二次曲面课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,11,章 多元函数微分法,11-0,平面及其方程,.,二次曲面,知识逻辑关系图,二次曲面,曲面方程定义,曲面交线为空间曲线一般式方程,几种常见曲面方程,空间曲线投影,截痕法,空间曲线参数式方程,曲面围成的空间区域在坐标面投影,二次曲面定义,柱面坐标如何表示空间区域,球面坐标如何表示空间区域,重点：常见曲面方程,难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影,复习：,1,、平面一般式方程,2,、直线方程一般式方程,求到两定点,A,(1,2,3),和,B,(2,-1,4),等距离的点的,化简得,即,引例,:,解,:,设轨迹上的动点为,轨迹,方程,.,一、二次曲面,定义,.,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=0,有下述关系,:,(1),曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程,;,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做,曲面,S,的方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的,图形,.,(2),不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,故所求方程为,求动点到定点,特别,当,M,0,在原点时,球面方程为,设轨迹上动点为,即,依题意,距离为,R,的轨迹,表示上,(,下,),球面,.,（一）球面,例,.,研究方程,解,:,配方得,此方程表示,:,说明,:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通过配方研究它的图形,.,其图形可能是,的曲面,.,表示,怎样,半径为,的球面,.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,P(x,y,z),如果定直线为,z,轴，讨论此柱面的方程？,柱面上任取一点,P(x,y,z,),沿母线与,xoy,平面交点,P,(x,y,0),P,(x,y,0),P,(x,y,0),在准线上，从而柱面上,任一点,P,的坐标均满足方程,F(x,y)=0.,准线,C,方程,柱面方程：,F(x,y)=0,定义,.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,（二）柱面,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于,x,轴,;,平行于,y,轴,;,平行于,z,轴,;,准线,xoz,面上的曲线,l,3.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l,1.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l,2.,母线,例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,解,:,，,表示准线为,xoy,面的圆,C,圆柱面,.,母线平行于,z,轴,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xoy,面上的抛物线,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(,且,z,轴在平面上,),M,M,0,定义,.,一条平面曲线,（三）旋转曲面,绕其平面上一条,定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴,.,例如,:,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的,方程,:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yoz,面上曲线,C,:,则有,则有,该点转到,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,例,1.,试建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例,2.,求,xoz,面上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周,所生成旋转曲面方程,.,解,:,绕,x,轴旋转,绕,z,轴旋转,叫做单叶旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,叫做双叶旋转双曲面,.,例,3,解,由于高度不变,故所求旋转曲面方程为,空间曲线的一般方程,1,、空间曲线的一般方程,空间曲线,C,可看作空间两曲面的交线,.,二、空间曲线的一般方程,注：表示同一条曲线的方程不唯一。,例,2,方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,.,例,1,柱面,f(x,y)=0,的准线方程：,例,3,方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图,.,(2),(1),练习,空间曲线的向量函数表示,空间曲线的参数方程,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,例,.,将下列曲线化为参数方程表示,:,解,:,(1),根据第一方程引入参数,(2),将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例,.,求空间曲线,:,绕,z,轴旋转,时的旋转曲面方程,.,解,:,点,M,1,绕,z,轴旋转,转过角度,后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程,.,例如,直线,绕,z,轴旋转所得旋转曲面方程为,消去,t,和,得,旋转曲面方程为,绕,z,轴旋转所得旋转曲面,(,即球面,),方程为,又如,xoz,面上的半圆周,说明,:,一般曲面的参数方程含两个参数,形如,三、画二次曲面的截痕法,三元二次方程,画二次曲面的基本方法,:,截痕法,基本类型,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0),例,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,最底点（,1,，,2,，,-1,）,1.,椭圆锥面,椭圆,在平面,x,0,或,y,0,上的,截痕为过原点的直线,.,2.,椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标面对称。,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,3.,单叶双曲面,椭圆,.,时,截痕为,(,实轴平行于,x,轴；,虚轴平行于,z,轴）,双曲线,:,y,o,z,双曲线,:,3),x,4.,双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,假如将方程中的,1,换为,0,，得到椭圆锥面的方程,则称双曲面渐近于这个锥面,(1),与平面 的交线为椭圆,.,（,2,）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面,y=k,的交线为抛物线,x,y,z,o,5.,椭圆抛物面,（,3,）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,.,z,x,y,o,x,y,z,o,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,6.,双曲抛物面（马鞍面）,x,y,z,o,内容小结,1.,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕,z,轴的旋转曲面,:,柱面,如,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面,.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等,.,2.,二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,抛物线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴的直线,平行于,yoz,面的平面,圆心在,(0,0),半径为,3,的圆,以,z,轴为中心轴的,圆柱面,母线平行,y,轴的抛物柱面,练习,指出下列方程的图形,:,四、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得投影柱面,则,C,在,xoy,面上的投影曲线,C,为,消去,x,得,C,在,yoz,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zox,面上的投影曲线方程,例,在,xoy,面上的投影曲线方程为,消,Z,得过曲线,C,的投影柱面方程为：,如图,:,投影曲线的研究过程,.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,五、空间立体或曲面在坐标面上的投影,.,空间立体,曲面,所围的立体在,xoy,面上的投影区域,:,例求上半球面,和锥面,xoy,面上的,投影曲线,解先求二者交线,所围圆域,:,求下列空间区域在坐标面的投影,1),所围立体,区域,（,2,）,3),：,z0,x,2,+y,2,+z,2,=R,2,x,2,+y,2,=z,2,所围。,(5):,由曲面：,z=x,2,+y,2,z=4,所围,六、柱面坐标和球面坐标,规定：,1.,柱面坐标,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,解,知交线为,2,、球面坐标,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,规定：,球坐标的三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,解,