ca故选： A14 (2022湖南 长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f(x ) = cos2 ox + 3 sinox - 1 (o 0, x =R ).若函 2 2 2数 f (x )在区间(,2 )内没有零点 ， 则 o 的取值范围是A (|(0, 12(5) B (|(0, 12(5) 请 )|C (|(0, 6(5) D (|(0, 12(5) 【答案】 D【解析】 (1) (o + ,2o + ) 三 (2k ,2 k + ), k = Z，则 ox + 6() 2k ，则o 2k - 6(1) ，取k = 0 ，6 6 2o + 不 2k + o 不 k + 56 12o 0, ：0 2k + o 2k + 5(2)(o + ,2o + ) 三 (2k + ,2 k + 2 ), k = Z ，则 6 ，解得： 6 ，取k = 0 ，6 6 2o + 不 2k + 2 o 不 k + 116 12： 不 k 不 ； 6 125 115 5 11综上可知： k 的取值范围是(0, , ，选 D .12 6 1215 (2022湖南 高三开学考试)已知 a = 2,b = 5 3(1) , c = (2 + e)e(1) ，则a, b, c 的大小关系为( )A b c a B c b aC b a c D c a 0) ，则 f，(x)= x 2 x + 2 (x + 2)2令 g (x)= x - ln(2 + x),( x 0) ，则g，(x) = -x 0，所以g(x)在(0, +w)上单调递减， g(x) g(0)= 0 ，所以 f ,(x) 0 恒成立，所以 f (x)在(0, +w)上单调递减，因为 2 e f (e) f (3)，即1 ln(2 + 2)1 ln(2 + e)1 ln(2 + 3)，2 e 3所以 ln(2 + 2)2(1) ln(2 + e)e(1) ln(2 + 3)3(1) ，所以 42(1) (2 + e)e(1) 53(1) ，即b c a b B b c aC a b c D a c b【答案】 D【解析】 lnc = alnb,ln a = blnc 且a、 b、 c 均为不等于1的正实数，则ln c 与 ln b 同号， ln c 与ln a 同号，从而ln a、 ln b、 ln c 同号.若a、 b、 c =(0,1)，则ln a、 ln b、 ln c 均为负数，ln a = b ln c ln c ，可得a c， ln c = a ln b ln b ，可得c b ，此时a c b；若a、 b、 c =(1,+w)，则ln a、 ln b、 ln c 均为正数，ln a = b ln c ln c ，可得a c， ln c = a ln b ln b ，可得c b ，此时a c b .综上所述， a c b .故选： D.17 (2022湖北襄阳五中高三开学考试)设 f ,(x)是定义在 R 上的连续的函数 f (x)的导函数，f (x)一 f ,(x)+ 2ex 2xex 的解集为( )A (一2,0) (2, +w) B (e, +w)C (2,+w) D (一w, 一2)同 (2,+w)【答案】 C【解析】设 g(x)= f (x)ex 一 2x ，则 g,(x)= f ,(x)一 f (x)ex 一 2 = f ,(x)一 f (x)一 2exex， f(x)一 f ,(x)+2ex 0 ，函数g(x)在 R 上单调递增，又 f (2)= 4e2， g (2)= f (2) 一 4 = 0 ,e2x由 f (x) 2xex ，可得 f (x ) 一 2x 0，即g(x) 0 = g (2)，又函数g(x)在 R 上单调递增，所以 x 2 ，即不等式 f(x)2xex 的解集为 (2,+w).故选： C18 (2022湖北 襄阳五中高三开学考试)已知实数a， b 满足a ea一3 = 1， b(ln b 一 1)= e4 ，其中 e 是自然对数的底数，则ab 的值为( )A e3 B 2e3 C 2e4 D e4【答案】 D【解析】因为a ea一3 =