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一、选择题
1．如图2－1－5，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
图2－1－5
A.与
B.与
C.与
D.与新|课 |标 |第 |一| 网
【解析】 ∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．
【答案】 B
图2－1－6
2．如图2－1－6所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.＞
D.＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
图2－1－7
3．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【解析】 ∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：，，，，.
【答案】 B
图2－1－8
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个．故选D.
【答案】 D
5．下列说法中，不正确的是( )
A．0与任意一个向量都平行
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【解析】 易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.
【答案】 D
二、填空题xK b 1.Co m
6．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量的模等于________．
【解析】 由于AD＝AB＝.∴||＝.
【答案】
图2－1－9
7．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．
【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，与的方向不相同，故④不正确．
【答案】 ①②③
图2－1－10
8．如图2－1－10所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2 的向量个数是________．
【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．
【答案】 8
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】 如图可知，(1)易知BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.
(3)与共线的向量有，，.
图2－1－11
10．如图2－1－11所示，四边形ABCD中＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
【证明】 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
图2－1－12
11．如图2－1－12，A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时，向量与共线(其中O为坐标原点)?
【解】 由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO＝45°.
当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，＝0，
这时与共线(零向量与任意向量都共线)；
当xy≠0，且x＝y，
即点C在一、三象限角平分线上时，
有AB∥OC，这时与共线．
综上，当x＝y时，与共线．
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