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压轴大题突破练——函数与导数(二)
1．已知函数f(x)＝aln x－bx2.
(1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值；
(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．
解　(1)由题意知，f(x)＝2ln x－x2，
f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<；
令f′(x)<0，得<x≤e，
∴f(x)在[，)上单调递增，在(，e]上单调递减，
∴f(x)max＝f()＝ln 2－1.
(2)当b＝0时，f(x)＝aln x，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，则aln x≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，即m≤aln x－x，对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，
令h(a)＝aln x－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.
∵x∈(1，e2]，∴ln x>0，
∴h(a)在[0，]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，
∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立．
∵1<x≤e2，∴－e2≤－x<－1，
∴m≤(－x)min＝－e2.
2．函数f(x)＝xln x－ax2－x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)若函数f(x)的图象在直线y＝－x图象的下方，求a的取值范围；
(3)求证：2 0132 012<2 0122 013.
(1)解　f′(x)＝ln x－2ax.
因为f′(1)＝0，所以a＝0.
(2)解　由题意，得xln x－ax2－x<－x，
所以xln x－ax2<0.
因为x∈(0，＋∞)，所以a>.
设h(x)＝，则h′(x)＝.
令h′(x)>0，得0<x<e，
所以h(x)在(0，e)上单调递增；
令h′(x)<0，得x>e，
所以h(x)在(e，＋∞)上单调递减．
所以h(x)max＝h(e)＝，
所以a>.
(3)证明　由(2)知h(x)＝在(e，＋∞)上单调递减，
所以当x>e时，h(x)>h(x＋1)，
即>，
所以(x＋1)ln x>xln(x＋1)，
所以ln xx＋1>ln(x＋1)x，
所以xx＋1>(x＋1)x，
令x＝2 012，得2 0122 013>2 0132 012.
3．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1.
(1)若函数f(x)在点A(1，f(1))处的切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，求a的值；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．
(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
所以f′(1)＝1－a.
所以切线l的斜率为1－a.
因为切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，
所以1－a＝，解得a＝.
(2)解　若a≤0，则f′(x)＝－a>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
而f(1)＝1－a>0，f(x)≤0不恒成立，故a>0.
考虑a>0，则当x∈(0，]时，f′(x)＝－a>0；
当x∈[，＋∞)时，f′(x)＝－a<0.
所以f(x)在(0，]上是单调递增函数，
在[，＋∞)上是单调递减函数．
所以f(x)的最大值为f()＝－ln a.
要使f(x)≤0恒成立，只须－ln a≤0即可．
由－ln a≤0，解得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．
(3)证明　由(2)，知当a＝1时，f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)＝0，所以ln x<x－1在x∈(0,1)上恒成立．
令x＝(k∈N*)，则ln<－1＝－，
令k＝1,2，…，n，则有ln<－，ln<－，ln<－，…，ln<－，
以上各式两边分别相加，
得ln＋ln＋…＋ln<－(＋＋…＋)，
即ln<－(＋＋…＋)，
故ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．
4．已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；
(2)当a＝－1时，过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；
(3)设定义在D上的函数y＝g(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，若>0在D内恒成立，则称点Q为函数y＝g(x)的“好点”．当a＝8时，试问函数y＝f(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x，f′(x)＝2x－3＋＝＝(x>0)，
当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝1时，f(x)取到极小值－2.
(2)当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x2－x，
f′(x)＝2x－1－(x>0)，
所以切线的斜率k＝2m－1－＝
＝，
整理得m2＋ln m－1＝0，
显然m＝1是这个方程的解，
又y＝x2＋ln x－1在(0，＋∞)上是增函数，
所以方程x2＋ln x－1＝0有唯一实数解，故m＝1.
(3)当a＝8时，f(x)＝8ln x＋x2－10x，
f′(x)＝2x－10＋，
函数y＝f(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0))处的切线方程h(x)＝(2x0＋－10)(x－x0)＋x－10x0＋8ln x0.
设F(x)＝f(x)－h(x)，则F(x0)＝0，
F′(x)＝f′(x)－h′(x)＝(2x＋－10)－(2x0＋－10)
＝，
①若0<x0<2，F(x)在(x0，)上单调递减，
所以当x∈(x0，)时，F(x)<F(x0)＝0，
此时<0，不合题意，
所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；
②若x0>2，F(x)在(，x0)上单调递减，
所以当x∈(，x0)时，F(x)>F(x0)＝0，
此时<0，不合题意，
所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；
③若x0＝2，F′(x)＝≥0，
即F(x)在(0，＋∞)上是增函数，
当x>x0时，F(x)>F(x0)＝0，
当x<x0时，F(x)<F(x0)＝0，
>0恒成立，
所以点(2，－16＋8ln 2)为函数y＝f(x)的“好点”．
故函数y＝f(x)存在“好点”，“好点”的横坐标为2.