2011年高中招收预录生数学试题.doc

黄冈中学2011年高中招收预录生数学试题

考试时长：120分钟 满分：120分
一、填空题：（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
B
A
C
D
E
2题图
1．下面几个结论：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的数是正数；③平方等于本身的数是1；④立方等于本身的数是．其中正确的结论的序号是

2．如图，点是平行四边形的边的中点，⊥，，则

D
C
B
A
E
F
G
4题图
3．已知实数满足，，且，则的值是

4．如图，点在矩形的外接圆上，分别交、于点、，若，则矩形的面积是

5．已知实数、满足，则
A
B
6题图

6．把纸质的正方体的六个面沿该正方体的一些棱剪开展平，得到右侧的平面图形，若正方体的棱长是1，则在正方体中线段的长是

B
A
C
8题图
F
E
D
7．小沈在街上匀速慢步，发现每隔10分钟从背后驶过一辆1路公交车，每隔5分钟迎面开来一辆1路公交车．若公交车总站每隔固定时间发一辆车，并且公交车是以同一速度匀速行驶的，则发车的间隔时间是 分钟．

8．如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，将折叠，使点与点重合，为折痕，则的值是

B
A
O
C
D
E

10题图
9．已知是大于1981的整数，是完全平方数，则的值是

10．已知的内切圆心为，过作的平行线分别交、于点、，若三边、、的长分别是、、，则的长是
二、解答题：（本大题共4小题，每小题满分15分，共60分）
x
y
A
B
C
E
O
F
11．如图，抛物线与轴交于点、，与轴负半轴交于点，是直角三角形，点在抛物线上，且是以为直角顶点的直角三角形，线段交轴于点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求点的坐标；
（Ⅲ）求的值．

12．如图，等腰直角三角形的直角顶点为，腰长为1，是边上的一个动点（与、不重合），以线段为边作以为斜边的等腰直角三角形（、在的同侧），连结．
（Ⅰ）判断四边形的形状，并给予证明；
C
B
D
A
P
（Ⅱ）设，的面积为，求出关于的函数关系式，并求出面积的最大值及取得最大值时的值．

13．如图，已知的外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，延长线交圆于点，的外角平分线与圆交于点，．
（Ⅰ）证明：；
A
N
B
C
O
E
I
F
（Ⅱ）设，试用表示及；
（Ⅲ）证明：．

14．已知九位数恰好为某五个不同质数乘积的平方，并且，试求．

答案及评分标准
1．① 2．70º 3．7 4． 5．7
6． 7． 8． 9．1996或2005或2008 10．
11．（Ⅰ）设，，则、是方程的两根，
∴．…………………………………………………………………………………1分
x
y
A
B
C
E
O
F
G
点的坐标为，∴．……………………2分
在中，，…………3分
∴，∴．……………………………5分
（Ⅱ）抛物线为，∴、、．
∴，，．……………………6分
设交轴于点，则，∴．
设直线的函数式为，由、得，解得，所以．…………………………………………8分
由得，所以点的坐标是．………………10分
（Ⅲ）过点作⊥轴于，则．………………………………………11分
∵⊥，⊥，∴∥，∴，
∴∽，………………………………………………………………13分
∴，∴．…………………………………………………………15分
12．（Ⅰ）四边形是梯形，证明如下：
∵ 与都是等腰直角三角形，
∴，∴，…………………………………1分
又，∴∽，………………………………………3分
∴，∴ AD∥BC. ……………………………………5分
又，∴，即，
∴ DC与AB不平行，∴ 四边形ABCD是梯形．………………………………7分
（Ⅱ）过点作的延长线的垂线，垂足为．设，
则．……………………………………………………………………9分
C
B
D
A
P
E
由（Ⅰ）知，∴，
又，∴ ，……………11分
∴…………………13分
．
∴当时，取最大值为，即当时面积取得最大面积为．…………………………………………………………………………………………15分
13．（Ⅰ）证明：∵，
∴．……………………………………………2分
A
N
B
C
O
E
I
F
连结，∵平分，∴，
∴，又∵，
∴是等边三角形，∴，……………4分
∴．……………………………………5分
（Ⅱ）∵
，
∴．……………8分
连结，，
又，∴．…………11分
（Ⅲ）证明：连结，则，∴，…13分
又∵，∴≌，∴．…………………………15分

14．，…………………………………5分
∴是两个质数的积的平方．………………………………………………………………6分
又∵，
∴．……………………………………………………………9分
又，∴．…………………………………………………………11分
而是两个（7、11、13不同）质数的积，∴或，………………13分
所以或．………………………………………………………15分

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