鳌江四中数学小论文.doc

三角形中的奥秘
——探求新知，感受三角形魅力
鳌江第四中学：国
摘要：本文通过基本的图形——三角形，并添加各种不同的辅助线，从而得到不同的三角形，通过对其三角形的面积及线段之间的巧妙结合，即借助图形的直观性来证明许多定理，将问题简单化，从抽象变具体。
关键词：三角形 共边比例定理 蝴蝶定理 塞瓦定理
一、问题的引出
数学无处不在，它存在于我们生活的每一个角落，从开花到结果再到落叶，无不蕴涵着无穷的数学奥秘，我们在数学的海洋中遨游，徜徉，领略了数学中无限的美好时光。
其实每个人都在生活中有看到了许许多多的图形，如：自行车的支架就是利用了三角形的稳定性，那么三角形与它两边，及不同三角形之间又有什么联系呢？
这个问题，引起了我的思考,并由此展开对一条列相关的问题进行了深入的探讨与研究。
二、对不同三角形之间的初步探求
我们常常看的栅栏，基本呈现出如图1-1的图形，我们就可以借助此来进行研究。
如图1-1 已知AB//CD，我们很容易得出△AOB∽△DOC从而
得出===
===

图1-2
图1-1

如果我们将AC，BD连结就会得到图1-2
过B作BP
则有
于是
我们可以将图1-2进行变换得到一些基本图形如图1-3，图1-4，图1-5所示，

图1-5
图1-4
图1-3

同理可得
通过借助不同三角形的面积与相应边的关系，运用基本求三角形面积的方法，及相似三角形对应边的关系证明出了共边比例定理，让我领略到三角形的简洁性与直观性，激发了我继续探究的兴趣。
三、由共边定理引出塞瓦定理
如图1-6 ,在△ABC中，若有AD、BE、CF相交于点P，则由共边比例定理，有

以上三式相乘

反之，若有

记
有

=
由已知有，即AD，BE，CF三线共点。当然这只是证明塞瓦定理的一种方法。这种证明方法让我充分感受到了三角形的变化性及解决数学问题的直观性与准确性。
四、三角函数与蝴蝶定理
我们已经学过了三角函数，其实我们不难得出S△=。因此我们可以通过此与共边定理来证出蝴蝶定理。
如图1-7 AB为圆中的一条线，过AB中点P任作弦EF，GH，设EH，GF分别交AB于点C，D，则CP=DP
证明由AP=BP知，只须证明
证明如下：

由于
此处R为圆之半径
代入后发现只需证

显然这是成立的，因为由四点共圆、相似或相交弦定理知

=
=
其实自蝴蝶定理自问世以来，有多种证法，这种证明方法只是对以前学过的知识的应用，这种方法让我了解到了有关三角形的一些的定理的联系。
当然,三角形不仅仅只有以上这几个定理，还有许许多多的定理等你证明与探究，数学更是一个宝库，只要你开采一点，就会得到一点，多多思考，多多探究，让自己探到更大更多的金矿，华罗庚曾经说过”学习中要敢于减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没解决,需要我们去探究解决”。
数学是思维的体操，它是一种精神，一种理性的精神，正是这种精神，激发促进，鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.

参考文献：1、初中数学课本
2、数学奥林匹克小从书。