北京师范大学2021量子力学研究生入学考试试题.docx

北京师范大学2021年硕士研究生入学考试

科目名称： 量子力学考试时间： 三小时 满分： 150 分
科目代码： 适用专业： 物理学院等相关专业
注意： G)所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
＠本科目不允许使用计算器； ＠本试题纸须随答题纸 一起装入试题袋中交回！

一、 一 个质量为m的粒子受到线性势V(x) = Fx的作用，其中F是常 数，求能量为E的本征态在动量空间的波函数中(p)。

二氢原子受到库伦势V(r) ＝二的作用，已知电子处千某个“圆轨道”,
其能量和波函数分别为E ;， 中211 = Cre 了Y11 。求：
(1)归 一 化常数C;
(2)求电子出现在经典禁区上的概率。

三、质量为m的粒子束缚在半径为a的圆环上，其哈密顿量为

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H =-

胪 —d2
2m 2ad矿

(1) 求粒子能级和对应波函数；
(2)若粒子受到微扰H'= Asin cp cos cp,运用简并微扰论求能级和波 函数的修正。

四、双势阱中一 个粒子的基态是偶宇称态IS〉， 能量为Es;第 一 激发
态是偶宇称态IA〉，能量为EA 。设零时刻粒子处千IR〉 =古(IS〉+ |A〉)，
即处千右侧势阱中。请问最短要多长时间粒子可以处在左侧势阱态
—
IL〉=—(IS〉 |A〉)砂 (y是 任意相位) ？

五、 个自旋为1/2的粒子做 维运动， 其哈密顿量为 一 一
订＝p工＋m(x)O'z
其中， m ) ＝{ m(m－) , O0,m>0 为常数。 请求出能级和对应波函数。
,
(提示：可假设波函数空间部分是x的指数函数，假设中连续，结果

不必归 ，但要用m和h来表示)
一
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