高三空间立体几何综合复习(一)(教师) - 副本.doc

高三 空间立体几何综合复习（一）
一、选择题
1、已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A′B′C′，那么原 △ABC的面积为 ．
解析：如图：作C′D′平行于y′轴，交x′轴于D′，

在△A′D′C′中，由正弦定理得：
＝⇒a＝⇒S△ABC＝×2×2＝2.
答案：2
2、（2012年高考（北京））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （　B　）
A．
B．
C．
D．

3．一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为(　A　)

A．6 B．8

C．8 D．12

5．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋，则正视图中x的值为(　c　)
A．5 B．4
C．3 D．2

6、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ c ）
A． B． C． D．

7、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于；
②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；
④存在异面直线m、n，使得m//，m//，n//，n//
其中，可以判定与平行的条件有 （ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8.有五根长都为2的直铁条，若再选一根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ( d )
(A)（0,） (B)（1, ） (C) (,） (D) （0,）

变式：设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（　a　）
A． B．
C． D．
9、如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（　Ｄ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）
（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ B ）
A． B． C． D．

答.B．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.
12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
【解】：如图在三棱柱中，设，
由条件有，作于点，
则
∴ ∴
∴ 故选B
13、（2012年高考（新课标））已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为 （　A　）
A． B． C． D．
提示O-ABC为正四面体(讲正四面体的内外接球的半径位置)， =
讲 正四面体中的异面直线成角情况（对边情况；中线情况）

变式：已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则（ B ）
A. B. C. D.
解析：取底面BCD的中心点O，连接AO,BO,易知,取BC的中点E，连接AE、OE，易知，易知，延长BO交CD于F，则，又，，，即，
14、如图，在斜三棱柱中，，，则在底面ABC上的射影H必在（ A ）
A. 直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.内部
如图，由,所以,,在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上

15、已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。 ( B )
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解
故选择B
16、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
17、正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）
A．2 B．3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】：C
【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。
18、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ D ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
19、与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点( D )
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
【答案】D上的所有的点
20、已知直线与平面所成角为，P为空间一定点，过P作与，所成角都是的直线，则这样的直线可作（ A ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条
法1：圆锥法 法2：与法向量
21、已知二面角的大小为，P为平面外的一定点，则过点P且与所成的角都是的直线的条数为（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.5
法1：直接与平面的关系，找中间位置 法2：与法向量成65

22、已知异面直线a,b所成的角为，空间中有一定点P，过P点作直线，使得与a,b所成的角为，则这样的有（ A ）条
A.0 B.2 C.3 D.无数
解法同上
23、已知二面角的大小为，过外一定点的平面，与平面和平面所成的角都是的平面的个数为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
转化为 三个法向量之间的关系
24、在正三棱锥P-ABC中，M为内(含边界)一动点，且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是（B ）
A.一条折线段 B.一条线段 C.一段圆弧 D.一段抛物线

B.提示：如图由于正三棱锥P-ABC的三个侧面积相等，因此，点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列等价于三个三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积成等差数列，即,所以，从而,故点M的轨迹是经过的重心且平行于BC的一条截线段
25、已知正方体的棱长为1，点P在线段上，当最大时，三棱锥P-ABC的体积为（B ）
9、 B. C. D.

26、如图所示，M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A和AB的点，若=，那么的大小是（ C ）
A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定

27、如图，正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1，CC1的中点，P为A1B1上的一动点，则PF与AE所成的角为（ C ）
A、 B、 C、 D、不能确定

28、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1B1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：
①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；
②二面角P-BC1-D的大小为定值；
③三棱锥D-BPC1的体积为定值；
④异面直线A1P与BC1间
的距离为定值。其中真命题的个数为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
29、 (2010北京)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 ( D )　
　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

30、如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是（D ）
A.
B.
C. 三棱锥的体积为定值
D. 异面直线所成的角为定值
31、已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为
（A） (B)
(C) (D)
【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
A
B
C
S
E
F
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴
32、正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A B C D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，
33、在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ C ）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
【答案】C
解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。
在中，，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设在正四棱柱中，由于，
所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以

34、如图所示，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且,则与平面所成角的正切值构成的集合是（C）. .
. .

35、正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量，则相邻两侧面所成二面角的余弦值与之间的函数解析式是（ A ）
A. B. C. D.
36、如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到的距离为（ C ）

Α. Β. C. D.2

37、用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( B )
A. B.
C. D.

二．填空题
38、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

变式：等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．
答案：.设，作
，则，为二面角的平面角
，结合等边三角形
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则
,
故所成角的余弦值

39、已知O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影，若PA=PB=PC，则O为△ABC的
___外____心；若有，则O为△ABC的___垂____心；若P到△ABC三边的距离相等，则O为△ABC的__内____心 ；三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，O为底面△ABC的__内____心.
40、在平面几何里，“设△ABC的两边AB、AC相互垂直，则”，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得
出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面两两相互垂直，则_三个侧面面积的平方和等于底面的平方和_____________”。
41、正方体的截面不可能是①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形.下述选项正确的是（ B ）
B. ①②⑤ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤
42、如图，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则与AC夹角的余弦值
为

方法：基向量法
43、如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，
EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是 .

44、如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角的平面角，为60°
C
D
又由已知，∠ABD＝30°
连结CB，则∠ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m
设AD＝2，则AC＝，CD＝1
AB＝＝4
∴sin∠ABC＝
答案：
45、在正三棱柱中，AB==1，边AB上有一点P，锐二面角、的大小分别为，则的最小值为
。提示设AP=，易得
46．直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
解析：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆心为O′，球心为O，在Rt△OO′B中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.
答案：20π
47、如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。
【答案】
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。

三、解答题
48、如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，
．
（I）证明：平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

50、(07全国)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

解法一：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．

D
B
C
A
S
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则
51、在四面体ABCD中，AB=AC=1，，AD= , 是正三角形
C. 求证：
D. 求AB与平面ACD所成的角

(取CB中点E连结EA、ED)
52、已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，
（1） 求证：
（2） 若PB=3,求直线AB与平面PBC所成的角

53、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=,=
1、 证明：平面PAB
2、 求异面直线PC与AD所成的角的大小
3、 求二面角P-BD-A的大小

54、如图已知矩形过作平面,再过作交于作交于
求证：
若平面交于，求证：.

55、如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时的值为多少？

解：因平面，则又，故平面，故平面平面，，在
因此
当且仅当时，上式中等号成立，即取得最大值
这时，，又，由三垂线定理的逆定理，得，在中，由，知
56、如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是

57、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，。另一个侧面是正三角形。
（1）求证：
（2）求二面角的大小
（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。

58、如图，在三棱锥中，，，，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。

59、（2006年江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
图1
图2

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP
（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600
在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B－A1P－F的大小为