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一、选择题
1．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a∥b D．a－b与b垂直
【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝，∴|a|≠|b|；
又∵a·b＝1×＋0×＝≠；
易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确．
∵a－b＝(，－)，
且(a－b)·b＝×＋×(－)＝0，
∴(a－b)⊥b，故选D.
【答案】 D
2．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.
【答案】 D
3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，∴∠BAC＝90°.
【答案】 A
4．已知＝(－2,1)， ＝(0,2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2,6) D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
5．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为( )
A．2 B．2
C. D．10
【解析】 |a|cos θ＝|a|＝＝＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0. X|k |B| 1 . c|O |m
∴t＝5.
【答案】 5
7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.
【解析】 任取l1和l2的方向向量m＝(1，－)和n＝(1，)，设m和n的夹角为α，
则cos α＝＝，
∴α＝45°.∴θ＝45°.
【答案】 45°
8．已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．
【解析】 cos θ＝＝，
∵θ为锐角，∴0＜cos θ＜1，即0＜＜1，
∴，解得，
故λ的取值范围是{λ|λ＞－且λ≠2}．
【答案】 {λ|λ＞－且λ≠2}
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos ∠BAC的值．http:// www.xkb1 .com
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，||＝，||＝，
cos ∠BAC＝＝＝.
10．平面内三个点A、B、C在一条直线上，且＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)且⊥，求实数m、n的值．
【解】 ∵A、B、C三点在同一直线上，∴∥.
∵＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
∴＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0， ①
∵⊥，∴(－2)×n＋m×1＝0，
即m－2n＝0. ②
联立①、②解得或
11．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；xKb 1. Com
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
【解】 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
由·＝1×(－3)＋1×3＝0得⊥，
∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设点C的坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1,1)，
∴，∴，∴C(0,5)，
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
故与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.
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