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初中数学常用的概念、公式和定理
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1、整数 (正整数、0、负整数)和 分数 (有限小数和无限环循小数)都是有理数. 叫做无理数. 称为实数
如:π,－,－3,0.231, 0.1010010001┈, ,0.737373┈,,…中有 个有理数， 个无理数
2、绝对值: a≥0丨a丨= ; a≤0丨a丨= .
如:丨－丨=;丨3.14－π丨= . 3－л的相反数是　　，的相反数　　；－л的绝对值　 ， －的倒数是　　　　　　
3、 左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得 ,结果有两个有效数字是 .
4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这叫做
科学记数法.－40700= , 0.000043= .
6. 幂的运算性质: ①am×an= . ②am－n = .
③(am)n=a.④anbn= . ⑤()n= . 特别: ⑥ = ⑦a0=1(a≠0).如: a3×a2= ,a6÷a2= , (a3)2= , (3a3)3= ,(－3)－1= ,5－2= = ,
()－2= . (－3.14)0= ,(－)0= .
7.乘法公式(反过来就是因式分解的公式)
① (a+b)( )=a2－b2. ② ( )2=a2±2ab+b2.
③ a2 + b2 = ④ m2 + =
8.因式分解的原则:先看能否提公因式；然后二项式用平方差公式,三项式用完全平方公式。注:要分解到每个多项式都不能再分解为止.
x2(2x－y)－2x＋y =
10.二次根式:①( )2= (a≥0) , ②= ,
③= ×, ④ =(a>0,b≥0).
如: ①(3)2= . ②= .③a<0时,= . ④的平方根= .
请举出几个同类二次根式的例子： 。再举出几个最简二次根式的例子： 。
11. 一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0 （a≠0）
① 求根公式是 x= ,
当 时,方程有两个不相等的实数根;
当 时,方程有个相等的实数根;当 时,方程没有实数根.
注意: 当 时, 方程有实数根.
② 若方程有两个实数根x1和x2,则x1+x2= ,x1x2= ,
12.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要 方向.（1）求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所有解，再从中找出所需特解．
（2）一元一次不等式组的解：①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。（口诀：同大取大，同小取小；大小小大，中间找；大大小小，无解。）
（3）不等式组的分类及解集(a＜b如右图）．
13.平面直角坐标系:
①各限象内点的坐标如图所示.
② x轴上的点,纵坐标是 ;y轴上的点, 横坐标是 .
③ 关于横轴对称的两个点, 坐标相同( 坐标相反);
关于纵轴对称的两个点, 坐标相同( 坐标相反);
关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都 .
关于直线y=x对称的点，横坐标、纵坐标 。
14.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 ，与y轴交于点
当k>0时,y随x的增大而 k<0时,y随x的增大而 当b=0时,y=kx又叫正比例函数(y与x成正比例),图象过 .
15.反比例函数y=(k≠0)的图象叫做双曲线.反比例函数的另一形式是 。
当k>0时,双曲线在 象限，在每个象限，y随x的增大而
当k<0时,双曲线在 象限，在每个象限，y随x的增大而
反比例函数的几何性质有：（1）对称性：
（2）过反比例函数图像上任意一点P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，则SJ矩形PAOB = ，SΔOOA = .
16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线.与y轴交于点
① a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.
② 顶点坐标是( ),对称轴是直线 .
特别:抛物线y=a(x－h)2+k的顶点坐标是 ,对称轴是直线
③抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
( )

(,0)

( )

( )
④.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1） 公式法：，
∴顶点是（ ），对称轴是直线（ ).
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
⑤抛物线中，的作用
⑴和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线 ，故：①时，对称轴为轴；② （即、同号）时，对称轴在轴左侧；
③ （即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（2）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，
∴抛物线与轴有且只有一个 交点（0，）：
⑶，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
⑥直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
(1)有两个交点()抛物线与轴相交；
(2)有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；
(3)没有交点()抛物线与轴相离.
17:求二次函数解析式的设法
①已知三个点的坐标,则设为一般形式
②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式
③已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)，则设交点式
注：如何利用待定系数法求函数的解析式？
18.抛物线与x轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c
① Δ<0时,与x轴 交点. ②Δ=0时,与x轴 交点
③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程
ax2+bx+c=0的两个根.
* （1）根据抛物线的对称性，抛物线上任意一对关于对称轴对称的点的横坐标：| 2×（—）— x| (x 为已知点的横坐标），纵坐标 。
（2）平行于x 轴的线段的两端点之间的距离：| AB | = .平行于 x 轴的线段的两端点之间的距离：| AB | = .平面直角坐标系中任意两点之间的距离| AB | = .
19.统计初步:
(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做 ,其中每一个考察对象叫做 .从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个 ,样本中个体的数目叫做 .②在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的 .③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的 ,它可以用来描述数据的 .
(2)公式:设有n个数x1,x2,…,xn,那么①平均数= 它和加权平均数一样可以用来描述数据的 .
②方差S2= 用于描述数据的
方差越大,这组数据的波动就 .通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数. 方差的算术平方根叫做标准差
(3) 频率:把一组数分成若干个小组,落在某小组内的数据的个数叫做这组的 ,每一小组的频数与数据 的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于 .在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.
(4)简单事件
必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；
不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
不确定事件： 。
(5)概率： 。
P必然事件=1，P不可能事件=0，0＜P不确定事件＜1
(6)概率的计算方法
用试验估算：
常用的计算方法：① ；② 树形图 （树形图求概率的基本步骤和方法。）
20.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任一锐角,则
∠A的正弦:sinA= , ∠A的余弦:cosA= ,
∠A的正切:tanA= ,
∠A越大,∠A的正弦和正切值越 ,余弦和余切值越 .
②特殊角的三角函数值:

300
450
600
sinα

cosα

tanα

*判断三角形形状的方法
在ΔABC中，三边分别是a、b、c（其中c是最长边）
（1） 如果a2 + b2 = c2 ，则三角形是 。
（2） 如果a2 + b2 > c2 ，则三角形是 。
（3） 如果a2 + b2 < c2 ，则三角形是 。
斜坡的坡度（坡比） i==. 设坡角为α,则
i= tanα=.
21.三角形:
(1) 在一个三角形中:等边对等角,等角对等边，大角对大边，小边对
(2) 证明两个三再形全等的方法有: ,AAS, ,SSS, .
(3) 在RtΔ中,斜边上的 等于斜边的一半.
(4) 证明一个三角形是直角三角形的方法有:
① 证明有一个角等于900.
② 证明最长边的平方等于另两边的 .
③ 证明一条边的 等于这条边的一半.
(5) 三角形的中位线平行于 ,并且等于笫三边的 .
角平分线的性质： 。角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这各角的角平分线上。
(6) 等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.
(7)三角形角的关系
内角： 。外角： 。
（8） 等腰三角形的性质：
三角形的有两边 或有两角 的三角形是等腰三角形。有一个底角等于600的等腰三角形是 。
（9） 在直角三角形中300所对的直角边是 的一半。斜边上的
线是斜边的一半。
22.四边形:
(1) n 边形的内角和等于 ,外角和等 .每个外角等于
(2) 平行四边形的性质:

(3) 证明一个四边形是平行四边形的方法有:
① 两组对边 或 的四边形是 。
② 一组对边 且 的四边形是 。
③ 两组对角分别 的四边形是 。
④ 对角线互相 的四边形是 。
⑤平行四边形的性质与判定有什么关系？
(4) 矩形的对角线相等且互相平分;菱形的四边相等，对角线互相 ,且每一条对角线平分一组对角.
(5) 证明一个四边形是矩形的方法有:
① 有三个角是直角的四边形是矩形。
② 有 各角是直角的平行四边形是矩形。
③ 对角线 的平行四边形是矩形。对角线 且 的四边形是平行四边形。
(6) 证明一个四边形是菱形的方法有:
① 都相等的 形是菱形.
② 有一组邻边相等的 是菱形.
③ 对角线 的平行四边形是菱形。
(7) 正方形:既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.
(8) 梯形的中位线:平行于两底并且等于两底之和的一半.
(9) 轴对称图形有: 线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.
中心对称图形有: 线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.
23. 证明两个三角形相似的方法有:
① 两组对应角相等，两三角形相似.
② 两组对应边成 且 相等 ，两三角形相似.
③ 三组对应边对应成 ，两三角形相似。
④ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， .
⑤ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
⑥ 相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于 . 面积的比等于相似比的 .
平行线分线段成比例定理：三条直线截两条直线，所得的对应线段的比相等。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
25.射影定理:
ΔABC中, 若∠ACB=900, CD⊥AB,
则:①AC2=AD * AB. 
②BC2=BD * BA.③ AD2=DA * DB.
26.圆的有关性质:
（1）垂径定理: ①垂直于弦的直径 ，且平分弦所对的
②平分弦（不是直径）的直径 ，且平分弦所对的两条弧
(2）两条平行弦所夹的弧相等.
(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等.
(4)一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半.
(5)同弧或等弧所对的 相等.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
(6)900的圆周角所对的弦是直径.直径所对的 是直角.
27.直线和圆的位置关系:
(1) 若⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:
① d<r直线L和⊙O相交. ②d=r直线L和⊙O相切.
③ d>r直线L和⊙O相离.
(2) 切线的判定定理: 经过半径外端并且 这条 的直线是圆的切线. 反之: 切线垂直过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点可以引元的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（4）三角形内切圆圆心叫三角形 .内心就是三条 线交点.
三角形外接圆圆心叫三角形 .外心就是三边 线的交点.
内心到三 的距离相等，外心到三 距离相等。
* （1）直角三角形三边为a、b、c、为斜边，则其外接圆的半径为 ，其内切圆的半径为 。
（2）圆内接四边形对角线互补。圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。对角互补的四边形内接与圆。圆外切四边形两组对边相等。
* 正多边形：各边长度都相等，各角 。多边形的对角线有
P
A
C
D
B
条。任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正 n 边形的每个内角都等于 或 。
与圆有关的比例线段
图1
（1） 相交弦定理及推论：①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等。
C
如图1：PA * PB = PC * PD
②相交弦定理推论：如果弦与直径相交，那么弦的
B
A
P
一半是它分成的两条线段的比例中项，
D
如图2：PC2 = PA * PB
图2
(2) 切割线定理及推论：
C
(3) ①切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，
B
P
切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的
A
比例中项.如图3：PC2 = PA * PB
图3
②切割线定理推理（割线定理）：从圆外一
B
点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段的积相等.A

E
D
P
如图4：PA * PB = PE * PD
图4

28.圆和圆的位置关系:
设两圆半径为R和r,圆心距为d,则: d>R+r两圆外离. ② d=R+r两圆外切.③ R－r<d<R+r(R≥r)两圆相交.
④ d=R－r两圆内切.0≤d<R－r两圆内含.
30.面积公式: ① S正Δ =×(边长)2.
② S平行四边形 =底×高 ③S菱形=底×高= ×(对角线的积)
④ S圆=πR2. ⑤C圆周长= 2πR. ⑥ 弧长L=.
⑦ S扇形== LR. ⑧ S圆锥侧面积=πrL.
31. 轴对称图形与轴对称具有的性质：任何一对对应点的连线被对称轴 。如果两个图形关于某直线对称，则对应线段相等，如果它们的对应线段的延长线相交，那么交点在 上。
32. 请写出轴对称图形与轴对称的区别。 。
33. 线段垂直平分线性质定理及逆定理：性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 。性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
34. 点在平面直角坐标系中平移时坐标的变化：上移加下移减（纵坐标的值），左移加右移减（ ）。
35. 旋转的性质：旋转过程中任意一对对应点旋转的角度都等于旋转角。对应点到旋转中心的距离相等。对应线段的夹角等于对应角。
36. 中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心 ，且被对称中心平分，对应线段平分（或在同一条直线上）。中心对称图形的重心在其对称中心，且过对称中心的直线将该图形平分为面积相等的两部分。
37. 请写出中心对称图形与中心对称的区别。 。