导数应用题(解析).doc

1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

解：（I）设容器的容积为V，
由题意知故
由于因此
所以建造费用
因此
（II）由（I）得
由于
当
令
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，

综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时

2.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P

解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得

（1）所以当时，S取得最大值.
（2）()
由（舍）或x=20.
当时，
所以x=20时，V取得极大值，也是最小值.此时
装盒的高与底面边长的比值为大。

3.如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
解：（1）设，则
令
则

单调递增
极大值
单调递减
由上表易知：当时，有取最大值。
证明：作得中点F，连接EF、FP，由已知得：
为等腰直角三角形，，所以.
4.江西理19）设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，
所以，当时，在上存在单调递增区间.
（2）令，得两根，，.
所以在，上单调递减，在上单调递增
当时，有，所以在上的最大值为
又，即
所以在上的最小值为，得，，
从而在上的最大值为.