初等几何-第六章---各类考试中的几何.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,6.1.1,中考几何问题的基本特点,1.,注重基础知识，强调联系实际,近年来，中考几何试题非常关注与实际生活的联系，几何知识与生活实际联系密切，强调人与自然、社会协调发展的现代意识，引导学生关注社会生活和经济发展的基本走向，密切联系最新的科技成果和社会热点,.,注重促进学生几何学习方式的改善，几何学习效率的提高，激发并保持学生的学习兴趣，使学生体会到几何就在我们身边,.,2.,突出学科特点，加大探究力度,近年来，中考几何试题突出了平面几何的两大内容：一是以图形为主，直观性强，所考查的图形生动形象；二是以推理为主，逻辑性强，通过概念、判断、推理、论证，考查学生的逻辑思维能力,.,近年来，中考几何试题十分关注学生的阅读理解能力、动手实践能力、探索发现能力、抽象归纳能力的考查,.,3.,关注知识整合，考查思想方法,近年来，关注几何知识之间的内在联系，体现几何知识的整体性，用具体的试题为载体考查数学思想和数学方法，是中考几何试题的一大亮点,.,初中阶段的几何学习要掌握的数学思想主要有：数形结合、分类讨论、化归与转化等；主要数学方法有：构造法、面积法、换元法、代数法等,.,这些数学思想和数学方法在近年来的中考试题中进行了多方位、多层次的考查,.,6.,1.3,中考几何问题的基本解法,中考几何问题是,“,按课标要求，不出偏题、怪题和死记硬背的题目,”,，突出对基础知识、基本技能及基本数学思想方法的考查，着眼于考查学生的基本数学能力，强化应用，着重创新，强调几何与学生现实生活的紧密联系，减少繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低论证过程形式化的要求,.,中考几何问题的基本解法是：数形结合法、分类讨论法、化归法、反证法和构造法等,.,例,1,（南充）,如图，已知,AB,是,O,的直径，,BP,是,O,的弦，弦,CD,AB,于点,F,，交,BP,于点,G,，,E,在,CD,的延长线上，,EP,=,EG,.,（,1,）求证：直线,EP,为,O,的切线；,（,2,）点,P,在劣弧,AC,上运动，其他条件不变，若,BG,2,=,BF,BO,试证明,BG,=,PG,；,（,3,）在满足,(2),的条件下，,已知,O,的半径为,3,，,sin,B,=,求弦,CD,的长,分析：（,1,）连接,OP,先由,EP,=,EG,，证出,EPG,=,BGF,再由,BFG,=,BGF,+,OBP,=90,推出,EPG,+,OPB,=90,（,2,）连接,OG,由,BG,2,=,BF,BO,得出,BFG,BGO,得出,BGO,=,BFG,=90,得出结论,（,3,）连接,AC,、,BC,、,OG,由,sin,B,=,，求出,r,由（,2,）得出,B,=,OGF,，求出,OF,再求出,BF,，,FA,，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以,2,得出,CD,长度,答：,CD,=,例,2.,（南充）如图，二次函数,y,=,x,2,+,bx,3,b,+3,的图象与,x,轴交于,A,、,B,两点（点,A,在点,B,的左边），交,y,轴于点,C,，且经过点（,b,2,，,2,b,2,5,b,1,）,.,（,1,）求这条抛物线的解析式；,（,2,）,M,过,A,、,B,、,C,三点，交,y,轴于另一点,D,，求点,M,的坐标；（,3,）连接,AM,、,DM,，将,AMD,绕点,M,顺时针旋转，,两边,MA,、,MD,与,x,轴、,y,轴,分别交于点,E,、,F,，若,DMF,为等腰三角形，,求点,E,的坐标,.,解：（,1,）把点（,b,2,，,2,b,2,5,b,1,）代入解析式，得,2,b,2,5,b,1=(,b,2),2,+,b,(,b,2),3,b,+3,，解得,b,=2.,抛物线的解析式为,y,=,x,2,+2,x,3.,（,2,）由,x,2,+2,x,3=0,，得,x,=,3,或,x,=1.,A,（,3,，,0,）、,B,（,1,，,0,）、,C,（,0,，,3,）,.,抛物线的对称轴是直线,x,=,1,，,圆心,M,在直线,x,=,1,上,.,设,M,（,1,，,n,），作,MG,x,轴于,G,，,MH,y,轴于,H,，连接,MC,、,MB,.,MH,=1,，,BG,=2.,MB,=,MC,，,BG,2,+,MG,2,=,MH,2,+,CH,2,，,即,4+,n,2,=1+,（,3+,n,）,2,，解得,n,=,1,，,点,M,（,1,，,1,）,（,3,）如图，由,M,（,1,，,1,），得,MG,=,MH,.,MA,=,MD,，,Rt,AMG,RtDMH,，,1=2.,由旋转可知,3=4.,AME,DMF,.,若,DMF,为等腰三角形，则,AME,为等腰三角形,.,设,E,（,x,，,0,），,AME,为等腰三角形,分三种情况：,M,在,AB,的垂直平分线上，,MA,=,ME,=,MB,，,E,（,1,，,0,）,例,3,（中考）,如图，在直角坐标系中，已知点,A,(0,，,2),、点,B,(2,，,0),，过点,B,和线段,OA,的中点,C,作直线,BC,，以线段,BC,为边向上作正方形,BCDE,（,1,）若抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0,）,经过,A,、,D,、,E,三点，求该抛物线的解析式,（,2,）若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线,BC,同时向上平移，直至正方形的顶点,E,落在,y,轴上时，正方形和抛物线均停止运动,在,运动过程中，设正方形落在,y,轴右侧部分的面积为,s,，求,s,关于平,移时间,t,（秒）的函数关系式，并写,出相应自变量,t,的取值范围,运动停止时，求抛物线的顶点坐标,解：,（,1,）由题意可知：,OB,=2,，,OC,=1,如图（,1,）所示，过,D,点作,DH,y,轴于,H,，过,E,点作,EG,x,轴于,G,易证,CDH,BCO,，,DH,=,OC,=1,，,CH,=,OB,=2,，,D,（,1,，,3,）；,同理,EBG,BCO,，,BG,=,OC,=1,，,EG,=,OB,=2,，,E,(3,，,2),抛物线,注,几何动态问题是近年来中考出现较多的题型，它集质点的运动、线段的运动、图形的变化一身，集几何、代数知识于一体，是数与形的巧妙结合,.,在运动中分析、在变化中求解，这不仅反映了动态型命题的重要特征，而且还展示了动态型命题特有的发展功能和思维功能,.,6.2,高考几何问题,6.2.1,高考几何问题的基本特点,高考几何问题主要内容包括学生必修与选修中的立体几何、解析几何及平面几何中的基础知识与基本技能,.,几何问题是高考的必考内容之一，近年来已形成,“,保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新,”,的特点,.,这些特点，既有试题在几何基础层面上的呈显，又有试题在数学能力上的体现,.,1.,试题在基础知识层面的特点,（,1,）紧扣教材，注重基础,（,2,）全面考查，重点突出,（,3,）顾及体系，立意较高,2,试题在数学能力层面的特点,（,1,）考查思想，突出本质,（,2,）低入高出，区分明显,（,3,）注重思维，减少计算,（,4,）能力立意，全面考查,（,5,）文理试题，差异合理,（,6,）稳中有进，适度创新,6.2.2,高考几何问题的基本内容,随着高中数学课程改革的推进，平面几何列入了高中选修课程宁夏、江苏、广东、海南等省在高考中先后出现了平面几何题这些试题虽然是选做题，但它却传递了一个重要信息：高考要考平面几何，高考复习也要复习平面几何,其主要内容包括初中平面几何的内容，高中补充的内容，如射影定理、,平行射影,、平面与圆柱面的截线、平面与圆锥面的截线、梯形中位线定理、圆幂定理等,高考立体几何试题，以基本位置关系的判定与柱、锥、球的相关角、距离、体积计算为基础题，以证明空间线面的位置关系和有关数量关系的计算，诸如空间线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算,.,高考命题的载体可能趋向于不规则几何体，但仍以,“,方便建系,”,为原则,.,在高考中，立体几何始终占有重要位置，以中档题为主，兼有低档题,.,高考解析几何试题，既要考查直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、方程与几何性质及图形等基础知识，又要将几何图形置于直角坐标系中，借助方程研究曲线，体现“代数方法研究几何问题”的解析几何的基本思想方法；既综合性强又有适当的难度和较好的区分度,.,纵观近年全国各地数学高考题，平面解析几何问题常见的有：选择题、填空题考查基础知识；解答题分为解析几何中最值和参数范围问题；解析几何中定点、定值和存在性问题；圆锥曲线与向量问题；圆锥曲线的切线及弦长问题；解析几何交汇问题；求轨迹方程问题等,.,6.2.3,高考几何问题的基本解法,高考几何试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查,.,一是数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；二是数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；三是常用数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等,.,数学思想方法与数学基础知识之间，可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高学生数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是分析问题和解决问题的数学“能力”,.,例,1,(,四川,),如图，在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,底面,ABC,，,AB,=,AC,=2,AA,1,，,BAC,=120,，,D,D,1,分别是线段,BC,B,1,C,1,的中点，,P,是线段,AD,的中点（,）在平面,ABC,内，试作出过点,P,与平面,A,1,BC,平行的直线,l,，说明理由，并证明直线,l,平面,DD,1,A,1,；（,）设（,）中的直线,l,交,AB,于点,M,，交,AC,于点,N,，求二面角,A,-,A,1,M,-,N,的余弦值,与,AA,1,相交,所以直线,l,平面,ADD,1,A,1,设,AA,1,=1,，则由,AB,=,AC,=2,AA,1,，,BAC,=120,，有,BAD,=60,，,AB,=2,，,AD,=1.,例,2,（四川）三棱锥,A,BCD,及其侧视图、俯视图如图所示，设,M,，,N,分别为线段,AD,，,AB,的中点，,P,为线段,BC,上的点，且,MN,NP,（,1,）证明：,P,是线段,BC,的中点；,（,2,）求二面角,A,NP,M,的余弦值,解：（,1,）由三棱锥,A,BCD,及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥,A,BCD,中：,平面,ABD,平面,CBD,AB,=,AD,=,BD,=,CD,=,CB,=2,设,O,为,BD,的中点，连接,OA,，,OC,于是,OA,BD,，,OC,BD,所以,BD,平面,OAC,BD,AC,因为,M,，,N,分别为线段,AD,，,AB,的中点,所以,MN,BD,，又,MN,NP,故,BD,NP,所以,AC,NP,在,ABC,中，,N,为,AB,的中点,所以,P,为线段,BC,的中点,(2),（,2,）以,O,为坐标原点，,OB,，,OC,，,OA,分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系，则,于是,设平面,和平面,的法向量分别为,由,设 ，则,由,设 ，则,所以二面角,的余弦值,例,3,(,四川,),已知椭圆,C,：,（,a,b,0,）的焦距为,4,，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。,（,1,）求椭圆,C,的标准方程；,（,2,）设,F,为椭圆,C,的左焦点，,T,为直线,x,=,-,3,上任意一点，过,F,作,TF,的垂线交椭圆,C,于点,P,，,Q,。,（,i,）证明：,OT,平分线段,PQ,（其中,O,为坐标原点）；,（,ii,）当,最小时，求点,T,的坐标。,解：（,1,）依条件，有,所以椭圆,C,的标准方程为,所以,O,，,N,，,T,三点共线,.,即,OT,平分线段,PQ,（其中,O,为坐标原点）,.,6.3,竞赛几何问题,6.3.1,竞赛中的几何问题的基本特点,竞赛中的几何问题包括平面几何、立体几何、平面解析几何、组合几何与图论初步四方面的问题,.,这些竞赛几何问题具有以下基本特点：,1,竞赛中几何问题的交叉性,所谓“交叉性,”,，这里仅指：,（,1,）中学几何知识与大学数学方法的交叉,.,（,2,）学校几何与研究几何的交叉,.,（,3,）严肃几何与趣味几何的交叉,.,2,竞赛中几何问题的研究性,所谓研究性，这里仅指：,（,1,）内容的新颖性,（,2,）方法的创造性,（,3,）问题的研究性,3,竞赛中几何问题的艺术性,所谓艺术性，这里仅指：,（,1,）构题的趣味性,（,2,）解法的技巧性,4,竞赛中几何问题的教育性,6.3.2,竞赛中几何问题的基本内容,竞赛中的几何问题包括平面几何、立体几何、平面解析几何、组合几何与图论初步中的相关问题，以平面几何问题为主,.,在初中、高中联赛（二试）、冬令营及,IMO,中必有平面几何试题,.,在,IMO,的几何试题中，从第,22,届（,1981,）开始，立体几何在竞赛中已有,20,多年没有出现，究其原因，一方面是组合几何的涌入，另一方面是难于命制适度而新颖的立体几何题,.,在初、高中数学竞赛大纲中，几何问题基本内容是：,（,1,）常规的平面几何问题：包括证明题、计算题、轨迹题、作图题等，着重在共线点、共圆点、共点线、轨迹、几何变换、几何不等式、几何极值和充要条件等方面，强调运动变化的观点,.,（,2,）组合几何问题：所谓组合几何，就是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，是几何与组合数学的综合和交叉,.,主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得几何性质,.,所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质,.,这是近几年来数学奥林匹克中热门而极具挑战性的新颖题型，这类问题离不开几何知识的运用以及几何结构的分析，但更重要的是在于精巧的构思,.,（,3,）立体几何问题：包括证明题、计算题、轨迹题,.,所涉及的主要知识包括直线与平面、多面角、四面体与多面体、旋转体等,.,（,4,）解析几何问题：包括证明题、计算题、轨迹题,.,所涉及的主要知识包括整点、面积、区域、直线束、圆系、圆锥曲线等,.,6.,3.3,竞赛中几何问题的基本解法,竞赛中的几何试题，是具有接受性、障碍性、探究性的“问题”，需在一般思维规律指导下，综合而灵活地运用数学基础知识和基本方法才能解决，表现为一种创造性活动,.,解答竞赛几何问题，既要经常使用一些中学常见的方法，如综合几何法,(,包括全等法、面积法等,),、几何变换法,(,包括对称、平移、旋转等,),、代数方法,(,包括解析法、复数法、向量法、三角法等,),以及分析法、综合法、同一法、枚举法、反证法、归纳法和类比法，又要使用一些特殊的方法和技巧，例如构造、染色、极端原理、对称性分析、包含与排除、特殊化、一般化等方法，在图形中巧添辅助线等技巧,.,例,1,（四川初二）,如图，已知,AB,=,AC,BAC,=,CDE,=90,，,DC,=,DE,，,F,是,BE,的中点，求证：,FA,=,FD,且,FA,FD.,解析：连结,AF,、,DF,，并延长,AF,至,G,，使,FG,=,AF,连结,DG,、,EG,.,AFB,GFE,AB,=,GE,B,=,FEG,5,分,ABED,为四边形，且,BAC,=,CDE,=90,，,B,+,FED,+,CAD,+,CDA,=180,，,又,C,+,CAD,+,CDA,=180,C,=,B,+,FED,=,FEG,+,FED,=,GED,10,分,G,又因为,GE,=,AB,=,AC,CD,=,ED,ACD,GED,15,分,AD,=,GD,，,ADC,=,GDE,而,AF,=,GF,，,AF,DF,20,分,又,GDE,+,GDC,=,CDE,=90,ADC,+,GDC,=90,即,ADG,=90,DF,=,AF,25,分,例,2,（全国初中数学联赛二试）,如图，在平行四边形,ABCD,中，,E,为对角线,BD,上一点，且满足,ECD,=,ACB,AC,的延长线与,ABD,的外接圆交于点,F,.,证明：,DFE,=,AFB,证明,由,ABCD,是平行四边形及已知条件知,.,ECD,=,ACB,=,DAF,5,分,又,A,、,B,、,F,、,D,四点共圆，,所以,EDC,=,ABD,=,AFD,，,所以,ECD,DAF,15,分,所以,.20,分,又,EDF,=,BDF,=,BAF,所以,EDF,BAF,故,DFE,=,AFB,.25,分,例,3,（全国高中数学联赛二试）,AB,是圆,w,的一条弦，,P,是弧,AB,上一点，,E,，,F,在线段,AB,上，满足,AE,=,EF,=,FB,，射线,PE,，,PF,分别与,w,交于,C,，,D,.,求证：,EF,CD,=,AC,BD,.,（,2014,高中联赛,40,分）,参考答案,