实数部分技巧题小结(内含详细解析).doc

实数部分技巧题小结

一．填空题（共24小题）
1．一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a，则x=　 　．
2．已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2016的值为　 　．
3．比较大小：3　 　4．
4．估计与0.5的大小关系是：　 　0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
5．实数的整数部分是　 　．
6．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　 　．
7．16的平方根是　 　．
8．（﹣4）2的算术平方根是　 　．
9．的算术平方根是　 　，=　 　．
10．如图，△ABO的边OB在数轴上，AB⊥OB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么数轴上点C所表示的数是　 　．

11．我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有　 　（注：填写出所有错误说法的编号）
12．已知|a|=3，=2，且ab＜0，则a﹣b=　 　．
13．已知a2=25，=7，且|a+b|=a+b，则a﹣b=　 　．
14．若|x|=4，|y|=5，则|x+y|的算术平方根等于　 　．
15．已知=4.1，则=　 　．
16．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是　 　．
17．已知≈44.89，≈14.19，则≈　 　．
18．已知a6m=8，则a2m的算术平方根为　 　．
19．数轴上点A、点B分别表示实数，﹣2，则A、B两点间的距离为　 　．
20．如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值　 　．
21．平方根等于本身的数有　 　；立方根等于本身的数有　 　；算术平方根等于本身的数有　 　．
22．已知+=0，则a+b=　 　．
23．如果+=0，那么xy的值为　 　．
24．运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律
（1）=　 　=　 　=　 　
规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向　 　移动　 　位．
（2）=　 　=　 　=　 　
规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向　 　移动　 　位．

二．解答题（共6小题）
25．（1）计算：|﹣|+2
（2）求x的值：25x2=36．
26．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向C点停止，已知点A表示﹣，点C表示2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求BC的长．

27．已知a、b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
请你用“＞”或“＜”完成填空：
（1）a　 　b； （2）|a|　 　|b|； （3）a+b　 　0；
（4）b﹣a　 　0； （5）a+b　 　a﹣b； （6）a•b　 　b．

28．求下列各式的值
（1）+
（2）|1﹣|+||﹣|﹣2|
29．（1）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，求a的值．
（2）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x绝对值等于2，求﹣2mn+﹣x的值．
30．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　，如果|AB|=2，那么x=　 　；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应x的取值范围是　 　．

实数部分技巧题小结
参考答案与试题解析

一．填空题（共24小题）
1．一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a，则x=　49　．
【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（2a﹣3）+（5﹣a）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值．
【解答】解：∵一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）=0，
解得：a=﹣2．
∴2a﹣3=﹣7，5﹣a=7，
∴x=（±7）2=49．
故答案为：49．
【点评】此题考查了正数有两个平方根，且此两根互为相反数的知识．注意方程思想的应用．

2．已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2016的值为　1　．
【分析】根据题意得出方程2m﹣6+3+m=0，求出m，最后，再代入计算即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，
∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，
∴（﹣m）2016=（﹣1）2016=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．

3．比较大小：3　＜　4．
【分析】首先分别求出3、4的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出3、4的平方的大小关系，即可判断出3、4的大小关系．
【解答】解：（1）=45，（4）2=48，
∵45＜48，
∴3＜4．
故答案为：＜．
【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）解答此题的关键是比较出3、4这两个数的平方的大小关系．

4．估计与0.5的大小关系是：　＞　0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【解答】解：∵﹣0.5=﹣=，
∵﹣2＞0，
∴＞0．
答：＞0.5．
【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．

5．实数的整数部分是　2　．
【分析】因为2＜＜3，由此可以得到实数的整数部分．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴实数的整数部分是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小．

6．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　7　．
【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得a、b的值，然后利用加法法则计算即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4．
∴a=3，b=4．
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．

7．16的平方根是　±4　．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

8．（﹣4）2的算术平方根是　4　．
【分析】先求得（﹣4）2的值，然后再求得16的算术平方根即可．
【解答】解：（﹣4）2=16．
16的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，求得（﹣4）2的值是解题的关键．

9．的算术平方根是　3　，=　﹣4　．
【分析】依据算术平方根、立方根的性质求解即可．
【解答】解：=9，9的算术平方根是3．
∵（﹣4）3=﹣64，
∴=﹣4．
故答案为：3．﹣4．
【点评】本题主要考查的是立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．

10．如图，△ABO的边OB在数轴上，AB⊥OB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么数轴上点C所表示的数是　﹣　．

【分析】首先根据勾股定理得：OA=，因为OC=OA，则点C所表示的数是到原点的距离为的数，即±，再根据数轴上的位置即可求解．
【解答】解析：在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OA=，
∵OA=OC，点C在数轴的负半轴上，
∴点C所表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴、勾股定理．解答此题要熟练掌握勾股定理．

11．我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有　⑤　（注：填写出所有错误说法的编号）
【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如=2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；
⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确．
故答案为：⑤．
【点评】此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．

12．已知|a|=3，=2，且ab＜0，则a﹣b=　﹣7　．
【分析】先求得a、b的值，然后依据ab＜0，确定出a、b的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵|a|=3，=2，
∴a=±3，b=4．
又∵ab＜0，
∴a=﹣3，b=4，
∴a﹣b=﹣3﹣4=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义、绝对值的性质、有理数的乘法，熟练掌握相关法则是解题的关键．

13．已知a2=25，=7，且|a+b|=a+b，则a﹣b=　﹣2或﹣12　．
【分析】先求得a、b的值，然后再依据绝对值的性质分类计算即可．
【解答】解：∵a2=25，=7，
∴a=±5，b=±7．
又∵|a+b|=a+b，
∴a=5，b=7或a=﹣5，b=7．
∴a﹣b=5﹣7=﹣2或a﹣b=﹣5﹣7=﹣12．
故答案为：﹣2或﹣12．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，求得a、b的值是解题的关键．

14．若|x|=4，|y|=5，则|x+y|的算术平方根等于　1或3　．
【分析】根据绝对值，可得x，y的值，然后利用分类讨论的数学思想可以求得|x+y|的算术平方根．
【解答】解：∵|x|=4，|y|=5，
∴x=±4，y=±5，
∴当x=4，y=5时，，
当x=4，y=﹣5时，，
当x=﹣4，y=5时，，
当x=﹣4，y=﹣5时，，
∴x+y|的算术平方根等于1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查的是算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．

15．已知=4.1，则=　0.41　．
【分析】把进行变形，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：==4.1×0.1=0.41，
故答案为：0.41．
【点评】本题考查的是算术平方根的概念和性质，注意二次根式的性质在解答本题时的应用．

16．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是　±3　．
【分析】根据平方与开方互为逆运算，可得被开方数，根据被开方数，可得a，b的值，根据开平方，可得平方根．
【解答】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，
∴a=5，b=2，
a+2b=5+4=9，
±，
故答案为：±3．
【点评】本题考查了平方根，先根据平方根求出被开方数，再根据被开方数求出平方根．

17．已知≈44.89，≈14.19，则≈　4.489　．
【分析】先将2016写成20.16×100，再运用二次根式的性质进行化简计算．
【解答】解：∵≈44.89，
∴≈4.489．
故答案为：4.489．
【点评】本题主要考查了算术平方根，解决问题的关键是根据二次根式的性质进行化简．解题时需要运用公式：=×（a≥0，b≥0）．

18．已知a6m=8，则a2m的算术平方根为　　．
【分析】先求得a2m的值，然后再依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：∵a6m=（a2m）3=8，
∴a2m=2．
∴a2m的算术平方根为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是算术平方根、立方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

19．数轴上点A、点B分别表示实数，﹣2，则A、B两点间的距离为　2　．
【分析】根据数轴上两点间的距离是让较大的数减去较小的数进行计算即可．
【解答】解：﹣（﹣2）=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题关键是求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数．

20．如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值　4　．
【分析】依据被开放数越大，对应的算术平方根越大估算出与的大小，从而求得a、b的值，然后再进行计算即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3．
∴a=﹣2．
∵36＜37＜49，
∴6＜＜7．
∴b=6．
∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．

21．平方根等于本身的数有　0　；立方根等于本身的数有　1、﹣1、0　；算术平方根等于本身的数有　0和1　．
【分析】依据平方根、立方根、算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：平方根等于本身的数是0；立方根等于本身的数有1、﹣1、0；算术平方根等于本身的数1和0．
故答案为：0；1、﹣1、0；1和0．
【点评】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

22．已知+=0，则a+b=　　．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，2a+1=0，b﹣1=0，
解得，a=﹣，b=1，
则a+b=，
故答案为：．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

23．如果+=0，那么xy的值为　﹣6　．
【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y+2=0，
解得，x=3，y=﹣2，
则xy=﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．

24．运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律
（1）=　13　=　1.3　=　0.13　
规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向　左（右）　移动　一　位．
（2）=　13　=　1.3　=　0.13　
规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向　左（右）　移动　一　位．
【分析】首先利用计算器进行正确的计算，然后根据计算的结果发现小数点的移动规律即可．
【解答】解：（1）=13；
=1.3；
=0.13；
规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向左（右）移动一位．

（2）=13；
=1.3；
=0.13；
规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向左（右）移动一位．
故答案为：13，1.3，0.13，左（右），一；13，1.3，0.13，左（右），一．
【点评】本题考查了计算器的正确使用，解题的关键是熟悉计算器，并正确的计算，当计算出正确的结果后，发现规律不再是难点．

二．解答题（共6小题）
25．（1）计算：|﹣|+2
（2）求x的值：25x2=36．
【分析】（1）首先求出|﹣|的大小，然后再用求出的绝对值的大小加上2，求出算式|﹣|+2的值是多少即可．
（2）首先求出x2的大小，然后根据平方根的求法，求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）|﹣|+2
=
=
（2）∵25x2=36，
∴x2=，
∴x=
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

26．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向C点停止，已知点A表示﹣，点C表示2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求BC的长．

【分析】（1）根据数轴两点间的距离公式得到m﹣2=﹣，然后解方程即可得到m的值；
（2）根据两点间的距离，即可解答．
【解答】解：（1）m﹣2=﹣，
m=2﹣．
（2）BC=|2﹣（2﹣）|=|2﹣2+|=．
【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．

27．已知a、b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
请你用“＞”或“＜”完成填空：
（1）a　＜　b； （2）|a|　＞　|b|； （3）a+b　＜　0；
（4）b﹣a　＞　0； （5）a+b　＞　a﹣b； （6）a•b　＜　b．

【分析】根据数轴得出b＞0，a＜0，|a|＞|b|，根据有理数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵由数轴可知：b＞0，a＜0，|a|＞|b|，
∴a＜b，|a|＞|b|，a+b＜0，b﹣a＞0，a+b＞a﹣b，ab＜b，
故答案为：（1）＜（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜．
【点评】本题考查了有理数的大小比较和实数与数轴的关系的应用，能根据数轴得出b＞0，a＜0，|a|＞|b|是解此题的关键，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

28．求下列各式的值
（1）+
（2）|1﹣|+||﹣|﹣2|
【分析】（1）利用立方根的定义和平方根的性质进行计算即可；
（2）利用绝对值的定义先把绝对值号去掉，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）+
=﹣2+8
=6；
（2）|1﹣|+||﹣|﹣2|
=﹣1+﹣﹣（2﹣）
=﹣1+﹣﹣2+
=2﹣3．
【点评】本题主要考查实数的运算，注意去掉绝对值号时需要判断绝对值号里面数的正负．

29．（1）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，求a的值．
（2）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x绝对值等于2，求﹣2mn+﹣x的值．
【分析】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此列方程求a；
（2）a，b互为相反数，则a+b=0；m，n互为倒数，则mn=1；x绝对值等于2，则x=±2，代入所求代数式即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1和﹣a+2为一个正数的平方根，
∴（2a﹣1）+（﹣a+2）=0，
解得a=﹣1；

（2）依题意，得a+b=0，mn=1，x=±2，
当x=2时，﹣2mn+﹣x=﹣2+0﹣2=﹣4，
当x=﹣2时，﹣2mn+﹣x=﹣2+0+2=0，
故：﹣2mn+﹣x=﹣2+0﹣2=﹣4或0．
【点评】本题考查了数的开方的意义，实数的有关概念及运算．

30．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　，
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　|x﹣（﹣1）|　，如果|AB|=2，那么x=　1或﹣3　；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应x的取值范围是　﹣1≤x≤2　．

【分析】（1）规律为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值；
（2）注意绝对值等于2的数有2或﹣2两个；
（3）|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1和2之间的线段上．
【解答】解：（1）|2﹣5|=|﹣3|=3；
|﹣2﹣（﹣5）|=|﹣2+5|=3；
|1﹣（﹣3）|=|4|=4；

（2）|x﹣（﹣1）|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=﹣2，
所以x=1或x=﹣3；

（3）数形结合，若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2．
【点评】本题考查的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．

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