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“数形”有机结合，实现有效教学
江山坛石初中 姜爱军
【内容摘要】数与形是初中数学学习的两个基本要素，“数形结合”是初中数学一种重要的思想方法与有效解题策略 。本文阐述了 “数形结合”思想在基础知识教学中，如有理数与实数、方程（组）与不等式（组）、函数、统计与概率、平面几何中是如何得到充分体现的。主要从两个方面提出相应的自己观点与做法：一、课堂教学中，如何“以形助数”，借助形的直观性，优化解题途径。二、如何“以数解形”，借助“数与式”的精准性，精化解题方法，达到有效解题的目的。
关键词：数形结合；以形助数；以数解形

初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素---数与形。三千多年前，我国古代数学家赵爽最先在《周髀算经》作注时给出“弦图”，他通过几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，赵爽的“弦图”证明可谓别具匠心，体现了“数形结合”的思想。现代初中数学教材中，如完全平方公式、平方差等公式的推导都采用了几何图形验证方式，这是代数问题几何化的代表性问题。采用“以形助数”方式，直观性强、形象具体,在平常的学习中更容易被同学们所认可。近观数学中考压轴题，都是代数、几何高度综合， “数形结合”作用突显。在数形结合问题中，主要有两个方面：一是“以形助数”，二是“以数解形”。本文仅针对如下几个问题进行讨论课堂教学的“数形结合”。
一、“以形助数”，优化解题途径
代数方法的特点是解答过程严密，规范，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。”数形结合的思想方法能“扬数之长、取形之优” ，避呆板单调解法之短，使得数量关系与空间形式“珠连壁合”[1]。“以形助数”的方法可以让学生用“形”之直观解读数之枯燥，让数学活起来，更容易被学生所接受，也更容易激起学生的兴趣。因此，在教学中紧紧抓住了学生的心理状态，由易到难，循序渐进，步步深入。初中数学利用“以形助数”方法在求方程解的个数、二元一次方程组的解、函数最值、值域、不等式的解集、统计与概率等数学问题中,都有着较为广泛的应用, 在解答选择、填空等小题时,更是简洁明了、事半功倍。 “以形助数”的方法，通过实现数到形的转化，达到优化解题目的。
（一）“以形促形”，直观形象
把抽象的数学语言与直观的图形结合来思索,通过“以形促形”的方法可使复杂问题简单化,抽象问题具体化，通过“构图”分析可使问题明朗化，思路清晰化。如数学情境题的分析，在课堂教学中引导学生掌握“以形促形”这一方法，可以给学生带来不一样感受。
【案例1】：
浙教版教材八年级下册《一次函数图像的应用》一课，教学中教师给出了两个选择性情境问题，提供给同学们探讨与交流。
情境题1：乌鸦喝水
如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图像中最符合故事情景的是（ ）

y y

O A x O B x
y y

O C x O D x
1、画分析图，达成“以形促形”
情境1：分析板图如下（师生共同完成，学生板画出水位）

（1） 乌鸦嘴不够长， （2）乌鸦投入石子后，
试了试喝不着 水先慢后快的满上来
（2） 乌鸦开始喝到水，水也浅了下去，直到后来喝不上了。

在课堂教学教师通过构图的方式，引导学生通过图形直接揭示出问题的本质面貌，只要思考正确，形象清晰，往往很快就能看到问题的结果，同时这种方式也给出学生一种新鲜感，容易激起学生的共鸣，提高互动效率。情境题，往往是量对应关系复杂多变，而简易分析图是寻找解题途径的一种策略，它能帮助学生建立正确、丰富的表象，有助于理解抽象的数学知识。
2、画示意图，达成“以形促形”
“示意”是揭示事实情节含义的意思，通过示意，给人们提供寻找解题途径的意向，是把抽象的数学知识形象化，直观化进而产生表象，在解题时能够帮助学生更好的理解题意，促进思维。学生在小学数学应用题学习中，早已接触过多种示意图的分析方法，这种方法引入如下情境题中分析也是非常可取的。
情境题2：
小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还。”如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图像与上述诗的含义大致吻合的是（ ）

（A） （B） （C） （D）
板图分析：（路程问题线段示意图）
（ 父亲） 儿子
①
家 火车站 学校
②

父子一同返家（在火车站相遇）

情境2是一条事理与数量关系错综复杂的题目，由于时间、方向、行程三者不是单一的组合，所以题意迷离，难以把握，但如画出示意图，借助形象，进行分析思考就容易多了。教会学生作示意图的本领，是提高课堂效率的重要举措，也是提高学生学习能力的重要环节。
分析以上两个情境题有如下特点：情境1是耳熟能想的故事情节，情境2就如同发生在自己身边的事，尤有亲切感。如今变成数学问题，觉得特别有趣、新鲜，学习积极性马上被调动起来了。这两个问题还有一个共同点：函数图像的应用性问题，而且问题背景都非常抽象，过程中涉及的量变化多端，因而学生初次接触这一类问题，要在四个图形中马上选出一个正确答案也不易，由于对题意缺乏理解，错误率较高。在课堂教学中培养学生识图能力是关键，引导学生学会 “以形促形”、“以形助数”，促使学生更好的解决问题。
（二）“以形助数”，简化易解
解决数学上数量关系的问题主要体现在把抽象的理论知识转化为适当的几何图形，巧妙地用图形来表达抽象的数学知识，构建出清晰的数学知识体系，促进知识的“消化”。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法[2]。
初中数学中，如有理数中数轴的引入、不等式及不等式组的解集在数轴上表示，使抽象的概念、性质得到直观的理解；解二元一次方程组、解不等式时，利用平面直角坐标系，通过转化成一次函数图像图解，问题变得简化易懂；统计部分三类统计图应用后即可使啰嗦文字语言变成简洁明了；用“树形图”分析事件的概率，可使事件简单而明确。以上均属于“以形助数”代表性内容，是课堂教学中必需性基础内容。学生在画图中整理信息分析信息，用时不多找到解决问题的方法，学生在老师的引领下，领悟到了一种有效解决问题的方法------图解法。
1、有理数教学中， 初识图解法 
数轴的引入是有理数体现“数形结合”思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的[4]。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透“数形结合”的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
2、求解不等式（组），运用图解法
教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，这里蕴藏着数形结合的思想方法[4]。在数轴上表示数是“数形结合”思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更直观、更为有效。
【案例2】：
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
        解：解不等式①，得
解不等式②，得．
不等式组的解集在数轴上表示如下：

所以，不等式组的解集是
3、方程组、不等式，巧用“图解法”
“图解法”解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图像，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，利用两条图像线的交点位置，可快捷求出相关不等式的解集。这充分体现了“数形结合”的思想，构建了数与形的和谐美。在解题方面，通过把问题转化成图形的方法，直观得出问题结论，避开了相对复杂的计算。
4、函数应用教学，凸显“图解法” 
一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，因此，若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出了透彻分析，从而探求出解决问题的途径。许多应用性问题的分析，如传统的“鸡兔同笼”问题，它的数量关系，比较抽象而隐蔽，解决这类问题有相当难度，但如果有图形辅助便可使隐含问题直观化。函数应用题更需要图解帮助，优化解题。
【案例3】：
某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满。当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲，如果旅客居住客房，馆需对每间客房每天支出60元的各种费用。
（1） 请写出该宾馆每天的利润y与（元）每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；
（2） 设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
（3） 请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
根据第一步解题分析可知，利润Y关于涨价X是呈二次函数关系；第二步是求利润最值问题，利用最值公式可求出相应结果；第三步求定价范围，按常规思路是建立不等式来解题。但目前学生求解不等式只限于会解一元一次不等式，解一元二次不等式仍是一个数学难题。怎样才能做到有效解题目的呢？
方案是：教学中引导学生把数转化成形，利用五点法画出图像

8450
50
180
-80
X
Y
8450
50
180
-80
X
Y

观察图像可知，这是一条开口向下的抛物线，当涨价了50元时，利润最大值为8450元，因而8000元并非最大利润，顺利解决第二题。如何解决第三个问题呢？有效方法还是要借助图像进行，学生发现抛物线在横轴上半方就表示获得利润大于零，图像所对应X轴上两个界点数据是-80元和+180元，这就得出在原价每间客房出租140元基础上，租金只要大于（140-80）元少于（140+180）元，即客房定价60元以上而320以内的范围内宾馆就可获得利润。
本题教学借助图形，通过“以形助数”方法，将形象思维与抽象思维相结合；借助于“形”的几何直观性来阐明“数”的大小关系，思维有冲击，更好帮助学生理解题意，用学生看图便知道了答案。
用一种直观而有效的策略、简化易懂的方法，找到了问题的结论，学生耳目一新，激发了兴趣，这比老师苦口婆心帮助学生分析数量关系更有数学学习价值。体验“数形结合”在解决问题中的使用价值，让学生清晰而明确认识“数形结合”的妙处，感知数学思想之睿智[3]。
二、“以数解形”，精化解题方法
数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现“数形结合”［5］。
（一）“以数解形”，在“数与式”教学中的应用
在“数与式”这一部分，经常会遇到一些探索规律题，在教学中图形规律题的探索也是常见一种形式，遇到这一类问题，我们必须学会分析图形位置序号与图形本身一种联系，将几何图形变化情况进行数字化、代数化，这就是“以数解形”。
【案例4】：
图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n个图形中共有 个正六边形．
①
②
③

解：3n－2
分析：第①个图形， 1个
第②个图形， 1 +3 =1+3×1
第③个图形， 1+3+3=1+3×2
第n个图形， 1+3（n-1）=3n-1
图形规律探索题，重在考查学生的观察、分析、归纳的能力，要使学生具备这些能力，需要教师在平常教学中多引导。教学中引导学生观察分析各个图形之间变化情况是其一，另一点是此类问题还要懂得将图形变化情况数字化，找到数字与序号间一种隐性关系，从而将一个在不断变化中几何图形代数化，达到精化解题目的。
（二）“以数解形”，在平面几何教学中的应用
如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。把一个几何问题转化成数计算性的问题，这是数学解题课堂教学常用的一种方法。
1、“以数解形”，在三角形中的应用
在直角三角形这一部分，面对不同变异的几何问题，在计算时有多种方法,其中比较突出的方法是还可以与几何图形本身特点相结合进行解题。抓住几何图形本身的特殊性：线段之间、角与线段之间特殊的位置关系与数量关系，实现“形到数”的转化，形可以是正方形也可以为三角形等。通过“数形结合”的方法从深层的角度挖掘数学之美。让学生欣赏到数学中问题中的风格美、形式之美，吸引学生的眼球，让课堂更具活力。
【案例5】：
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的面积为
原题：美丽的勾股树 变式题
E
F

［师］生活中，我们经常可以看到各种各样的树，同学们见过这些“树”吗？它们叫做“勾股树”，在这些美丽的勾股树上，你有没有发现一个共同的基本图形？这个基本图形让你想起了什么？（勾股定理）前面，我们已经学习过这个重要的定理，现在请同学们回忆一下，关于勾股定理大家已经知道哪些知识？
（1）你知道勾股定理的内容吗？说说看。
（2）勾股定理是什么三角形所特有的性质？
（3）我们观察勾股定理的形式：在直角三角形中，如果两直角边是a，b，斜边是c，则a2+b2=c2．其中的a2，b2，c2能使你联想到什么？
［生］勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2，c2可以使我们联想到分别以a，b，c为边长的正方形的面积。
生：根据如上结论可知：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形E的面积
正方形C的面积+正方形D的面积=正方形F的面积
正方形E的面积+正方形F的面积=最大正方形的面积
正方形D的面积
=最大正方形的面积-（正方形A的面积+正方形B的面积）-正方形C的面积
=100-（36+25）-25=14
本题是几何图形求其面积的问题，一般常用的方法只要知道几何图形本身形状特征，如果是常见的规则图形如三角形、正方形等即可用面积公式解决。由于本题的图形是美丽的勾股树的变形题，图形本身就很特殊，因而在教学中教师善于引导学生发现这一特点。紧抓直角三角形三边关系与正方形边的关系，实现了形到数的转化，在解题上达到精准优化的目的。
2、“以数解形”，在多边形中的应用
利用本题图形的特殊性，通过“数形结合”，发掘特殊几何位置的代数意义，演绎数量关系描述的几何属性，这是几何计算题常用一种方法。
【案例6】：
在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为 ．

如下图所示：（分析）通过把下半部分草地向上平移方法，则草地部分的面积均形成一个新矩形，其中矩形宽为（b-1）m，长为am,则草坪面积为a(b-1)。
把草坪所在矩形向上平移

如上问题，实质考查是特殊四边形------矩形面积问题，学生马上回忆起矩形的面积公式=长×宽。解决如上问题，首先要紧抓图形本身一种特殊性，引导学生发现这样一个结论，无论道路笔直还是弯曲，不管弯曲程度如何，只要确保道路宽相同，那么可通过平移把图形平移形成一个新的矩形。即先用了“以形促形”方法形成一个新的图形。再用代数式表示长和宽，根据图形面积间的关系，把一个几何图形边的关系转化成数学语言，通过代数算式关系，即用“以数解形”方法得出相应结论。
（三）“以数解形”，在函数教学中的应用
初中数学函数主要学习正比例、一次函数、反比例函数及二次函数这四块内容，函数部分知识突出的重点与特色就是数学建模与“数形结合”思想[4]。函数问题大都不是纯代数运算问题，很多是根据图像再提出相应的问题或者是函数图像结合三角形、四边形、圆等几何图形的综合问题。对于很多的函数问题在课堂教学中，我们往往抓住形的特征通过直角坐标系将几何图形数字化，寻找解题途径，这一种解题方法是学生必须有的一种常见的方法[6]。
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”通过数与形有机结合，使学生的思维完成从“形象”到“抽象”的概括，从“抽象”到“形象”的再现。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用。

参考文献：
[1] 徐颖峰 数学思想方法教学的意义、现状和策略 2000
[2] 郑毓信,梁贯成， 认知科学、建构主义与数学教学 [M]， 2002-12 上海教育出版社
[3] 任惜芬，刘堤仿，“‘利用数形结合解决数学问题’教学设计”的评析[J]，
2008-5杭州师范大学教师教育研究
[4] 数学课程标准解读 北京师范大学版社[5]李勇新、滕文凯等编著的《中学数学教材教法》[M] 2001年6月第2版东北师范大学出版社出版，
[6] 吴松年，新课程有效教学疑难问题操作性解读 [M]，2007-8 教育科学出版社