离散型随机变量及其分布列l练习题.docx

离散型随机变量及其分布列、二项分布
1一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．求X的分布列．

2　将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中去，杯子中球的最大数记为ξ，求ξ的分布列．

3　(2011·淮南模拟)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.

4从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列； (2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．

5袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6的概率．

6．(12分)已知随机变量ξ的分布列为

ξ
－2
－1
0
1
2
3
P

分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．

7．(12分)(2011·芜湖模拟)设离散型随机变量ξ的分布列P＝ak，k＝1,2，3,4,5.
(1)求常数a的值；(2)求P； (3)求P.

8．(14分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列；
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．

9　(2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球

在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．

10．(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列；
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．

11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；
(2)比赛打满七局的概率；
(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．

1　解题导引　求离散型随机变量的分布列步骤是：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表．求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．
解　X的可能取值为3,4,5,6，
从而有：P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
故X的分布列为
X
3
4
5
6
P

2解　依题意可知，杯子中球的最大数ξ的所有可能值为1,2,3，当ξ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当ξ＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．从而有P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P

3解题导引　对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
解　依题意，随机变量X服从超几何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

4解　(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选的3人中女生随机变量X＝0,1,2，其概率
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列为：
X
0
1
2
P

(2)由(1)可得“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.

5　解　(1)得分X的所有可能值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
∴X的分布列为
X
5
6
7
8
P

(2)得分大于6的概率为：
P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
6．解　由于η1＝ξ对于不同的ξ有不同的取值η1，
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0

1

P

(6分)
η2＝ξ2对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2值的概率与合并的结果，η2取1这个值的概率为ξ取－1与1的概率与合并的结果，故η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P

(12分)
7．解　(1)由离散型随机变量的性质，得
a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝.
(2)由(1)，得P＝k，k＝1,2,3,4,5.
方法一　P
＝P＋P＋P(ξ＝1)
＝＋＋＝.(7分)
方法二　P＝1－P
＝1－
＝1－＝.(7分)
(3)∵<ξ<，∴ξ＝，，，∴P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.(12分)
8．解　(1)ξ的可能取值为0,1,2,3.(1分)
P(ξ＝0)＝·＝＝，(3分)
P(ξ＝1)＝·＋·＝，(5分)
P(ξ＝2)＝·＋·＝.(7分)
P(ξ＝3)＝·＝.(9分)
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

(11分)
(2)所求的概率为P＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.(14分)
9　解题导引　因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此该试验属n次独立重复试验．注意n＝3，P＝.
独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
解　(1)方法一　记小球落入B袋中的概率P(B)，
则P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，
所以P(B)＝3＋3＝，
∴P(A)＝1－＝.
方法二　由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋．
∴P(A)＝C3＋C3＝.
(2)由题意，ξ～B.
∴P(ξ＝3)＝C31＝.
变式迁移3　解　(1)要求4秒后，粒子A在x＝2处的概率，即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：
C()3()＝.
(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x＝2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B往右和左各一次，所求概率为：2·C＝.
10．解　(1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6，
所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，
因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为.(4分)
(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

(8分)
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
则P(M)＝，P(M∩N)＝，
P(N|M)＝＝.(12分)
11．解　(1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．
在第一种情况下，乙取胜的概率为4＝，
在第二种情况下，乙取胜的概率为C4＝，
所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为
＋＝.(5分)
(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比赛打满七局乙胜”为事件B.
则P(A)＝C4＝，
P(B)＝C4＝，
又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为
P(A)＋P(B)＝.(9分)
(3)P(ξ＝4)＝2＝，
P(ξ＝5)＝C2＝，
P(ξ＝6)＝C3＋4＝，
P(ξ＝7)＝C4＋C4·＝，(13分)
所以ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
P

(14分)