全等三角形证明过程训练(习题及答案).doc

全等三角形证明过程训练（习题）
Ø 例题示范
例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB=CB，∠ABC=90°．E
A D
E
G
为正方形内一点，BE⊥BF，BE=BF，EF 交 BC 于点 G．
求证：AE=CF．
E
B
1
2
G
C
【思路分析】 A D
① 读题标注：

B C

F

② 梳理思路： F
要证 AE=CF，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．
要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB=CB；BE=BF；
根据条件∠ABC=90°，BE⊥BF，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等．
过程规划：
1．准备不能直接用的条件：
∠1=∠2
2．证明△ABE≌△CBF
3．根据全等性质得，AE=CF
【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图
∵BE⊥BF
∴∠EBF=90°
∴∠2+∠EBC=90°
∵∠ABC=90°
∴∠1+∠EBC=90°
∴∠1=∠2
在△ABE 和△CBF 中

7

ì AB = CB
í
ïÐ1 = Ð2
î
ïBE = BF
（已知）
（已证）
（已知）

∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

Ø 巩固练习
1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点 D，E，且 PD=PE， 将上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 AD= ．
B
D
A D
A P

E B C
C
第 1 题图 第 2 题图
2. 已知：如图，AB⊥BD 于点 B，CD⊥BD 于点 D，如果要使
△ABD≌△CDB，那么还需要添加一组条件，
这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ．
3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=
∠CDE=90°．若 AB=4，DE=2，则 BD 的长为 ．
E
A

B C D

4. 已知：如图，点 A，E，F，B 在同一条直线上，CE⊥AB 于点
E，DF⊥AB 于点 F，BC=AD，AE=BF． 求证：△CEB≌△DFA．
A
C D

E F B

5. 如图，点 C，F 在 BE 上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D． 求证：△ABC≌△DEF．

2 1
A D

过程规划：
B F C E

过程规划：
6. 已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，且 AC=BD， BE∥CF，AE∥DF．求证：△ABE≌△DCF． F

A B
C D

E

7. 已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为
点 D，E，AD 与 CE 相交于点 H，AE=CE． A
E
H
求证：AH=CB．

过程规划：
B D C

Ø 思考小结
1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形
；要证明三角形全等，需要准备 _组条件，其中 有一组必须是 相等．

2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的？

∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）
由 全 等 证明结论
例 1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠B=∠D． E B

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）
第二步：分析特征走通思路 C A
① 要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B
放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两 D
个三角形全等即可．
② 要证明△ ABC ≌△ ADE ，需要找三组条件，由已知得
AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC， 同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用 SAS 可得两个三角形全等．
第三步：规划过程过程分成三块：
① 由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；
② 由 SAS 得△ABC≌△ADE；
证明：如图
∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE =∠DAC+∠CAE
即∠BAC=∠DAE
全等准备条件
③ 由全等得∠B=∠D． 第四步：过程书写

在△ABC 和△ADE 中
ì AB = AD
ïÐBAC = ÐDAE
í
ï AC = AE
î
（已知）
（已证）
（已知）
∴△ABC≌△ADE（SAS）
全等模块过程书写

【参考答案】
Ø 巩固练习
1. Rt△ADP，Rt△AEP，AE
2. AD=CB，HL AB=CD，SAS
∠A=∠C，AAS
∠ADB=∠CBD，ASA 3. 6
4. 证明：如图，
∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴∠CEB=∠DFA=90°
∵AE=BF
∴AE+EF=BF+EF 即 AF=BE
在 Rt△CEB 和 Rt△DFA 中
ìBC = AD （已知）
î
íBE = AF （已证）
∴Rt△CEB≌Rt△DFA（HL）
5. 证明：如图，
∵BF=EC
∴BF+FC=EC+FC 即 BC=EF
在△ABC 和△DEF 中
ì∠A =∠D （已知）
í
ï∠1 =∠2 （已知）
î
ïBC = EF （已证）
A
B
3
2
1
4
C
D
∴△ABC≌△DEF（AAS） F
6. 证明：如图，
∵AC=BD
∴AC-BC=BD-BC 即 AB=DC
∵BE∥CF
∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=180° E

∠2+∠4=180°
∴∠3=∠4
∵AE∥DF
∴∠A=∠D
在△ABE 和△DCF 中
ì∠3 =∠4 （已证）
í
ï AB = DC （已证）
î
ï∠A =∠D （已证）
∴△ABE≌△DCF（ASA）
7. 证明：如图，
3
E
4 H
2
1
A

B D C
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
∵CE⊥AB
∴∠AEH=∠CEB=90°
∴∠3+∠4=90°
∵∠2=∠4
∴∠1=∠3
在△AEH 和△CEB 中
ì∠AEH =∠CEB （已证）
í
ï AE = CE （已知）
î
ï∠3 = ∠1 （已证）
∴△AEH≌△CEB（ASA）
∴AH=CB（全等三角形对应边相等）
Ø 思考小结
1. 全等；3，边