2023年新高考数学选填压轴题.docx

2023 年新高考数学选填压轴题好题汇编 (一)
一、单选题
1. (2022 · 广东 · 广州市真光中学高三开学考试 ) 端午佳节， 人们有包粽子和吃粽子的习俗， 粽子主要分为南北 两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子， 是用当地特有的冬叶 水草包裹糯米 绿豆 猪肉 咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子， 现将裹蒸粽看作一个正四面体， 其内部的 咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为 3(4π) 时，该裹蒸粽的高的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

2. (2022 · 广东惠州 · 高三阶段练习) 甲罐中有 5 个红球， 3 个白球， 乙罐中有 4 个红球， 2 个白球 . 整个取球过程
分两步， 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别用 A 、A 表示由甲罐取出的球是红球 白球的事件； 再从
1 2
乙罐中随机取出两球， 分别用 B、C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的
事件，则下列结论中不正确的是 ( )
A. P B|A1 B. P C|A2 = 7(4) C. P B D. P C
3. (2022 · 广东 ·鹤山市鹤华中学高三开学考试) 已知直线 ax - 2by + 14 = 0 平分圆 C：x2 + y2 - 4x - 2y - 11 =
0 的面积，过圆外一点 Pa，b 向圆做切线，切点为 Q，则 |PQ | 的最小值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试) 设 a = ln1.1，b = e0.1 - 1，c = tan0.1，d = 则 ( )
A. a < b < c < d B. a < c < b < d C. a < b < d <c D. a < c < d < b
5. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试) 若空间中经过定点 O 的三个平面 α，β，γ 两两垂直， 过另一定点 A 作直线l 与这三个平面的夹角都相等， 过定点 A 作平面 δ 和这三个平面所夹的锐二面角都相等 . 记所作直线 l 的条

数为 m，所作平面 δ 的个数为 n，则 m + n = (
A. 4
C. 12

)
B. 8
D. 16


6. (2022 · 广东 · 深圳外国语学校高三阶段练习) 已知 a = e0.05，b + 1，c = 1.1，则 ( )
A. a > b> c B. c > b> a C. b > a >c D. a > c > b

7. (2022 · 广东 · 深圳外国语学校高三阶段练习 ) 已知双曲线 C: x2 - y2 = 1(a> 0，b > 0) 的左右焦点分别为 a2 b2
—
F1，F2，O 为坐标原点， 点 P 为双曲线 C 中第一象限上的一点， ∠F1PF2 的平分线与 x 轴交于 Q，若 OQ =
4(1) —OF2，则双曲线的离心率范围为 ( )
A. 1,2 B. 1,4 C. 2 ,2 D. 2 ,4
8. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 设a = b = c = e(1)，则 ( )
A. a < c < b B. a < b< c C. b < a < c D. b < c < a
9. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 定义在 R 上的函数 f x 满足 f(-x) + f(x) = 0,f(x) = f(2 - x)；且当x ∈ [0,1 ] 时，f(x) = x3 - x2 + x．则方程 7f(x) - x +2 = 0 所有的根之和为 ( )
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8

10. (2022 · 广东 · 高三开学考试) 设a = 2 1 e，b = ln 2，c = 则 ( )
A. a < b< c B. c < b< a C. a < c < b D. b < c < a
11. (2022 · 广东 · 高三开学考试 ) 已知 f (x) = 2x2，数列 {an { 满足 a1 = 2，且对一切 n ∈ N *，有 an+1 = f an ，则 ( )
A . {an { 是等差数列 B . {an { 是等比数列
C . {log2an {是等比数列 D . {log2an + 1{是等比数列
12. (2022 · 广东 · 中山一中高三阶段练习 ) 已知 a = log1.10.9， b = 0.91.1， c = 1.10.9，则 a，b，c 的大小关系为 ( )
A. a < b< c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a
13. (2022 · 广东 · 中山一中高三阶段练习) 已知函数 f(x) = x2 - 2x + a(ex-1 + e-x+1) 有唯一零点，则a = ( )

1
A. -
2

1
B.
3

1
C .
2

D. 1

14. ( 2022 · 广东 · 高三阶段练习 ) 已知平面向量 a，b，c 满足 | a| = |b| = a ⋅ b = 2，且 b - c⋅ 3 b - c = 0，则 | c - a| 最小值为 ( )
A. 2 2 + 1 B. 3 3 - 3 C. 7 - 1 D. 2 3 - 2
15. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上的函数， 且对任意 x ∈R 都有 f(x + 2) = f (2 - x ) + 4f (2 )，若 函 数 y = f (x + 1 ) 的 图 象 关 于 点 ( - 1 , 0 ) 对 称，且 f (1 ) = 3，则 f (2021 ) = ( )
A. 6 B. 3 C. 0 D. - 3
16. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习) 对于定义在 R 上的函数 f x ，若存在正常数 a、b，使得 f x + a ≤ f x + b 对一切 x ∈R 均成立， 则称 f x 是“控制增长函数” . 在以下四个函数中： ① f x = ex；② f x

= |x |；③ f x = sin x2 ；④ f x = x ⋅sinx. 是“控制增长函数”的有 ( ) 个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17. (2022 · 湖南 ·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试 )《九章算术》是我国古代著名的数学著作， 书中记载有
几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示， 底面 ABCD 为正方形， EF ⎳
底面 ABCD，四边形 ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形 ，EF =
2(1) AB = 2,AE = 2 3，则该刍甍的外接球的体积为 ( )
64 2π
A . B . 32π 3
64 3π
C . D . 64 2π 3

18. (2022 · 湖南 ·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试) 若 3x - 3y > 5-x - 5-y，则 ( )

x y
A. 1 > 1


B. x3 > y3

C. x > y

D. ln x2 + 1 > ln y2 + 1

二、 多选题
19. (2022 · 广东 · 广州市真光中学高三开学考试 ) 已知抛物线 C:y2 = 2px p >0 的焦点为 F，抛物线 C 上的点 M 1,m 到点 F 的距离是 2，P 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点， A，B 是抛物线 C 上两个不同的动点， O 为坐标原点，则 ( )
A. m = ± 2
— —
B. 若直线 AB 过点 F，则 OA ⋅ OB = -3
C. 若直线 AB 过点 F，则 =
D. 若直线 AB 过点 P，则 |AF |+ |BF |>2 |PF |
20. (2022 · 广东 · 广州市真光中学高三开学考试 ) 若函数 f 2x +2 为偶函数， f x +1 为奇函数， 且当x ∈ (0,1 ] 时，f x = lnx，则 ( )
A. f x 为偶函数 B. f e = 1
C. f (4 - e(1) (= -1 D. 当 x ∈ [1,2) 时，f(x) = -ln(2 - x)
1 1 1 1 1 1
21. (2022 · 广东惠州 · 高三阶段练习) 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A B C D 中，M，N，P 分别是 C D，
C C，A A 的中点，则 ( )
1 1
1
A. M，N，B，D 四点共面
B. 异面直线 PD1 与 MN所成角的余弦值为
C. 平面 BMN截正方体所得截面为等腰梯形
3
D. 三棱锥 P - MNB 的体积为 1

3

22. (2022 · 广东 ·鹤山市鹤华中学高三开学考试) 已知椭圆 C： 1(x)6(2) + 9(y)2 = 1 的左，右焦点为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上的动点 (P 不在 x 轴上)，则 ( )
A. 椭圆 C 的焦点在 x 轴上 B. △PF1F2 的周长为 8 + 2 7
C. |PF1 | 的取值范围为 4(9)，4( D. tan ∠F1PF2 的最大值为 3 7
23. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试) 若 f x = |sinx |+ |cosx |，则下列说法正确的有 ( )
A. f x 的最小正周期是π
B. 方程 x = - 2(π) 是 f x 的一条对称轴
C. f x 的值域为 [1, 2 [
D. ∃ a，b >0，对 ∀ x ∈R 都满足 f x + a + f a - x = 2b，(a，b 是实常数)
24. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试 ) 已知抛物线 y2 = 2px 上的四点 A 2,2 ，B，C，P，直线 AB，AC 是圆 M : x - 2 2 + y 2 = 1 的 两 条 切 线，直 线 PQ、PR 与 圆 M 分 别 切 于 点 Q、R，则 下 列 说 法 正 确 的 有 ( )
A. 当劣弧 QR 的弧长最短时， cos ∠QPR = - 3(1)
B. 当劣弧 QR 的弧长最短时， cos ∠QPR = 3(1)
C. 直线 BC 的方程为 x +2y + 1 = 0
D. 直线 BC 的方程为 3x +6y +4 = 0
25. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试) 已知函数 f x 及其导函数 f, x 的定义域均为 R，对任意的 x，y ∈R，恒有 f x + y + f x - y = 2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有 ( )
A. f 0 = 1 B. f, x 必为奇函数
C. f x + f 0 ≥ 0 D. 若 f 1 = 2(1)，则 2023f n = 2(1)
n=1
26. ( 2022 · 广 东 · 深 圳 外 国 语 学 校 高 三 阶 段 练 习 ) 已 知 函 数 f (x ) = 3，则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )
A. f(x) 是周期函数 B. f(x) 满足 f(2 - x) = f(x)
C. f(x)> - 2(1) D. f(x) ≥ k 在 R 上有解，则 k 的最大值是 2(1)
27. (2022 · 广东 · 深圳外国语学校高三阶段练习 ) 如图，梯形 ABCD 中，AB ∥ CD，AB = 2DC = 2 3，BC = 2， AB ⊥ BC，M，P，N，Q 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，将 △ACD 以 AC 为轴旋转一周， 则在此旋转 过程中，下列说法正确的是 ( )
A. MN和 BC 不可能平行
B. AB 和 CD 有可能垂直
C. 若 AB 和 CD 所成角是 60∘，则 PQ = 2
D. 若面 ACD⊥ 面 ABC，则三棱锥 D - ABC 的外接球的表面积是 28π

3
4

28. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 已知双曲线 C: a(x)2(2) - b(y)2(2) = 1 a > b >0 的左， 右顶点分别为 A1，A2，点 P，Q 是 双曲线 C 上关于原点对称的两点 (异于顶点)，直线 PA1，PA2，QA1 的斜率分别为 kPA，kPA，kQA，若 kPA ⋅ kPA = 4(3)，则下列说法正确的是 ( ) 1 2 1 1
2
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y = ± 4(3) x B. 双曲线 C 的离心率为 27
1 1
C. kPA ⋅ kQA 为定值 D. tan ∠A1PA2 的取值范围为 0,+∞
29. (2022 · 广东 · 高三阶段练习 ) 如图， 已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 2，点 M 为 CC 的中点， 点 P 为
1 1 1 1 1
正方形 A1B1C1D1 上的动点，则 ( )
A. 满足 MP⎳ 平面 BDA 的点 P 的轨迹长度为 2
1
B. 满足 MP⊥ AM 的点 P 的轨迹长度为 2 3 2
C. 不存在点 P，使得平面 AMP 经过点 B
D. 存在点 P 满足 PA+ PM = 5

30. (2022 · 广东 · 高三开学考试) 直六棱柱 ABCDEF - A B C D E F 中，底面是边长为 2 的正六边形， 侧棱 AA
1 1 1 1 1 1 1
= 2，点 O 是底面 ABCDEF 的中心，则 (
)
A. OF ⎳ 平面 A CD 1 1 1
2
B . OF1 与 BC 所成角的余弦值为 4
C. BO ⊥ 平面 AA D D 1 1
D. B F 与平面 CC F F 所成角的正弦值为 1 1 1

31. (2022 · 广东 · 高三开学考试) 已知直线 l:y = ax - 1，曲线 C1 :f(x) = ex+1 + 1，曲线 C1 关于直线 y = x + 1 对称 的曲线 C2 所对应的函数为 y = g(x)，则以下说法正确的是 ( )
A. 不论 a 为何值，直线 l 恒过定点 (0,-1)；
B. g(x) = lnx - 1；
C. 若直线 l 与曲线 C2 相切，则a = 1；
D. 若直线 l 上有两个关于直线 y = x +1 对称的点在曲线 C1 上，则0 < a < 1.
32. (2022 · 广东 · 中山一中高三阶段练习) 下列命题中正确的是 ( )
A. 双曲线 x2 - y2 = 1 与直线 x + y - 2 = 0 有且只有一个公共点
B. 平面内满足 ||PA | - |PB| | = 2a a >0 的动点 P 的轨迹为双曲线
C. 若方程 4x2-t + t y2-1 = 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则t >4
D. 过给定圆上一定点 A 作圆的动弦 AB，则弦 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆

33. (2022 · 广东 · 中山一中高三阶段练习) 达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主
人相互映衬， 显现出不一样的美与光泽， 达 · 芬奇提出固定项链的两端， 使其在重力的作用下自然下垂项链
所形成的曲线称为悬链线 . 建立适当的平面直角坐标系后， 得到悬链线的函数解析式为 f(x) = acosh( a(x)(

(a >0)，双曲余弦函数 cosh(x) =
A. f x 是奇函数
B. f x 在 -∞,0 上单调递减
C. ∀ x ∈R，f x ≥ a
D. ∃ a ∈ 0,+∞ ，f x ≥ x2

ex + e-x

2

则以下正确的是 ( )


34. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 设a 与 b是两个不共线向量， 关于向量 a + λb，λ - 1 a + 2λb，- b - 2 a，则下 列结论中正确的是 ( )
A. 当 λ > 1 时，向量 a + λb，λ - 1 a + 2λb不可能共线
B. 当 λ > -3 时，向量 a+ λb，- b - 2 a 可能出现共线情况
C. 若 a ⋅ b = 0，且 a,b为单位向量，则当 λ > -3 时，向量 λ - 1 a+ 2λb，- b - 2 a 可能出现垂直情况
D. 当 λ = 2 时，向量 a - λ b与 -2 2 b - a 平行
35. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 已知函数 f x = |x - 2 |+ 1，g x = kx，若方程 f x = g x 有两个不相等的实 根，则实数 k 的取值可以是 ( )
4 3 4
A . B . C . D . 1 3 4 5
36. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = sin cosx +cos sinx ，下列关于该函数结论 正确的是 ( )
π
A . f x 的图象关于直线x = 2 对称
B. f x 的一个周期是 2π
C. f x 的最大值为 2
D. f x 是区间 (0, 2(π) (上的减函数
37. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习 ) 在现代社会中， 信号处理是非常关键的技术， 我们通过每天都
在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的 “功臣”就是正弦型函数．函数 f (x) =
2i - 1 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则 ( )
i=1
4 sin [(2i - 1)x]

A. 函数 f(x) 为周期函数，且最小正周期为π
B. 函数 f(x) 的图象关于点 (2π ,0) 对称
C. 函数 f(x) 的图象关于直线 x = 2(π) 对称
D. 函数 f(x) 的导函数 f (x) 的最大值为 4
38. (2022 · 湖南 ·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x >0 时，f
(x) = e-x (x - 1)．则下列结论正确的是 ( )
A. 当 x < 0 时，f(x) = ex (x + 1)

B. 函数 f(x) 有两个零点
C. 若方程 f(x) = m 有三个解，则实数 m 的取值范围是 f(-2) < m < f(2)
D. ∀ x1 ,x2 ∈ R, |f x1 - f x2 |max = 2
39. (2022 · 湖南 ·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试 )2022 年北京冬奥会开幕式精彩纷呈， 其中雪花造型惊 艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花， 将一个边长为 1 的正六边形进行线性分形．如图， 图 (n) 中每
个正六边形的边长是图 n - 1 中每个正六边形的边长的 2(1) ．记图 (n) 中所有正六边形的边长之和为 an，
则下列说法正确的是 ( )
A. 图 (4) 中共有 294 个正六边形 1029
B . a4 = 4
C. {an { 是一个递增的等比数列
D. 记 {Sn { 为数列 {an { 的前 n 项和，则对任意的n ∈ N* 且 n ≥ 2，都有 an > Sn-1

三、填空题
40. (2022 · 广东 · 广州市真光中学高三开学考试 ) 已知椭圆 x2 + y2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F，F，
a2 b2 1 2
若椭圆上存在一点 P 使得∠F1PF2 = 3(2) π，则该椭圆离心率的取值范围是 ________．
41. (2022 · 广东广州 · 高三开学考试) 折纸是我国民间的一种传统手工艺术， 明德小学在课后延时服务中聘请了 民间艺术传人给同学们教授折纸 . 课堂上， 老师给每位同学发了一张长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片， 要 求大家将纸片沿一条直线折叠 . 若折痕 (线段) 将纸片分为面积比为 1:3 的两部分， 则折痕长度的取值范围 是 ___________cm.
42. (2022 · 广东 · 深圳外国语学校高三阶段练习) 已知函数 f(x) 的导函数 f (x) 满足： f (x) - f(x) = e2x，且 f(0) = 1，当 x ∈ 0,+∞ 时， x(f(x) - a) ≥ 1 + lnx 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ______________．
43. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 若不等式 a x + 1 ex - x <0 有且仅有一个正整数解， 则实数 a 的取值范围是 _
_____
．
44. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 已知 ⊙C：x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0，直线 l：x +2y + 2 = 0，M 为直线 l 上的动 点，过点 M作 ⊙C 的切线 MA，MB，切点为 A，B，当四边形 MACB 的面积取最小值时， 直线 AB 的方程为
____
．
45. (2022 · 广东 · 高三开学考试) 已知双曲线 C = 1，F1、F2 是双曲线 C 的左、右焦点， M 是双曲线 C 右 支上一点， l 是∠F1MF2 的平分线，过 F2 作 l 的垂线，垂足为 P，则点 P 的轨迹方程为 _______．
46. (2022 · 广东 · 中山一中高三阶段练习) 在 △ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，B，C，已知 sin2A + sin2C = sin2B + sinAsinC，若 △ABC 的面积为 3 4 3，则 a + c 的最小值为 __________．
47. (2022 · 广东 · 高三阶段练习) 已知矩形 ABCD 的周长为 18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱， 当这个正六棱 柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 _____．
48. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习 ) 设 f x =〈若方程 f x = m 有四个不相

等的实根 xi i = 1,2,3,4 ，则 x1 + x2 2 + x3(2)+ x4(2) 的取值范围为 ___________.
49. (2022 · 湖南 ·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试 ) 已知 F 是双曲线 C: a(x)2(2) - b(y)2(2) = 1 a > 0,b >0 的右焦 点，过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直， 垂足为 A，且直线 l 与双曲线 C 的左支交于点 B，若 3 |FA | = |AB |，则双曲线 C 的渐近线的方程为 ______．

四、双空题
50. (2022 · 广东惠州 · 高三阶段练习) 已知抛物线方程 y2 = 8x，F 为焦点， P 为抛物线准线上一点， Q 为线段 PF
|—PF|
与 抛 物 线 的 交 点，定 义： d P = |—FQ| . 已 知 点 P -2,8 2 ，则 d P = ___________；设 点 P -2,t t >0 ，若 4d P - |—PF| - k >0 恒成立，则 k 的取值范围为 ___________.
51. (2022 · 广东 ·鹤山市鹤华中学高三开学考试) 甲射击一次, 中靶概率是 P , 乙射击一次, 中靶概率是 P , 已知
是方程 x2 - 5x +6 = 0 的根, 且 P1 满足方程 x2 - x + 4(1) = 0. 则甲射击一次 , 不中靶概率为 ____
1 2
1 2

_; 乙射击一次, 不中靶概率为 _____.
52. (2022 · 湖南 ·邵阳市第二中学高三阶段练习) 若 f x = ln|a + 1 1-x | + b 是奇函数，则a = _____，b = __
____
．