数学之美-“赌桌上”的数学.docx

“大学文科数学”课程读书报告作业说明表
课程名称
文科数学基础（第二版）
任课教师
戴瑛
学 号
1412719
姓 名
刘金星
专 业
政治学类
联系电话
18822167876
电子邮箱
1336728319@
题 目：“赌桌上”的数学
1、题目确定的依据和想法（楷体小四号，不超过100字）
l 本学期我们学习了概率论的相关知识，研究内容正好与所学有关，有助于我们更深一步学习概率论相关知识
l 赌博蕴含着许多概率论的知识，而“赌博“（不一定有成本）在广大民众的娱乐占有一席之地，是较普及的大众文化
l 通过研究本课题来给欲以赌博为生的人以警示
2、构思和撰写的过程（楷体小四号，不超过200字）
首先用了一段时间把提纲写了出来（下面为提纲内容）：
题目：赌桌上的数学
开头：先介绍文章灵感来源（概率论从赌场而来）
正文：介绍21点的玩法和不同情况赢和输的概率知识
结尾：总结，升华到具体生活
然后用了几天时间在互联网上收集相关素材加以甄选，并大体通读一遍。
最后文章成型，加以修改完善。

3、备注
本文不用做商业用途，部分内容来源于互联网，如有雷同，纯属巧合，概不负责。

“赌桌上”的数学
刘金星
（周恩来政府管理学院 政治学类专业 1412719）
摘 要：借助对赌桌上扑克牌的一种玩法——“21点”的不同情况下胜率的不同以及其中出现不同牌型的概率，运用举例论证等方法最终引出其中所蕴含的概率论问题，并简要运用结论证明赌博并不是一条真正能使人发家的途径，给所有的赌徒和想要走上这条路的人以启示。
关键词：概率；排列组合；扑克；牌型；矩阵
我们知道赌博就是概率的游戏，也正是一些奇特的赌博结果引起了数学家帕斯卡（Pascal）和大数学家费马（Fermat）的兴趣，他们通过信件交流，提出了一些概率论的原理，从而创立了概率论。那么本文就通过研究一种很普遍的扑克玩法——“21点”来具体说明概率论在其中如何发挥作用“影响胜负”。
首先我们了解一下“21点”的玩法。 21点一般用到1-8副牌。庄家给每个玩家发两张明牌，牌面朝上面；给自己发两张牌，一张牌面朝上(叫明牌)，一张牌面朝下(叫暗牌)。大家手中扑克点数的计算是：K、Q、J 和 10 牌都算作 10 点。 A 牌既可算作1 点也可算作11 点，由玩家自己决定。其余所有2 至9 牌均按其原面值计算。首先玩家开始要牌，如果玩家拿到的前两张牌是一张 A 和一张10点牌，就拥有黑杰克(Blackjack)；此时，如果庄家没有黑杰克，玩家就能赢得2倍的赌金（1赔2）。如果庄家的明牌有一张A，则玩家可以考虑买不买保险，金额是赌筹的一半。如果庄家是blackjack，那么玩家拿回保险金并且直接获胜；如果庄家没有blackjack则玩家输掉保险继续游戏。没有黑杰克的玩家可以继续拿牌，可以随意要多少张。目的是尽量往21点靠，靠得越近越好，最好就是21点了。在要牌的过程中，如果所有的牌加起来超过21点，玩家就输了——叫爆掉(Bust)，游戏也就结束了。假如玩家没爆掉，又决定不再要牌了，这时庄家就把他的那张暗牌打开来。一般到17点或17点以上不再拿牌，但也有可能15到16点甚至12到13点就不再拿牌或者18到19点继续拿牌。假如庄家爆掉了，那他就输了。假如他没爆掉，那么你就与他比点数大小，大为赢。[1]
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家可以选择：
● 拿一张牌（Hit）
● 结束拿牌（Stand）
● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。如下图：[2]
这3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand， P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double（如果规则不允许就Stand）。
仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4 到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。
接下来让我们用概率论来分析我们为何得出此表结论。首先不妨让我们先来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于 17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
P(H16) = 8/13 = 0.61538
当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：
PH15) = 7/13 + 1/13×P(H16) = 0.58580
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出 H2—H5 的情况。
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：
(1)玩家没爆但是庄家爆牌
(2)玩家和庄家都没爆但庄家点数小
爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：
G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692
类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：
玩家拿到21点，庄家拿到20~17点
玩家拿到20点，庄家拿到19~17点
玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
玩家拿到18点，庄家拿到17点
玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的概率为：
P4 = G（H8）×G（17）
同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958
前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831
P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
用同样的方法我们可以算出玩家手牌和为 H12 时庄家第一张牌为 H3~H11 时玩家选择 Hit 获胜的概率。把所有情况都算出来，就得到如下的表格：

但前面说过，即便背熟这 3 个矩阵，胜率依然不能过半。最佳策略只能让你不会输的那么快，可没办法帮你赢钱。在 1963 年，麻省理工学院的爱德华•索普教授曾做过实验，发现剩余的牌里小牌（7及以下）越多，庄家越容易获胜，剩余的大牌（9、10、J、Q、K、A）越多，玩家越容易获胜。这其实容易理解，庄家在开牌时会一直抽牌直到点数大于等于 17，如果这时剩下的牌里大牌越多，庄家爆掉的可能性也就越大。并且大牌多时玩家更容易采取 Double 策略增加收益。
说到这里你可能也猜到了，想赢就要变换赌注。在有利时赌大一点，不利时赌小一点。不过问题是，如何知道剩余的牌里什么时候大牌多？答案是——记牌。
有一种基本的记牌方法叫高低法，它的策略是令 2~6 为 -1 分， 7~9 为 0 分， 10、J、Q、K、A 为 1 分，把已经出过的所有牌的分数都加起来，如果这个分数很大的话便说明剩下的牌里大牌较少。但是发完 1 副牌后累积的 15 分和发完 3 副牌后累积的15分所蕴含的意义显然不同，因此又有下面这个调整公式：

比如说开局的时候有 6 副牌，发完 3 副之后累积 15 分，那真正值就是 15/3 = 5。
由此我们可以看出，大致如“21点”这类博弈型的扑克玩法都是与概率论息息相关的，许多职业赌徒都是在深入研究概率论等数学知识，并辅以赌场上的表情变化等赌场技巧，才得以在赌场上暂时发上一笔横财。但即使如此，譬如本文介绍的“21”点玩法还是只有49％的胜率，可见赌博并不是一条真正让人优秀、给人带来美好生活的道路，我们还是要好好努力充实自己，用自己的真本事去开创自己的美好未来！
参考文献：
[1]百度作者pondering,学好概率论，赌博稳赚不赔，百度文库，2011-05-20
[2]百度作者junglerubik,21点：赌场里最可能赢钱的游戏，百度文库，2012-08-09