八年级(上)数学讲义2及答案.doc

勾股定理及其逆定理（二）
本章内容：1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a+b= c，那么这个三角形是直角三角形。
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）首先求出最大边（如c）；（2）验证a+b与c是否具有相等关系；若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。若c2 ≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。
2．直角三角形的判定方法小结：（1）三角形中有两个角互余；（2）勾股定理的逆定理；
3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。
典型例题：
例1. 在中，，于D，求证：（1）（2）
分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。
证明：

例2、 已知中，，求AC边上的高线的长。
分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。
解：

例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，
求证：AB2－AD2=BD·DC
思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。

例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90°,求S四边形ABCD

例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = ,
求证: ÐEFA = 90°
分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。

专题检测：
1、如图在ABC中, ÐBAC = 90°, AD^BC于D, 则图中互余的角有
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
2、如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为_____
3、 已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：。

4. 已知：钝角，CD垂直BA延长线于D，求证：
。

5、已知：如图，DABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：BD的长。
分析：因为DABC中，AB=AC，可作AE⊥BC于E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可列方程式求解。

参考答案
例1：（1）

（2）又

即
例2：

为，且
作于D
设，则

答：AC边上的高线长为。
例3：由AB=ACBE=EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得
AB2－AD2=BE2－DE2
AB2=AE2+BE2
AD2=AE2+DE2
由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是
AB2－AD2=BD·CD
AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)
结合图形知：BE+DE=BD
BE－DE=CE－DE=CD
例4：思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求
AC2=AB2+BC2=32+42=25
在△CAD中，我们又可发现：
AC2+AD2=25+122=169
DC2=132=169
∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知
∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

例5：
证明: 设正方形ABCD的边长为4a
则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a
在RtABE中
在RtADF中
在RtECF中
由上述结果可得
由勾股定理逆定理可知AEF为Rt, 且AE是最大边, 即ÐAFE = 90°
专题检测:
1、C 2、5或
3、在中，
在中，
在中，
在中，

4、在中， 在中，

5、解：作AE⊥BC于E ∵AB=AC，BC=16
∴BE=CE= （等腰三角形的性质）
在中 （勾股定理）
设DE=x
在中
在中
∴
∴
5