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让学生经历几何证明的思维过程
湖北宜城市官庄中学　　王瑛

数学的思维过程是人脑对外部数学信息的接受、分析、选择加工和整合的过程。在加工整合时，思维的材料不仅是主体外部的数学信息，还必须使用主体内部即主体大脑中贮在的数学信息（任樟辉《数学思维论》）。几何问题同代数问题相比，在接受外部信息时显然多了一个从几何图形中收集整理信息的过程，因而几何问题的解决也就比代数问题更难于操作。我们经常被这样的情形所困惑，那就是教师的讲解大部分都能够听明白，但当他们自己证明时却不知如何下手。如果我们在解题过程中鼓励学生善于从图形中收集信息，把所得的外部信息同内部信息进行有机整合，实际上就是让学生在经历证题的思维过程，因而解决了几何证题该怎样想的问题。
例1：如图1，直线AB、CD被EF所截，∠1＝∠3，求证：AB∥CD。
1
2
3
A
B
C
D
F
E
分析：从理解题意与观察图形可获得外部信息∠1＝∠3及它们在图形中的位置，从观察图形可荻取信息∠2与∠1是同位角，∠2与∠3是对顶角等。从记忆和经验中可提取对顶角相等，同位角相等、两直线平行，等量代换等内部信息。
图1
1
2
3
4
A
B
C
D
F
E
对于大部分学生而言，通过理解题意与观察图形不难获得以上外部数学信息，他们大脑中也贮存有以上内部信息，内、外部数学信息的选择及内、外部信息整合才是最难的，如怎样把符号信息∠1＝∠3转换成同位角相等两直线平行等内部信息，我们应给学生足够的时间，从图形中寻找和∠1、∠3具有特殊位置关系的角，让他们经历选择、整合信息所遇到的挫折，久而久之形成习惯，自然也就解决了几何证题该怎样想的问题。事实上，通过观察图形所获取的图形信息远不止上述几条，如图：∠1与∠4是邻补角，∠2与∠4是同旁内角……从不同的角度选择信息、加工信息可以得到问题的不同解法，它是我们培养学生发散思维和创新意识的重要途径。
图2
平面几何里的概念和定理都是在平面图形特定状态下给出的，也就是说平面几何里每一个概念、每一个定理都有它对应的几何图形，我们把这些图形分别称为概念图形和定理图形。定理图形一般是由几个概念图形组成具有特定意义和功能的几何图形，它本质上是一个信息块。纵观几何所研究的问题几乎都是角与角、线段与线段、角与线段之间的关系，现实世界中任何事物都不可孤立存在，它必然和它事物所发这样和那样的联系，联系线段与角的纽带是所谓的概念图形和定理图形。从图形中收集信息，实质上是从图形中分离出概念图形和定理图形。
C
A
F
E
D
图3
A
D
B
C
G
E
F
例2：如图3，F是平行四边形ABCD边BC延长线上一点，AF分别交BD、CD于G、E，求证：AG2＝GE·GF。
A
B
D
F
G
B
A
C
E
F
D
A
G
B
F

图4
图7
图6
图5

分析：图3可以分离出图4到图7四个相似三角形定理图形。
图4、图5不含结论中涉及到的线段AG，这两条信息应过滤掉。由图6得：AG：GF＝DG：GB，由图7得：EG：AG＝DG：GB，应用等量代换可得AG：GF＝GE：AG，即AG2＝GE·GF。
从AG2＝GE·GF特点可提取三角形相似等思维的内部材料，线段之间的关系需要通过包含它们的基本图形之间的联系才能沟通，因此从图形中分离包含线段AG、GE、GF的三角形是证题的出发点和落脚点，在此过程中，实现思维的外部材料与内部材料整合，进而实现让学生经历几何证题的思维过程。
有的几何证题，其符号信息与基本图形难于融合，自然也就难于整合产生新信息，究其原因，是因为缺乏包括“符号信息”恰当的定理图形或概念图形，这时需要添加辅助线。添加辅助线就是构造以“符号信息”为条件的定理图形或概念图形，一方面使“符号信息”产生新信息，另一方面能通过图形之间的联系促使信息流动，进而实施信息整合。
例3：如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AF，BF和AD交于E，求证：AE＝BE。
F
A
●
O
C
E
A
D
F
E
B
图8 8
分析（1）：由观察可知，线段AE、BE“角色”单调，外部信息AD⊥BC难于生成新的信息，原因是缺乏包含它们的概念图形或定理图形，因此，它们之间的联系难于沟通。连结AB构造了包含线段BE、AE的△ABE，包含∠BAE的Rt△BAD及圆周角∠ABF等概念图形。此时证明思路较为明朗，结论的证明转化证∠BAE=∠ABF，这个问题显然不能通过△ABE来解决，需要换一个角度来看待∠ABE、∠BAE的“角色”，寻求与此两角具有特殊关系的角。作为Rt△BAD的一锐角，显然有∠BAE＋∠ABD＝90度，这时寻找与∠ABD互余的角成为探究方向。连AC与BC是⊙O的直径结合，则得概念图形——Rt△ABC，进而有∠ACB＋∠ABC＝90度，同时，∠ACB还是弧AB所对的圆周角，至此，沟通 ∠ABE与∠BAE联系的通道已建立。
D
C
O
●
B
分析（2）：考虑到BC是直径，AD⊥BC，因此，可以构造垂径定理的定理图形。此时，由于AE、BE“角色”单调，不与垂定理的相关内容建立联系。连结BA，构造概念图形圆周角∠ABF、∠BAH，这时与垂径定理结论整合，通过这两角所对的弧沟通了它们之间的联系，则得∠ABF＝∠BAH。
E G
A
F
分析（3）：考虑到A是弧BF的中点，O是圆心，连结OA可构造平分弧的直径这一定理图形，同时构造了△AEG、△BDE和△ADO、△BOG，并使AE、BE成为△AEG、△BDE的边。考虑△AEG与△BDE全等，则问题获到解决。
C

B
O

D
图10
图11
D
●
O
B
E
F
H
G
C
A
反思是一种思维活动结束而另一种思维活动开始的辨证过程，从不同的角度观察几何图形，选择不同的概念图形、定理图形可以得到不同的解答方法，从不同的角度对条件与概念图形、定理图形进行整合，可以得到不同的结论，和别人看相同的事物却能得出与别人不同的结果说的正是这个道理。例3条件不变，以下结论显然成立（1）AD＝1/2BF，（2）AF2＝BD·BC（3）若BA、CF的延长线相交于H，则BC＝CH，△AHF∽△BHC，OA//CF如图11……
从图形中分离出概念图形和定理图形需要应用观察、比较、分析、综合、联想、猜测、检验等思维方法，应用逻辑思维、形象思维和直觉思维等思维的基本形式。反思不仅能够优化思维的品质，更能优化思维的结构，优化思维的品质和思维的结构是数学教学主要的目的之一。
从理解题意获取符号信息，从观察图形中获取图形信息即分离、构造相关概念图形和定理图形，从记忆或经验中提取有关内部信息，然后实施信息整合，最终问题获得解决，这是几何证明必须思考的问题和经历的过程。反思可以大大提高练习价值，尤其在今天倡导的“不同的人学习不同的数学”新的教学理念下，具有特别的现实意义。
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