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《方程的根与函数的零点》学生导学案设计 哈尔滨市第五十八中学 刘翠
学习目标
（一）知识目标：
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践、抽象概括的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
重点：零点的概念及存在性定理的判定
难点：零点的确定
问题探究一 函数零点的定义
问题1 考察下列二次函数与对应的一元二次方程：
(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0
(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0
(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗?
方程

x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
函数

y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3

函数
图象

x
y
0
3
2
1
1
2

4

x
y
0
3
2
1
1
2

4

x
y
0
3
2
1
1
2

4

方程的根

与x轴的交点

问题2从你所列表格中能得出方程的根与函数图象和x轴的交点坐标的关系吗?

问题3在问题2得出的结论对一般的二次函数和相应的一元二次方程也成立吗?你能根据判别式的不同情况也用表格的形式加以说明吗？

判别式

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根

二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象
y
0
x

x
y
0

x
y
0

与x轴的交点

问题4方程的实数根就是相应函数图像与x轴交点的横坐标，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)，还适应吗？

函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使（ ）的实数（ ）叫做函数y=f(x)的零点

问题5 对于函数y=f(x) 有零点可等价于那些说法？

定义辨析：判断对错并说明理由
（1）零点是一个点（ ）
（2）所有的函数都有零点（ ）
（3）若函数有零点，则零点一定唯一（ ）
（4）根据函数零点的定义，若函数有零点，则求其零点的方法有：代数法（直接求出其方程的根）、图像法。（ ）
例1 你能举出几个函数的例子，并判断它们是否有零点吗？若有求出其零点。

问题探究二 函数零点存在性定理
问题1 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象，

-1
.
.

x
y
0
-2
3
2
1
1
2

4
发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1 ,而区间端点处的函数值f(－2)>0， f(1)<0 即区间端点处的函数值的积 f(－2)·f(1)<0。二次函数在区间[2,4] 上有零点x＝3，而区间端点处的函数值f(2)<0 ，f(4)>0 即区间端点处的函数值的积 f(2)·f(4)<0。有以上两步探索，你可以得到什么样的结论？

函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是（ ）的一条曲线，并且（ ），那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有（ ），即存在使得（ ），这个c也就是方程f(x)=0的根.
问题2观察下列函数的图象，并回答下面的问题
x

（1）f(a)·f(b)（ ）0 （2）f(a)·f(b)（ ）0
此函数在区间（a,b）上 此函数在区间（a,b）上
（ ）零点 （ ）零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是间断的，上述定理成立吗？

（3）f(a)·f(b)（ ）0 （4）f(a)·f(b)（ ）0
此函数在区间（a,b）上 此函数在区间（a,b）上
（ ）零点 （ ）零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？

定理辨析：判断对错并说明理由：
（1） 函数零点存在性定理只能判断零点的存在性，不能判断零点的个数（ ）
（2）如果的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，能推出函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（ ）
（3）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0（ ）
例2函数f(x)=3x+x-2的图象是连续不断的一条曲线则其零点所在的一个区间是（ ）A (-2,-1) B (-1,0) C (0,1) D (1,2)
跟踪训练2观察下表，分析函数f(x)=3x3+6x-1(其图象是连续不断的曲线)在(-2,2)内是否存在零点？为什么？

x
-2
-1
0
1
2
f(x)
-37
-10
-1
8
35

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