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一道习题惹的“祸”

噫！ 噫！ 噫！
三个不同音色的“噫”惊动了正在讲桌上批改作业的我，其他的61双眼睛也一起聚集在教室中央的三个男生身上。
怎么回事？我起身走了过去。原来是一道习题惹的祸！
题目：如图RtΔABC中，∠C=90°。AB BC CA分别为c a b,求RtΔABC的内切圆O的半径r（人教版九年级上册数学教材P103-习题24.2“推广探索”第15题）。
三个同学是解答如下：
甲：分别连接圆心O与切点E 、D。
显然易得CE=CD=r
而AE=AF BD=BF
所以r=(AC+BC-AB)/2
即：r=
乙：分别连接圆心O与三角形的三个顶点。
则原三角形的面积可看作为ΔAOC ΔBOC ΔAOB的面积之和。
所以有 ab/2=ar/2+br/2+cr/2
即：r=
丙：分别连接圆心O与三个切点D、E、F。
那么原三角形的面积可以看作是三个四边形AEOF 、ECDO、 BDOF的面积之和。
所以有：ab/2=r2+(a-r)r+(b-r)r
解这个关于r的一元二次方程得：r=
而a2+b2=c2
所以r1= r2=
问题出来了！从解题思路和过程来看，三个同学都很不错，对吧？但问题是甲乙同学都是求的同一个三角形的内切圆的半径，与相等吗？而丙同学的r1与 r2明显不等又是怎么回事（c不为0）？
我把三个同学的解答和疑问展示在黑板上让全班同学讨论，十多分钟后，同学们得到了以下结论和问题。
1、甲乙两同学的答案是相等的。
2、甲乙两同学的答案相等证明了勾股定理。勾股定理证明方法有几百种，不知道这是否是一种新证法？
3、 丙同学的r1与 r2明显不等是因为r的取值范围。因为点O在三角形内且∠EOF ∠EOD ∠FOD均非锐角（即∠AOC ∠COB ∠BOA均为钝角）。所以r小于a b c中的任何一个。故r1=应舍去。答案和甲同学相同。
4、 总结了一个经验：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。
5、得到一个推论：普通三角形的内切圆的半径等于它的面积的2倍与三边之和的商。(r=)
怎么样？收获还真的不少！
通过这个案例，我们不难发现，教材是学生学习的“本”，教材上的每道例、习题都是众多数学教育家集体智慧的结晶 。不少老师在处理这些例、习题时都“惜时如金”将更多的时间用在做各种资料上，这实在是一种本末倒置的做法！作为工作在教学第一线的教师，应该深挖教材习题内涵，“小题大做”。培养学生创新思维能力，减轻学生负担，全面提高学生素质。

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