一元二次方程能力拔高题.doc

一元二次方程培优专题复习

考点一、概念
(1)定义：① 只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
针对练习：
★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值： ；⑵写出关于x的一元一次方程： 。
★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。
针对练习：
★1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程的一个根，则代数式 。
★★4、已知是的根，则 。
★★5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
★★★6、若 。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程： =0;
例2、解关于x的方程：
例3、若，则x的值为 。
针对练习：下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.
类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，
典型例题：
例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
例4、解方程： 得
例5、已知,则的值为 。
变式：已知,且,则的值为 。
针对练习：
★1、下列说法中：①方程的二根为，，则
② . ③
④⑤方程可变形为 正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B． C． D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
6、已知，且，，求的值。

类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：
例、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

针对练习：
1、已知，则 .
2、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
类型四、公式法
⑴条件： ⑵公式： ,
典型例题：
例、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：例1、已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
例5、为何值时，方程组
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
针对练习：
1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.
5、当取何值时，方程的根与均为有理数？
(2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．
（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
A．k＜B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有一个根，则m为 。
例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。
例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结
果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
⑵主要内容： 常用变形：
， ，
， ，
等

⑶应用：整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.
例2、解方程组：
例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例5、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例6、已知是方程的两个根，那么 .
针对练习1．已知，，求的值。2、已知是方程的两实数根，求的值。
3.（湖北中考题）设，且，则=________。
4. ( 四川中考题）如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

1.当k为何值时，关于x的方程 有实数根

2.已知方程是关于x的一元二次方程，求a，b的值

3设和都是关于x的一元二次方程，
求：的值。

4解下列方程：
（1） （2）

（3） （4）

5已知方程 求证：不论m为何值，次方程均有两个不相等的实根。

6已知三个关于x的一元二次方程 恰有一个公共实数根，求的值。

7 已知 试求的值。

8关于x的方程和方程只有一个相同的实根，求k的值及公共根。

9已知a.b.c分别是三角形ABC的三边长。当m>0时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。

10已知方程与方程的公共根和方程与方程的公共根相同，求m，n的值。

11 m，n是方程的两个根，且求a的值。

12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3和5 。乙把常数项看错了得两根为和，求原一元二次方程。

13 已知关于x的方程
（1）求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根
（2）设方程的两根为 ，求m的值。

14 要使关于x的一元二次方程的两根的平方和最小，求m的值。

15 已知函数y=和y=kx+1（x≠0）
（1）若这两个函数都经过（1，a）求a和k的值
（2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共点

16 某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？

17为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011年投资了3亿元人民币。预计2012年底三年累计共投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求市政府投资的年增长率？

18 某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？

一元二次方程培优训练

1.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .
2．关于的方程是一元二次方程，则 ；
3.设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ；
4. 当时，代数式的值为0
5. 已知：，则关于的二次方程的解是 ；
6． 方程的解是 ；
7.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .
8、则xy=

9、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是

10、如果是一个完全平方公式，则 。
11、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
12、当时，关于的方程为一元二次方程。
13．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2 ．
14．当x= 时，代数式．
15、方程的根是 。
16、用配方法解方程，则，所以。
17.要使关于x的一元二次方程的两根的平方和最小，求m的值。

7、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
A、＜0 B、＞0 C、≥0 D、≤0
9、将方程的形式，指出分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、方程的解是 ；
11、当y= 时，y2-2y的值为3；
12、已知方程x2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= ____, 另一根为 ____；
13、写出以4，－5为根且二次项系数为1的一元二次方程是 _；
14、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x，则可列方程___________________；
15、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ；

三部分
1.方程不一定是一元二次方程的是 ( )
A.(a-3)x2=8 (a≠0) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
2、若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A、 1 B、 -1 C 、 1或-1 D、
3、把方程化成的形式，则m、n的值是（ ）
A、4，13 B、-4，19 C、-4，13 D、4，19
4、已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是（ ）

5. 关于的方程是一元二次方程的条件是----（ ）
A B C 且 D 或
6等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形周长为
A. 27 B. 33 C. 27和33 D. 以上都不对
7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A．x(x＋1)＝1035 B．x(x－1)＝1035×2C．x(x－1)＝1035 D．2x(x＋1)＝1035
8. 一元二次方程2x(x－3)＝5(x－3)的根为 ( )
A．x＝ B．x＝3 C．x1＝3，x2＝ D．x＝－
9.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
9.使分式 的值等于零的x是 （ ）
A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
10方程x2-4│x│+3=0的解是 （ ）
A.x=±1或x=±3 B.x=1和x=3 C.x=-1或x=-3 D.无实数根
11.关于x的方程x2-k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根, k的值是 ( )
A.-7 B.-7或4 C.-4 D.4
12、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A、 B、 C、 D、
13、请检验下列各数哪个为方程的解（ ）
A、 B、 C、 D、
14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若； B、；
C、；
D、的值为零，则。
15、，则（ ）
A、 B、 C、 D、
16、将方程的形式，指出分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
17、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A、 B、 C、 D、
18、若（ ）
A、 B、 C、 D、
19、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A、 B、 C、 D、

三、解一元二次方程
（1） x (2x - 7) = 2x （2）x 2 -2x +4 =0
（3） （4） 2y2 +7y-3=0
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）

18、试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；

19、有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程的两根，求这个三角形的周长.

20、已知，求的值。

21．已知关于x的方程
（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；
（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；
（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．

22．如图，在△ABC中，∠B=90度，AB=6cm，BC=12cm，
P
A
B
Q
C
12cm
6cm
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC
边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，
△PBQ的面积等于8cm2．