2023新高考数学立体几何大题专项练习.docx

立体几何专项练习
1.（12分）如图,三棱柱ABC - AxBxQ中，侧面BBCC为菱形，AB丄BC
（I）证明：AC=ABi：
（II ）若 AC丄AB；, ZCBB；=60° , AB二BC.求二面角 A ・ AB - C；的余弦值.

旦A0丄平面
2. （12分）如图,三棱柱ABC-ABG中,側面BBCC为菱形，BE的中点为0,
（1） 证明：B,C±AB；
（2） 若 AC±ABi，ZCBBx=60° • BC二 1.求三棱柱 ABC ・ 的高.

*TT
E分别为线
3. （13分）如题图，三棱锥P-ABC中，PC丄平面ABC, PC二3, ZACB=—. D,
2
段AB. BC上的点，且CD=DE二血，CE二2EB=2.
（I ）证明：DE丄平面PCD
）求二面角A・PD・C的余弦值.

4. （12分）如图，四边形ABCD为菱形，NABC二120° , E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF丄平而ABCD, BE二2DF, AE丄EC・
（I） 证明：平面AEC丄平面AFC
（II） 求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

5. （12分）如图，在以A. B, C, D. E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形.AF=2FD, ZAFD=90° ,且二面角D -AF・E与二面角C - BE・F都是60。.
（I） 证明平面ABEF丄平面EFDC；
（II） 求二面角E-BC・A的余弦值.

6. （12分）（2017・新课标I ）如图，在四棱锥P・ABCD中，AB〃CD,且ZBAP=ZCDP=90° .
（1） 证明：平面PAB丄平面PAD；
（2） 若 PA二PD二AB二DC, ZAPD=90° ,求二面角 A - PB ・ C 的余弦值.

7 （本小題满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，分别为AD.BC的中点，以£＞户为折痕把少戶。 折起，使点C到达点P的位置，且FF丄BF.
（1） 证明：平面FEF丄平面A3F。；
（2） 求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
8. （12分）如图，直四棱柱ABCD - AMD,的底面是菱形，狐二4,山兇2. £BAIA60° ， E, M,
.V分别是况，蹈，的中点.

（1） 证明:MN//平面GDEx
（2） 求二面角A-MA^N的正弦值.
9. （12 分）
如图，直四棱柱ABCD _ ABM的底面是菱形，腊2, ZBAD=60° , E、M,」V分别是 BC, B&,业力的中点.

（1） 证明：丑丫〃平面C.DEx
（2） 求点。到平面以F的距离.
10.如图，D为圆維的顶点，0是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE = AD. ^ABC 是底面的内接正三角形，Q为上一点，PO=^-DO.
6

（1） 证明：QA丄平面PBC：
（2） 求二面角B-PC-E的余弦值.
11. 如图，己知三棱柱ABO個G的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形，•机£分别为3C,
RG的中点，户为出f上一点，过和尸的平面交部于吕 交刃。于五
Ai
A
Ci

1 1）证明：AAE监，且平面娜V丄蹈V
（2）设。为△X0G的中心，若X。〃平面E&GF, AO-AB.求直线8矿与平面A.AMN所成
角的正弦值.
12. 如图.已知三棱柱ABC- ABG 底面是正三角形，侧面B玫CK是矩形•，N分别为BC,
的中点，户为痼上一点.过EG和尸的平而交部于E交刃。于汽

（1） 证明：AAJ/MN.且平面&出為1平面ERCF：
（2） 设。为吕G的中心，若应t册6,血〃平面由GF, ILZ.I^V=j,求四棱锥B-E&.GF 的体枳.
13. 如图.在三棱锥A-BCDM 平面ABD丄平面BCD，AB=AD^。为BD的中点.
（1） 证明：。4丄CD；
（2） 若△QCZ）是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE = 2EA，且二而角E—BC—D 的大小为45°,求三棱锥A — BCD的体积.
A

14.己知直三棱柱ABC-A%；中，側面为正方形，AB = BC = 2, E. F分别为AC 和CC；的中点，D为棱A用上的点，BF丄.
（1） 证明：BF丄DE;
（2） 当用。为何值时，而BBQC与面。庞所成的二面角的正弦值最小？

15. 如图•在直四校柱（侧棱垂直于底面的棱柱）旭8-4月0" .中，底面屈CO是 菱形，且AB = ^AAi = LE是凌AA的中点，EC = j3

（1）求证：丄平面EDC,
（2）求二面角D-EC-B的大小.
16. 如图，底边ABCD是边长为3的正方形，平面A班五丄平面ABCD.
AF ! IDE. AD±DE.AF = 2^6. DE = 3 灰.
F
M
E
A B

(1) 求证：平面ACE 在ADE是否存在点E,使得平面SEF丄平面ABCD.若存在，求出点5的位置;
若不存在，请说明理由.
求直线蹈与平面SBC所成角的正弦值.
丄平面BED：
(2) 在线段AF上是否存在点M，使得二面角初一 BE-D的大小为60“ ？若存在，求 出竺的值；若不存在，请说明理由.
AF
17. 如图，在四棱锥5-ABCD中，底面ABCD为矩形，△S4O为等腰直角三角形，
SA = SD = 2®，A8 = 2，F是BC的中点，二面角S-AD-B的大小等于120° .

18.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是凡何研 咒的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2/T与多面体在该点 的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的而角，角度用弧度制），多面体面上非顶 点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个 顶点有3个面角，每个面角是:，所以正四面体在各顶点的曲率为2汗-3乂：二；r,故其
总曲率为4刀.

（1）求四棱锥的总曲率:

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2,证明：这类多面体的总曲率是常数.
19.如图，四边形MABC t, △ABC是等腰直角三角形，/AC方= 90°, AAMC是边 长为2的正三角形，以人C为折痕，将向上折叠到ADAC的位置，使D点在平面 A5C内的射影在上，再将ZXM4C向卜折疊到△以C的位置，使平面函C丄平面 ABC,形成几何体
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25.如图菱形ABCD中，ZABC = 60。，AC与相交于点O, AE丄平面ABCD,

为等腰直角三角形，PALPB. AB = 2 .
(1) 求证：平面"C丄平面PAC：

(2) 设E为CD的中点，求点厅到平面P8C的距离.
24.如图，在四棱維P—ABCD中，底面ABCD为菱形，平面〃。丄平面ABCD, PA丄PD , PA=PD, 出。=：,E是线段AD的中点，连结BE.
A
B

(1)求证：BE丄PA；
⑵求二面角A-PD-C的余弦值：
PF
(3)在线段地上是否存在点F ,使得身7/平面PCD?若存在，求出兩的值；若不存
在，说明理由.
CF//AE，AB = AE=4 .

(1) 求证：BD丄平面ACFE：
(2) 当直线厂。与平面8功所成的角为?时，求异面直线好 与BE所成的角的余弦債大
4
小・
26.如图所示，在梯形板刀中，AB//CD. ZBCD= 1209 ,四边形X。正为矩形，且津丄平 面疯。AD=CD=BC=CF.

(1)求证：欧丄平面册•:
(2)点."在线段欧上运动•当点."在什么位置时，平面,施与平面砲所成的锐二面角最 大，并求此时二面角的余弦值.

27. 如图，在棱长为2龙的正方形ABCD中，E, F分别为CD，80边上的中点，现 将点C以E尸为轴1旋转至点P的位置，使得P-EF-A为直二面角.

(1) 证明：EF丄PA;
(2) 求异面直线PD与所成角的余弦值.
28. 如图.在四fee P-ABCD中，AD=2y/3, AB = 3. AP = & ADHBC, A£＞丄平面 W,
—2 — 1 —
ZAPB = 90°,点 Z■满足PE = -PA + -PB.

(1) 证明：PE丄DC；
(2) 求二面角A-PD-E的余弦值.