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第二十二章 一元二次方程
南充市第九中学 覃华英
【知识梳理】
1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x= (b2-4ac≥0)
注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。
2．根的判别式及应用(△=b2-4ac)：
(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=—，x1·x2=。
(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(x1，x2是方程两根)。
应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2，两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。
4．一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。
【能力训练】
一、选择题
1、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
2、关于的方程的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、无实数根 D、不能确定
3、如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是（ ）
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A、 B、3 C、6 D、9
7、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程
的一个根，那么的值是（ ）
A、1或2 B、0或 C、或 D、0或3
8、若一元二次方程的两根、满足下列关系：，，则这个一元二次方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
9、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。
10、写出一个一元二次方程，使它没有实数解，该方程可以是_____________。
11、写出一个一元二次方程，使它的两实数根之和为3，该方程可以是____________。
12、写一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
三、解下列方程
13、 14、
四、解答题
15、制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
16、如图所示，四边形是矩形，，。动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动。
⑴P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的3/5？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？
⑵P、Q从开始出发几秒后，？
17、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问与能否同号？若能同号，请求出相应的的值的范围；若不能同号，请说明理由。
18、如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽？
参考答案
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、B 7、D 8、B
9、答案不惟一， 10、答案不惟一，
11、答案不惟一， 12、答案不惟一，
13、， 14、
15、设平均每月应降低，则，，（不合题意，舍去）
16、⑴秒，当出发后，面积最大为64平方厘米 ⑵0.8秒
17、当且时，、同号，因为。故只需保证，且即可，，。
18、设道路的宽为，，，则，，由于（不合，舍去）故。具体做法是：用绳量出，再减去之长，将余下的对折两次，即得道路的宽。
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