第13章-复数-(442-446页)Microsoft-Word-文档.doc

HuoZhenXiang 第十三章 复 数
第十三章 复 数
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一、考试要求
近年高考对复数要求有所降低,仅有复数的基本概念和简单的代数运算，复习中主要是弄清基本概念，掌握复数代数形式的加、减、乘、除法等基本运算．
1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；
2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；
3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

二、考点精析
1． 虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；
就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－；
i具有周期性：
4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1（nN）．
2． 形如：z=a+bi（a,bR）的数叫复数(代数形式), a叫实部，b叫虚部．
复数的分类：
NZQRC
3．复数相等：设a,b,c,dR，
则a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；
利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；
4． 复数的模：
．
两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
5．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数,即a+bi和a–bi（a,bR）是共轭复数；
Z的共轭复数用表示,特别地：

6．复平面、实轴、虚轴：……
复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数．
和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法则或三角形法则进行．
7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：
z1±z2=(a+bi) ±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；
(a+bi)÷(c+di)= i
（即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简）．
复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律．
8．由复数相等的定义知：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当Δ<0时,有一对共轭虚根．

三、双基演练
1．（2007全国I）设是实数，且是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
2．(2006浙江)已知=1－ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni= ( )
A． B． C． D．
3．在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4． (2006山东)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 ( )
A． B． C． D．
5．（2006安徽）复数等于_________
6． （2007上海）对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则；
④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．
7．(2006湖北) 设x、y为实数，且
，则x+y=________．
8．已知z1= x2+，z2=（x2+a）i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．

◆简答提示：1-4．BCDD；
5．i ； 6．②④； 7．4；
8．|z1|>|z2|即(2a-1)x2<1-a2恒成立,
得

四、技能提升
【例1】设复数z=lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限
解：(1)由lg（m2－2m－2）=0，
m2＋3m＋2≠0， 得m=3
(2)由m2＋3m＋2=0，得m=－1或m=－2
(3)由 lg（m2－2m－2）＜0，m2＋3m＋2＞0，
得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3
◆解法点要：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样
【例2】（2005上海）在复数范围内解方程
(i为虚数单位)
解． 原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得
x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i．
◆解法点要：设z=x+yi(x、y∈R),利用复数相等的定义．
【例3】设a∈R,z=x+yi,(x,y∈R),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件
解：设=ki(k∈R,k≠0)
则z2─a2=ki(z2+a2)Þz2(1─ki)=a2(1+ki),
∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2ki
Þ,
消去参数k即得：x2+y2=a2,
◆解法点要： (1)纯虚数的概念； (2)虚部的概念； (3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R))；(4)若两个复数能比较大小，则它们都是实数 (5) 实轴,虚轴的概念
【例4】(2006春上海) 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．
[解法一] ，
∴．
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根．
，
所求的一个一元二次方程可以是
．
[解法二] 设
，
得
，
以下解法同[解法一]．
【研讨题】设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z．
分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程
解法一：设z=a+bi，
则z+=a+bi+=a+bi+
=a++(b－)i∈R
∴b= ∴b=0或a2+b2=1
当b=0时，z=a，
∴|a－2|=2， a=0或4
a=0不合题意舍去，∴z=4
当b≠0时，a2+b2=1
又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4
解得a=，b=，∴z=±i
综上，z=4或z=±i
解法二：∵z+∈R， ∴z+ = +
∴(z－)－=0，(z－)·=0
∴z=或|z|=1，下同解法一
◆解法点要：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化．这些都是解决复数问题的常用方法

五、总结提炼
1．复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2．求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3．在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法．

作业训练 复 数
【选择题】
1．（2007安徽）若为实数，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
2．(2005广东)若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= ( )
A．0 B．2 C． D．5
3．(2005浙江)．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2007上海）已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是 （ ）
A． B．
C． D．

【填空题】
5．（2005全国Ⅰ）复数的共轭复数是 ____
6．(2005湖南)复数z＝i＋i2＋i3＋i4+……+i2008=__________
7．(2006广东) 若复数满足方程，则_______
8．（2007湖北）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
◆简答提示：1-4．BDBA；
5．-i ； 6．0； 7．；
8．（或满足的任一组非零实数对）．

【解答题】
9．已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
求实数a的取值范围．
解：设z=x+yi(x、y∈R)，
∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2
==(x－2i)(2+i)
=(2x+2)+ (x－4)i
由题意得x=4，∴z=4－2i
∵(z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i，
根据条件，已知解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2，6)
10． 已知复数当求a的取值范围，
解：

∵

故a的取值范围是
11． 已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；
解．

即

12． 设复数z=+，
问当x为何实数时，z是：
⑴实数， ⑵ 虚数， ⑶ 纯虚数，
⑷ z在复平面上对应的点在实轴上方，
⑸|z|=1
解：⑴当，即x=a或时z为实数；
⑵当，即且时z为虚数；
⑶当＝0且，即x=1时z为纯虚数
⑷．若0<a<1，则0<x<a或x>；若a>1，则x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方；
⑸当＋＝1即x=1时，|z|=1

【探索题】设z是虚数，ω=z+是实数，
且－1＜ω＜2
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=，求证：u为纯虚数；
（3）求ω－u2的最小值
解（1）：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，
则ω=a+bi+
=(a+)+(b－)i
∵ω是实数，b≠0，
∴a2+b2=1，即|z|=1
∵ω=2a，－1＜ω＜2，
∴z的实部的取值范围是(－，1)
（2）证明：u ==
= =－i
∵a∈(－，1)，b≠0，
∴u为纯虚数
（3）解：ω－u2=2a+
=2a－1+=2［(a+1)+］－3
∵a∈(－，1)，∴a+1＞0
∴ω－u2≥2×2－3=1
当a+1=，即a=0时，上式取等号
∴ω－u2的最小值为1．