高三空间立体几何综合复习(一)(教师) - 副本.doc

高三 空间立体几何综合复习（一）一、选择题1、已知ABC的斜二测直观图是边长为2的等边ABC，那么原 ABC的面积为 解析：如图：作CD平行于y轴，交x轴于D，在ADC中，由正弦定理得：aSABC222.答案：22、（2012年高考（北京）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（B）ABCD 3一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为(A)A6 B8 C8 D125一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12，则正视图中x的值为(c)A5 B4C3 D26、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ c ）A B C D7、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线m、n，使得m/，m/，n/，n/其中，可以判定与平行的条件有（ B ）A1个 B2个C3个D4个8.有五根长都为2的直铁条，若再选一根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ( d ) (A)（0,） (B)（1, ） (C) (,） (D) （0,）变式：设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（a）ABCD9、如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且则点到平面的距离为（ ） 10、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ B ）AB CD答.B由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（） （） （） （）【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则 故选B13、（2012年高考（新课标）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（A）ABCD提示O-ABC为正四面体(讲正四面体的内外接球的半径位置)， =讲 正四面体中的异面直线成角情况（对边情况；中线情况）变式：已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则（ B ）A. B. C. D.解析：取底面BCD的中心点O，连接AO,BO,易知,取BC的中点E，连接AE、OE，易知，易知，延长BO交CD于F，则，又，即，14、如图，在斜三棱柱中，则在底面ABC上的射影H必在（ A ） A. 直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.内部如图，由,所以,在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上15、已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。 ( B )A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解 故选择B16、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 17、正方体ABCD的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）A2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：C【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。18、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ D ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条19、与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点( D )（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【答案】D上的所有的点20、已知直线与平面所成角为，P为空间一定点，过P作与，所成角都是的直线，则这样的直线可作（ A ）A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 法1：圆锥法 法2：与法向量21、已知二面角的大小为，P为平面外的一定点，则过点P且与所成的角都是的直线的条数为（ B ）A.2 B.3 C.4 D.5法1：直接与平面的关系，找中间位置 法2：与法向量成6522、已知异面直线a,b所成的角为，空间中有一定点P，过P点作直线，使得与a,b所成的角为，则这样的有（ A ）条A.0 B.2 C.3 D.无数解法同上23、已知二面角的大小为，过外一定点的平面，与平面和平面所成的角都是的平面的个数为（ B ）A.1 B.2 C.3 D.4转化为 三个法向量之间的关系24、在正三棱锥P-ABC中，M为内(含边界)一动点，且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是（B ）A.一条折线段 B.一条线段 C.一段圆弧 D.一段抛物线B.提示：如图由于正三棱锥P-ABC的三个侧面积相等，因此，点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列等价于三个三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积成等差数列，即,所以，从而,故点M的轨迹是经过的重心且平行于BC的一条截线段25、已知正方体的棱长为1，点P在线段上，当最大时，三棱锥P-ABC的体积为（B ）9、 B. C. D. 26、如图所示，M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A和AB的点，若=，那么的大小是（ C ）A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定 27、如图，正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1，CC1的中点，P为A1B1上的一动点，则PF与AE所成的角为（ C ）A、 B、 C、 D、不能确定 28、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1B1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：异面直线C1P与CB1所成的角为定值；二面角P-BC1-D的大小为定值；三棱锥D-BPC1的体积为定值；异面直线A1P与BC1间的距离为定值。其中真命题的个数为( D )A1B2C3D429、 (2010北京)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积 ( D )（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关30、如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是（D ） A. B. C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值31、已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 32、正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为A B C DABCDA1B1C1D1OD 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，33、在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ C ）A若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为【答案】C解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以34、如图所示，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且,则与平面所成角的正切值构成的集合是（C）. . . . 35、正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量，则相邻两侧面所成二面角的余弦值与之间的函数解析式是（ A ）A. B. C. D.36、如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到的距离为（ C ） . . C. D.237、用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为( B )A. B. C. D.二填空题38、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_变式：等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,故所成角的余弦值39、已知O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影，若PA=PB=PC，则O为ABC的_外_心；若有，则O为ABC的_垂_心；若P到ABC三边的距离相等，则O为ABC的_内_心 ；三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，O为底面ABC的_内_心.40、在平面几何里，“设ABC的两边AB、AC相互垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面两两相互垂直，则_三个侧面面积的平方和等于底面的平方和_”。41、正方体的截面不可能是钝角三角形；直角三角形；菱形；正五边形；正六边形.下述选项正确的是（ B ）B. B. C. D.42、如图，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则与AC夹角的余弦值为 方法：基向量法43、如图，在正三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE，且BC1，则正三棱锥ABCD的体积是 .44、如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为60CD又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s 5*u.c o*m设AD2，则AC，CD1AB4sinABC答案：45、在正三棱柱中，AB=1，边AB上有一点P，锐二面角、的大小分别为，则的最小值为 。提示设AP=，易得46直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_解析：在ABC中ABAC2，BAC120，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r2，设此圆心为O，球心为O，在RtOOB中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.答案：2047、如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。三、解答题48、如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， （I）证明：平面SAB； （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。50、(07全国)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得DBCAS（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则51、在四面体ABCD中，AB=AC=1，AD= , 是正三角形C. 求证：D. 求AB与平面ACD所成的角(取CB中点E连结EA、ED)52、已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，（1） 求证：（2） 若PB=3,求直线AB与平面PBC所成的角53、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=,=1、 证明：平面PAB2、 求异面直线PC与AD所成的角的大小3、 求二面角P-BD-A的大小54、如图已知矩形过作平面,再过作交于作交于 求证： 若平面交于，求证：.55、如图，在三棱锥中，底面，于，于，若，则当的面积最大时的值为多少？解：因平面，则又，故平面，故平面平面，在因此当且仅当时，上式中等号成立，即取得最大值这时，又，由三垂线定理的逆定理，得，在中，由，知56、如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是57、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，。另一个侧面是正三角形。（1）求证：（2）求二面角的大小（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。 58、如图，在三棱锥中，平面平面。（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。59、（2006年江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）图1图2解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2而A=600 , ADF是正三角形，又AE=DE=1, EFAD在图2中，A1EEF, BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE,又A1E平面BEF,即 A1E平面BEP（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, A1E是平面A1BP的垂线，又A1E平面BEP，A1EBE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中, BE=EP=2而EBP=600 , EBP是等边三角形.又 A1E平面BEP , A1B=A1P, Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在RtA1EQ中，,EA1Q=60o, 直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM A1P与M，连结QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP从而A1PF=A1PQ, 由及MP为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,从而FMQ为二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小为