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一、选择题
1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.
【答案】 B
2．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】 c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，
则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】 C
3．|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )
A．2 B．120°
C．－1 D．由向量b的长度确定
【解析】 |a|cos 120°＝2×(－)＝－1.
【答案】 C
4．若·＋2＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 0＝·＋2＝·(＋)
＝·，∴⊥，∴∠BAC＝90°.
【答案】 A
5．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，
∴a·b＝－|a||b|.
∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，
∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．
当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．
若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b＝60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，
∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又∵a·b＝|a||b|cos 60°＝，
∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
8．(2012·课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【解析】 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
【解】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又∵|a|＝1，∴|b|2＝1－＝，即|b|＝，
∴cos θ＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝.
10．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则的值为多少？
【解】 由c⊥a可得c·a＝0，则c＝a＋b两边同时与a求数量积可得a2＋a·b＝0，所以|a|2＋|a||b|cos 120°＝0，所以＝.
11．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t(t－3)＝0.
∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.
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