反常积分.doc

反常积分
　　无限区间上的积分或无界函数的积分，这两类积分叫作广义积分.

1.无限区间上的积分

　　一般地，我们有下列定义

　　定义6.2 设函数 在区间 上连续，如果极限 （ ）存在，就称上极限值为 在 上的广义积分.记作　
　　即 （ 6.24 ）
　　这时我们说广义积分 存在或收敛；
　　如果 不存在，就说 不存在、发散或不收敛.
　　类似地，可以定义 在 及 上的广义积分.
　　（ 6.25 ）
　　其中 （ 6.26 ）
　　对于广义积分 ，其收敛的充要条件是： 与 都收敛.
　　广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.
　　为方便起见，引入记号
　　，
　　这样，若 为 的一个原函数，则
　　（ 其中 ）
　　注意：这里 与 是独立变化的，不能合并成 .

2.无界函数的积分

　　先给出瑕点或奇点的概念，若 （或 ）时， ，则点 （或点 ）称为无界函数 的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是 的瑕点.
　　　定义6.3设函数 在 上连续，左端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作
　　（ 6.27 ）
　　这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.
　　注： 表明 从大于0的方向趋于0，已经隐含了 .
　　类似地，设函数 在 上连续，右端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作
　　　（ 6.28 ）
　　这时我们说广义积分 存在或收敛.如果
　　不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.
　　还有，设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均为 的瑕点，如果
　　及 均存在，其中 为 内的一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

　　　如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.
　　对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在. 和 都存在.
　　其中 为 内的一个确定点，且 与
　　两者之间是独立变化的，
　　另外，设函数 在 上除一个内部点 外连续
　　，且内部点 为 的瑕点，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作

　　（ 6.29 ）
　　　如果 及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.
　　对于内部点 为 的瑕点的广义积分 有
　　存在和 均存在.和 都存在.
　　广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限.
　　为方便起见，引入记号
　　左端点为瑕点时，记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
　　右端点 为瑕点时， 记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
　　左端点 、右端点 均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
　　（ 为 内的一个确定点）
　　（ ）
　　( 这里 的值有时不必马上算出，可对抵掉. )
　　仅内部点 为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
　　注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.