三角函数大题训练教师版.doc

三角函数常见习题类型解法
类题：
1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．
解：因为，又sin2x＋cos2x=1，
联立得
解这个方程组得
2．求的值．
解：原式

3．若，求sinxcosx的值．
解：法一：因为
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，
得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得

所以
法二：因为
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，
所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2，
所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，
所以有
5．求函数在区间[0，2p ]上的值域．
解：因为0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，
得到
所以y∈[－1，2]．
6．求下列函数的值域．
(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．
解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，
令t=cosx，则
利用二次函数的图象得到
(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx，，则则，利用二次函数的图象得到
7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以
又由，得到可以取
8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．
数的值域．
解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x

所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为
1． 已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
2． 求函数的值域。
解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
3．已知函数。
（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线对称。
解：

(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

4． 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
25. （08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
26. （08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
28. （08陕西卷17）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
25. 解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以，
因此，即的取值范围为．
26. 解：

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为
27. 解：（1）

（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又 ，当时，取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
28. 解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．