考点49随机事件的概率、古典概型、几何概型.doc

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考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型
一、选择题
1. （2013·四川高考理科·Ｔ9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是　(　　)
A. B. C. D.
【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.
【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,

根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是，故选C.
2.（2013·安徽高考文科·Ｔ5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。
【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率；当甲、乙两人都被录用时的概率，所以所求概率为。
3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率.
4. （2013·陕西高考理科·Ｔ5）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 ( )

A． B.
C． D.
【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.
【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD的面积为2，曲边形DEBF的面积为，故所求概率为
5.（2013·江西高考文科·Ｔ4）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.
【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为.
6. （2013·湖南高考文科·Ｔ9）.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件，首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD，最后分别以A、B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F、E，当EF=CD时满足题意。
【解析】选D，如图，

在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E、F为CD的四等分点，设，则在直角三角形ADF中， ，所以.
二、填空题
7.(2013·浙江高考文科·T12)从3男3女6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均相等),则2名都是女同学的概率等于　　　　.
【解题指南】根据概率的知识求解.
【解析】.
【答案】.
8.（2013·上海高考理科·T8）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．
【答案】.
9.（2013·上海高考文科·T11）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）.
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

【答案】 .
10. (2013·江苏高考数学科·T7)现在某类病毒记作,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为　　　　.
【解题指南】先计算所有的结果数再计算事件所含结果数,利用古典概型概率公式求得.
【解析】所有的情况数为7×9=63,都取到奇数的情况数为4×5=20,所以m,n都取到奇数的概率为.
【答案】.
11.（2013·福建高考理科·Ｔ11）利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件“3a-1>0”的概率为_______
【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。
【解析】设事件A：“”，则，所以
【答案】.
12.（2013·福建高考文科·Ｔ14）利用计算机产生“3a-1<0”发生的概率为 .
【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。
【解析】设事件A：“”，则，所以
【答案】.
13. （2013·湖北高考文科·Ｔ15）在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 .
【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解.
【解析】由||≤m，得-m≤≤m，当m≤2时,由题意，m=2.5矛盾,舍去;当2<m<4时,由题意得 解得m=3.
【答案】3.
14. （2013·山东高考理科·Ｔ14）在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为__________.
【解题指南】 可先定义新函数，然后根据分段函数的特点将问题转化为几何概型问题.
【解析】设，则.由，解得，即当时，.由几何概型公式得所求概率为.
【答案】.
15.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T14)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=　　　　.
【解题指南】表示出两数之和等于5的概率,并建立方程,利用组合数的计算公式,解方程求得n.
【解析】从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,所有的取法有种,而取出的两数之和等于5的取法只有两种,即(1,4),(2,3),所以其概率为,即n2-n-56=0,所以n=8.
【答案】8.
16. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ13）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______.
【解题指南】列举基本事件总数，从中找出和为5的情况，两者作比即可得概率.
【解析】从5个正整数中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。
【答案】.
三、解答题
17. （2013·辽宁高考文科·Ｔ19）
现有6道题，其中其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.
试求：所取的2道题都是甲类题的概率；
所取的2道题不是同一类题的概率；
【解题指南】利用列举法，弄清楚基本事件总数和所求的事件A包含的基本事件数，利用古典概型的公式计算概率
【解析】将4道甲类题依次编号为1,2,3,4，2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题的基本事件为
共有15个；并且这些基本事件的出现是等可能的，记事件“张同学所取的２道题都是甲类题”；则Ａ包含的基本事件有共６个，所以
基本事件同．记事件“张同学所取的２道题不是同一类题”，
则Ｂ包含的基本事件有共８个，
所以
18.(2013·天津高考文科·T15)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x, y, z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.
(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
【解题指南】(1)先计算表格中各样本的综合指标,再计算其中一等品所占比例来估计该批产品的一等品率.
(2)逐一列举,找出符合条件的结果,利用古典概型计算概率.
【解析】(1)计算10件产品的综合指标S,如下表
产品编号

S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为
(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共6种.
所以
19. （2013·湖南高考文科·Ｔ18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
Y
51
48
45
42
频数

4

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
【解题指南】本题先要确定共种植15株作物,然后弄懂哪些株之间的距离等于1米,哪些超过1米,关键是弄懂“相近”即直线距离不超过1米的含义.
【解析】（Ⅰ）由图可知所种作物总株数为15.其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均收获量为
(Ⅱ)由（Ⅰ）知年收获量至少为48kg的有6株，故从15株中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为。
20.（2013·江西高考文科·Ｔ16）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.

(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
【解题指南】(1)写出六个向量中取两个向量的所有情况，便知对应的数量积情况；（2）找出所求事件包含的结果代入古典概型概率公式.
【解析】(1)X的所有可能取值为-2，-1,0,1.
(2)数量积为-2的有,共1种；
数量积为-1的有,,,,,,共6种；
数量积为0的有,,,共4种；
数量积为1的有,,,共4种.
故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为；小波去唱歌的概率为，
小波不去唱歌的概率为.
21.（2013·安徽高考理科·Ｔ21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使取得最大值的整数。
【解题指南】（1）利用对立事件的概率计算；（2）根据P(X=m)的关系式，利用不等式求解。
【解析】（1）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以相互独立，由于
P(A)=P(B)=，因此。
（2）当k=n时，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1,,当k<n时，整数m满足，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为，当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k，由乘法计数原理知：事件{X=m}所包含基本事件数为，
此时，
当时，P(X=m)
,
假如成立，则当能被n+2整除时，，故P（X=m）在和处取得最大值；当不能被n+2整除时，处达最大值。（注：[x]表示不超过x的最大整数）
下面证明。
因为，所以，
而，故，显然，
因此。
22.（2013·北京高考文科·Ｔ16）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天。

（1）求此人到达当日空气质量优良的概率
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【解题指南】(1)(2)都是古典概型的概率计算问题,先列出基本事件空间所包含的基本事件及基本事件总数,再求出对应事件所包含的基本事件及基本事件总数,再求概率.(3)从图中找出哪三天的波动最大,则方差也就最大.
【解析】（1）此人到达的时间从1日到13日，共有13种情况。事件A=“此人到达当日空气质量优良”=｛1，2，3，7，12，13｝，包含基本事件数6。所以；
（2） 此人在该市停留两天期间的空气质量所有可能情况有：(86,25)，（25，57），（57，143），（143，220），（220.160），（160，40），（40，217），（217，160），（160，121），（121，158），（158，86），（86，79），（79，37）共有13种可能。
其中只有1天重度污染的有：（143，220），（220，160），（40，217），（217，160）共4种可能。所以。
（3）5，6，7三天。
23.（2013·广东高考理科·Ｔ17）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.
【解题指南】本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用.
【解析】（1）样本均值；
（2）样本中优秀工人为2名，频率为，由此估计该车间12名工人中有名优秀工人；
（3）由于12名工人中有4名优秀工人，任取2人恰有1名优秀工人的概率.
24.（2013·广东高考文科·Ｔ17）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）

频数（个）
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．
【解题指南】本题考查统计中的频率分布、分层抽样、古典概型等知识.
【解析】（1）苹果的重量在的频率为；
（2）重量在的有个；
（3）设这4个苹果中重量在的为1，的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.
25. （2013·山东高考文科·Ｔ17）某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2），如下表所示：

A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率
【解题指南】（Ⅰ）本题考查古典概型，要将“身高低于1.80的同学中任选2人”都列出，然后找“2人身高都在1.78以下”所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.（II）要将基本事件都列出，然后找“2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”所含的基本事件的个数，由古典概型概率公式求得结果.
【解析】（I）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A,B),(A,C),(B,C),共3个.
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=.
（II）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A,B），(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.
由于每个人被选到的机会均等，因此这些事件出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重都在（18.5,23.9）中的事件有：（C,D）,（C,E）,（D,E）,共3个.因此选到的2人身高都在1.70以上且体重都在（18.5,23.9）中的概率为.
26. （2013·陕西高考文科·Ｔ19）有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数

6

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
【解题指南】按相同的比例从不同的组中抽取人数;相互独立同时发生的概率公式P(AB)=P(A)P(B),代入可求解.
【解析】(Ⅰ)从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取9人.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为，
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为，
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率.
所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.
27. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。

经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；
【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;
(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当用频率估计概率，可得概率的估计值；
【解析】（1）当时，，
当时，

所以
（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当
由直方图知需求量的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
28. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判的概率.
【解析】（I）记表示事件“第2局结果为甲胜”，
表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
表示事件“第4局甲当裁判”.
则..
（II）记表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，
表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
表示事件“前4局中乙恰好当一次裁判”.
则

.

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