重过程的变式是有效的.doc

新课程理念与传统变式教学整合的探索
湖北省襄樊市第七中学 曾庆丰

变式教学是一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验[1]；《新课程标准》倡导的创新育人理念，已为众多教育工作者所熟知．那么，如何实现新课程理念与传统变式教学的整合，在继承中和谐发展，从而让学生掌握必需的双基的同时，亲身经历数学知识的发生、发展、形成与应用的过程，进而有效地培养他们的创新意识呢？根据笔者长期的教学实践及主持变式教学案例研究的结果分析，发现将“过程”[3]嵌于传统的变式教学中，是目前追求“双基”与“创新”双赢的一条有效途径，即重过程的变式教学是有效的．
本文结合教学实践中的五个典型教学片段，对如何将“过程”融入传统的变式教学中进行探索，以期找到理念与实践的交汇点．
1 变式课题的引入方式——让学生在已有知识经验基础上学数学
著名的教育心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并就此进行教学．”这与新课标所倡导的“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上”这一理念不谋而合．为此，教师在引入课题时，要紧密联系学生的实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情景，并以此来引导学生进行观察、操作、猜想、交流等系列数学活动．这样既能激发学生的学习兴趣，又有助于学生感受数学学习、数学发展的自然性与必然性，加深对数学知识本质与内在联系的理解．
案例1 “相似三角形”的引入[4]
CAI课件：出示两幅形状相同，大小不等的两幅中国地图．
师：“两幅中国地图之间有什么关系？形状又有什么特点? ”．
生（众）：“两幅中国地图相似；形状相同、大小不等．”
师：“哪位同学能在两幅地图上分别找出北京（首都）、武汉（江城）、昆明（春城）三座城市的大致位置？”
生1：上台操作电脑，通过鼠标分别在两幅地图上点击所选的位置．
CAI课件：顺次连结三座城市间的线段，得到两个三角形．
师：两个三角形有什么关系？形状又有什么特点?
生2：两个三角形相似；形状相同、大小不等．（教师板书课题：相似三角形）
【点评】学生在学习相似三角形以前，对日常生活中的相似图形已了初步的认识．改变课本单刀直入的做法，通过两幅形状相同大小不等的中国地图创设情景，巧妙地借助三座城市间的连线段构建相似三角形的模型，过渡自然，并为探究相似三角形的定义、性质等做了铺垫——这正是建立在学生已有的知识和经验基础上的主动变式、建构的过程．
2 变式概念的生成过程——追求知识的和谐拓展
数学中每一个概念都有一个形成过程．但教材中的概念往往是直接给出或以逻辑推理的形式出现，致使学生看不到它的形成过程．长期以来，学生认为数学概念都是人为规定的，是不讲道理的，这阻碍了学生发现、创新的通道．为此，在概念的教学中，通过变式揭示概念形成、发现的全过程，让学生在观察、体验中去创造性地感知和学习概念，有利于知识的和谐拓展和创新意识的培养．
案例2 梯形中位线概念的形成[5]
CAI课件：如图1，演示△ABC及其中位线EF梯形ABCA/（点F作平行于BC的运动至点F/）．
师：出示图（1），什么叫三角形的中位线？它有哪些性质？从位置和数量上回答．
图1

生1：三角形任意两边中点的连线段；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
师：数学中的很多图形和性质都是相互关联的，比如（演示动画），三角形我们可以看作上底为0的梯形．如图1（3），通过类比，你认为应该给线段EF/取个什么名字更合适？
生（众）：梯形的中位线！
师：数学中的概念是不能仅靠观察来述说的！类比三角形中位线的定义，我们应该怎样给梯形的中位线下定义呢？
生2：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
（接下来，类比三角形中位线的性质探索梯形中位线的性质）
【点评】抓住三角形是特殊的梯形（上底为0）这一点，在复习三角形中位线的概念及其性质的基础上，巧妙地借助一个动画，让学生给梯形的中位线下定义．这样做，概念和谐地拓展了：三角形中位线梯形的中位线，既培养了创新意识，又培养了学生的探究精神，由类比制造认知冲突，使得“梯形中位线”这一概念自然地浮出水面——这是追求知识和谐拓展的再设计．
3 变式定理的形成过程——让“冰冷”的美丽变为“火热”思考
所谓定理是指被“老祖宗”证明过成立的数学命题，其形式化（符号）的外表强调着她“冰冷”的美丽．张奠宙教授认为：数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创造时的火热思考[1]．因此，定理的教学应通过变式再设计来揭示定理的发生、发展、形成的探究过程，让“冰冷”的数学变为“火热”的思考．
案例3 梯形中位线定理的探索
CAI课件：如图2，一堆粗细均匀的钢管（1），5层，依此为3、4、5、6、7根；由截面抽象出梯形，由中间一层抽象出梯形的中位线（2）、（3）．
师：类比三角形中位线的性质，通过观察，你们能猜一猜梯形中位线的性质会是怎么样的么？
图2
生：梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半．

师：请你向同学们解释一下你的猜想．
生：我是通过观察得出平行的；因为中间一层的钢管有5根、最上一层有3根、最下一层有7根，而，所以我猜想梯形的中位线应该等于上下底和的一半．
证明（略）．
图7
图6
【点评】变直接抛出定理为“创设情景—数学建模—观察、联想—提出猜想”的探究性教学过程，培养学生的观察能力和猜想能力，把命题获取的全过程交给学生，让他们亲身体验参与探究、发现的愉悦——这种重“返璞归真”的变式设计也应是凸现数学“火热思考”所不可或缺的．
4 变式例习题间的“潜在”距离——让学生“跳起来摘桃子”
数学活动过程的基本特性是层次性，这种层次性常表现为一系列的台阶，而台阶间的潜在距离往往左右探究性学习的效果[1]．距离远，学生“断了念头”；距离近，吊不起学生“胃口”．这就要求我们在设计变式问题时，应立足于学生实际，把握好前后知识之间的潜在距离，在此基础上，通过富有层次性、探究性的变式问题系列，让学生真正“跳起来摘桃子”．
案例4 在学习“相似三角形”预备定理时，我们可以从两个基本图形（A、X）出发，设计出以下变式练习：
CAI课件：如图3～5，移动图形3至图4的位置得到图5，并出示问题：E是平行四边形ABCD边BA延长线上一点，ED交AC于G，那么图中又有多少对相似三角形？（全等三角形除外）
图3
图5
图4
运动
叠加

变式1：连结BD，如图6，交EC于M，则图中有相似三角形多少对？它们分别是 ；
变式2：延长DC至点F，如图7，连结EF交AD、BD、BC于点G、M、N，那么图中又有多少对相似三角形？它们分别是 ．

【点评】抓住定理中“平行”这一条件，从两个基本图形（A、X）出发，通过运动叠加、连结、延长来构造变式问题系列，题目的梯度拾级而上，且富有启发性、探究性和挑战性——这样的变式应该是例、习题过程化教学的一个重要特征．
5 变式问题的呈现方式——经历数学化的过程
《新课标》倡导“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”的教学模式，并主张学生学习素材的呈现应力求体现现实意义和挑战性[2]．因此，教师呈现给学生的数学问题，既要来源于学生的日常生活，还应体现“实际问题—建立模型—求解模型—回到实际问题中去”这一过程，注意问题的适度开放．这将有助于学生形成良好的应用意识和数学思维习惯，提高解决实际问题的能力．
图8
案例5 （人教版义教教材四年制几何第二册P193题15）已知：如图8所示零件的外径为，要求它的厚度，需先求出内径的直径AB，但不能直接量出AB．现用一个交叉卡钳（两条尺子长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=，且量得，求厚度．
变式：如图9，已知零件的外径为a，要求它的厚度，则需要求出内孔的直径，但不能直接量出．现有：（1）一个交叉卡钳（两条尺长相等）；（2）一把刻度尺．
图9
（3）
（2）
（1）

请你设计一个可测零件内径的方案．
（此题通过学生交流、讨论并相互补充、相互完善，教师点评的形式完成）
【点评】变“封闭” 为“开放”，改变问题的呈现方式．从学生在日常生活所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，再利用数学模型去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的全过程，有效地培养学生的应用意识和解决实际问题的能力——这种过程和体验正是新课标所倡导的基本理念之一．
重过程的变式教学，可以让学生经历知识的发生、发展、形成与应用的过程，更好地理解数学知识的来龙去脉，这对学生掌握必需的双基，培养他们的创新意识和解决实际问题的能力等方面，都将起到潜移默化和不可低估的作用．
参考文献
[1] 鲍建生，黄建金，易凌峰，顾冷沅．变式教学研究[J]．数学教学，2003，1～3
[2] 中华人民共和国教育部．数学课程标准[M]．北京师范大学出版社，2002
[3] 冯斌．简论数学教学的“过程化”[J]．数学通报，2004，6
[4] 曾庆丰．变式 探究 创新——“相似三角形”教学片段实录[J]．中学数学，2004，1
[5] 曾庆丰，吴明龙．探究性教学过程设计探讨[J]．中学数学教育，2004，6