可持续水资源管理P65-P85.doc

可持续水资源管理—理论 方法 应用（P65—P85）
2．2 水质模型
建立反映水环境污染客观规律的数学模型是对是对水环境进行预测评价、规划和科学管理的基础，也是建立社会资源管理的基础，也是建立可持续水资源管理量化模型的基础模型之一，本文首先简介水环境的模型化过程，然后重点描述各类水体的水质模型。
2．2．1水环境模型化过程
所谓水环境的模型化，就是把与水环境有关的变量之间的关系及其影响规律抽象成一系列反映水环境性能和机理的数学方程式形式，并利用数学手段对其进行求解，已解决实际的水环境问题。它的建立是在对水环境进行反复地考察研究，通过实验或实地监测取得大里的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为和变化规律有了深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一系列数学表达式.因此，建立水环境的数学棋型一直是从事水资源和水环境研究的一项重要基础工作。
水环境的数学模型，主要是指各类水体的水质模型、水质评价模型和水环境规划模型等。一般而言，建立的水环境模型应具有如下特性。
①现实性即所建一立的模型在一定程度上要能够反映和符合系统客观实体的情况和规律，应把系统本质的东西和系统内外部不阅组分之间的主要关系反映出来，把非本质或次要的东西省略，而又不影响对现实模拟的真实程度。
②准确性 由于任何一个水环境系统都是作常复杂的，其自然规律目前人类还没有完全掌握，因此在实际建模过程中不得不忽一些难以用数学公式表达的关系，但这种忽略要建立在满足解决问题所必需的精度要求之上。在确认模型参数的过程中，也要致力于保证参数的真实性和可靠性，从而保证模型的准确性。
③简单性 在保证模型的现实性和准确性的基础上，要尽可能地使所建立的模型简单化，以节省建模和运用的费用和时间，并增强其可应用性。如果一个简单的模型能使实际问题得以满意的解决，那它就优先于一个复杂的模型。
在水环境评价和规划中!模型化也起着十分重要的作用。其原因在于，在没有或难以建立实体系统以供观测和试验的条件下，为了求得系统的参数和确定各种制约条件下系统的变化趋势，模型方法确实是一种有效的科学手段。目前!水环境评价和规划工作，几乎都是借助模型来完成的。一般做法是利用建立的模型!给出不同的输入参数和基础数据，观察系统的输出，然后根据最后的结果评价环境影响，并选择最佳的系统设计方案。

2.2.1.2 水环境模型的分类
水环境的数学模型可从不同的方面进行分类。
按照水环境模型研究对象的水体特征，可以分为河流河口水质模型、湖泊水库水质模型、海洋水质模型和地下水水质模型等。河流模型的开发已经比较成熟，能够较好地反映实际情况。湖、海模型都比较复杂，可靠性较差。
按照水环境模型中的水质组分，可以分为单组分、耦合组分、多组分和水生生态模型等，其BOD-DO耦合模型是应用最多的一种水质模型。
按照水环境数学模型与时间的关系，可以分为稳态模型和非稳态模型两类。稳态是指污染物的浓度不随时间变化，然而天然河流实际上并不存在这种理想状态，但我们可以把河流某一段时间内相对稳定的流量和排污情况作为稳态来处理。动态是指污染物的浓度随时间变化而变化，它可用来估算暴雨径流和污染事故泄漏等瞬时变化的情况。
按照模型的空间维数，可以分为零维模型、一维模型、二维模型和多维模型。在实际应用中!选用几维模型应根据研究区域的空间范围及其水体中污染物的混合情况而定。例如，如果仅是对区域性水质进行粗略的模拟计算!采用零维模型即可；如果对一个较长的河段或河流进行水质模拟计算，可以采用一维模型；如果要研究河流局部河段范围内的水质状况，排污口或入海口附近的污染物分布以及污染带等类似间题时，就要考虑采用二维模型或三维模型。
按照所建模型的物质的反应特性，水环境模型可以分为保守性物质模型和非保守性物质模型。前者指像重金属、农药等类的物质，其在水环境中不(或不易)发生生物氧化分解；后者指可（易）降解的一类有机污染物。

2.2.1.2水环境系统建模过程
建立水环境模型的过程一般可分为如下几个步骤。
①分析模型的使用目的和要求，确定模型的功能。在建立模型之前，首先必须明确以下几个问题：为什么样的对象建立模型?需要建立什么样的模型？如何保证使建立的模型符合使用要求?
②进行科学的系统分析，并根据目的和要求从时间和空间等角度确定研究系统的边界条件，确认系统的输入、输出和状态等变量及其性质。
③在对系统的变化机制有了初步分析、推断的基础上，对系统进行调研、监测，取得建模所必需的数据和资料。
④识别模型的结构，在理解系统各要素之间的作用关系的前提下，建立起相应的函数关系。
⑤根据监测得到的数据，使用适当的数学技术估算出模型中的各个参数值。
⑥将几组在参数估值时未使用过的数据代入模型，并计算模型的精度，了解是否符合模型的精度要求和使用要求。若符合要求!则建模过程结束。若不符合要求，则重新确定模型的结构，重复以上④～⑥过程。

2.2.2 河流水质模型
地表水的水质模型可以分为河流水质模型/湖泊和水库水质模型/海洋水质模型/非点源水质模型等,其中每种类型的模型又都可按照不同的特点分为各种子类别,例如河流水质模型又可分为零维、一维、二维、多维和BOD-DO耦合模型等。下面就逐一进行介绍。
针对水体中不同的混合特点，可以从空间维数来区分以下几种基本方程。

图2-12 连续完全混合反应器

2.2.2.1零维水质模型
当把一个水体（如一个河段）看作是一个完全混合反应器（见图2-12）并假设水流进入该系统后即完全分散到整个系统，其中各水团是完全混合均匀的。对这种连续流完全混合反应器的理想情况，可列出以下的质量平衡关系：
积累率=进入量-输出量+衰减量
即

式中，V为反应器内水的体积,L3；C0，C分别为入流与反应器内污染物的浓度，ML-3；S为反应器内其他来源和漏失的污染物量总和，MT-1；r（C）为反应器内过程的反应速率，ML-3T-1；
Q为流经反应器的流量。
如果系统内S=0，则上式可变为

如果研究的污染物在反应器内的反应符合一级动力学反应，则r（C）=-K1C，式（2-57）可进一步改写为

式中，K1为一级反应速率常数，T-1。
式（2-59）就是常用的零维水质模型基本方程.当假设河段中没有源和漏失量（S=0），污染物反应属于一级动力学反应，且河流处于稳定条件下，即dC/dt=0，式（2-59）转化为：

对于任一具有以上条件的河段，可以将其分割为i个子河段（见图2-13）.对于其中第i个河段，又可以分为m个单元（1,2，…，m）。对于每个单元，都可以看作是一个完全混合反应器。因此，可以把这m个单元看作m个串联的完全混合反应器。并由此可以得到以下各式：

图2-13 河流零维模型概念

起始断面浓度为

式中，C0为第i河段起始断面浓度，[ML-3]；Cj为第i河段第j子段的污染物浓度，[ML-3]；U为河段平均流速，[LT-1]；△x为单元长度，[L]；Qi-1为上游流入第i河段的流量，[ML-1]；qx-1为第i河段起始端旁侧入流流量，[ML-1]；Ci-1为上游来水的污染物浓度，[ML-3]；Cx-1为第i河段起始端旁侧入流污染物浓度，[ML-3]。
利用上式可以计算出各河段中每个微小单元的浓度Cj。零维河流水质模型适用于均匀河段，并且要求取的△x足够小，否则误差较大。

2.2.2.2 一维水质模型

（1）水量平衡方程
考察河流中长度为△x的微小河段的水量平衡关系（见图2-14）。图中：Q(x)，Q(x+△x)为流入和流出量，[L-3T-1]；q、qb分别为侧向输入和底部渗出流量，[L-3T-1 L-1]；pR、pE分别为单位水面的降水量与蒸发量，[L-3T-1 L-2]；A为河床断面，[L2]；B为河面宽，[L]。则△x时间间隔内微小河段中的水质量平衡方程为：

式中△m为△t时间内微元河段中水质量的增量，[M]；ρ为水的密度，[ML-3]，ρ≈1.
用△t、 △x除方程两边：

图2-14微小河段的水量平衡关系 图2-15河流中的一个假想微元
当△t→0，△x→0时：

通常可以把pR、pE和qb忽略，则产生了水平衡方程式：

（2）水质平衡方程
首先假定水流运动是推流，即所有水片以同一速度v运动（见图2-15）.则污染物质量变化可以写成：

式中S1、S1’分别为单位时间、单位长度上侧向和底部的源和漏，[ML-1T-1]；Ss为单位时间、单位面积上的源和漏，[ML-2T-1]；Sv为单位时间、单位体积内的源和漏，[ML-3T-1]对式中的源取正值，漏取负值。
用△x、 △t除方程两边，并使△x、 △t趋于0，得

或
该式即为推流的水质平衡方程，其中AS= S1+ S1’+BSs+ASv
(3)基本方程
当考虑分子扩散/湍流扩散和弥散过程时,推流流动水质平衡方程又可变化为以下3种形式。
①增加分子扩散（点的瞬时值）用流场中水质点的瞬时值C和u来表达其浓度和流速，则式（2-71）变为：

②增加湍流扩散（点的时平均）采用流场中点的平均值、表达，此时，C=+C’，u=+u’(C’和u’ 为因湍流扩散所引起的偏差量) 。把此转换关系和Q=uA代入式（2-72），经整理可得：

③增加弥散（断面平均值）此时应采用河流断面的平均、来表达。其转换关系为C=+C*，u=+u*(C*和u*为弥散引起的偏差量)。代入式（2-73）并经推导整理可得到如下的一维河流水质微分方程：

或写成

此时，必须注意式（2-75）中的水流流速和水中污染物的浓度都是指断面的平均值!而非任意点的瞬时值或平均值，该式即为一维河流水质微分方程。
实际应用中，可以忽略分子扩散作用，因此一维河流水质基本方程即为：

对于均匀河段!断面面积且为常数，此时一维河流水质基本方程为：

对于有弥散现象的河流，一般x方向的弥散系数Dx比扩散系数Ex大得多（Dx≈10～103，Ex≈10-2～1），因此，往往可忽略扩散项，则式（2-77）可改写成一维均匀河流水质基本方程：

其中
如忽略河流底部渗流项S1’，并用平均水深H代替A/B，则

对于河底无渗漏、忽略面源的侧向输入、污染物为一级衰减反应的一维均匀河流水质模型的基本方程为：

式中，L为t时存有的污染物浓度，[ML-3]；K1为反应速率常数，[T-1]。
（4）基本方程的解析解
一维均匀河流水质模型的基本方程的通式为：

按照河流水文和排污状况，先确定求解条件，求解条件分类如下：

①稳态解 稳态是指均匀河段、定常排污的条件，即污染物输入量W 、断面面积A、流速u和Dx恒定，均不随时间变化。因此，有，可得如下常微分方程：

给定边界条件：x=0，C=C0；x→∞，C=0.可用解特征多项式的方法对方程求解，得到稳态解：

②忽略弥散当河流的弥散系数很小时，一般可以忽略，即D=0，于是一维河流水质方程变为：

该偏微分方程可化为由下式给出的两个常微分方程：

式中，x（t）为该方程的特征线。对上式积分得到：

由上式可看出!只要知道初始浓度C=C0，即可求得水团流到下游某个地点的时间与浓度。

图2-16 瞬时排污的情况
③瞬时突然排污条件时的解首先构造一个δ(t)函数（见图2-16）.设河段起始端（t=0，x=0），突然瞬时排放质量为W 、流量为Q的平面污染源。其排污状况可以用一个以短时间△t为等比指标的δ(t)函数来描述。当等量的平面污染源W/D[ML-3T]，用不同的时间间隔（如△T、△T/2、△T/4、…）释放，则排放的浓度可表达为δ(t) W/D，其排放总量为
（即图中1,2的矩形面积相等)，并可知。
J“
如果我们在t=t0、x=x0处进行瞬时排放，则此时排放的浓度应为δ(t-t0)W/D，且。
这样，可以在如下边界条件下:C(x，0)=0，C（0, t）=C0δ(t)，C(∞，t)=0
对一维均匀河流水质模型的基本方程的通式(2-81)进行求解，其中利用到拉普拉斯转换和特征多项式法，可以得到如下解(即一维线性平面污染源瞬时突然排污的积分方程):

平流项 BOD衰减项 扩散和弥散项
式中，C0=W/Q为污染物质量。
如果排放的是惰性污染物(如示踪剂、NaCl等)，其在河流中不衰减(k1=0)，则上式变为: 对t=0，x=0处，

对t=0，x=0处，

上式中指数项表示污染物由t0→t时，扩散成正态分布，其方差为2D（t-t0 ) 。
④起始断面有连续排污源条件时的解 当边界条件为x=x0，C0(x0，t)时，方程(2-81)的解析解为:

该式是一个具有f函数的卷积分。它可以设想为C0(x0，t‘)的连续排污源，分解为一系列瞬时源的δ(t)函数输入，每个输入的时间间隔为△t，由于基本方程的直线性，河流对这一系列输入的反应等于各单个反应的总和。
式(2-90)中，

从式(2-90)和式(2-91)可以得到一个一维均匀河段上任意时刻和位置的浓度，但只有在特殊条件下式(2-90)才有解析解。
<5)基本方程的数值解
解析解适用于时间和空间为连续的模型，但在一般情况下，基本方程很难用解析方法求解。这时，可采用数值法求解。数值解是对一个离散模型求解的过程。该方法包括有限差分法和有限元法。有限差分法是将基本方程的空间x和时间t坐标离散化;有限元法只是将方程中空间变量x离散化，而时间变量t仍保持为连续变量。关于这方面内容，这里不做详细介绍，有兴趣者可参考这方面的参考书。
2.2.2.3二维水质模型
如果要研究污染物在河流横向混合区的分布情况，就需要采用二维水质模型来描述。下面，我们给出二维水质模型的基本方程及其解析解。
二维水质模型的基本方程为:

式中，y为横坐标;Dx，Dy分别为x和y方向的弥散系数。
对于一个均匀河段和强度不变的连续点源，忽略源漏项S，上式的解析解为:

式中，q为污水流量;l为污水中污染物浓度;B0为修正的第二类零阶贝塞尔函数;H为水深。
当河流中水流横向流动很重要时，就不能采用方程(2-92 )若河流中纵向弥散作用很小，可以忽略，则式（2-93)就简化为如下形式:

假如c表示一种可降解的污染物浓度，其衰减符合一级反应动力学。那么，在稳态条件下，并忽略纵向弥散作用，则方程(2-92)变为:

其解为：

2. 2. 2. 4 三维水质模型
设河流中的一个微元(见图2-17)， 其边长分别为△x1，△x2，△x3，:以c表示污染物在河水中的浓度u1，u2， u3分别表示x1，x2，x3方向的速度分量，可以写出一个三维迁移方程:

式中，Em为分子扩散系数;ET, i分别为x1，x2，x3方向的湍流扩散系数。

图2-17 三维控制体积单元
在方程(2-97)中没有出现弥散系数D，因为它只能在一个三维方程经过截面平均才能得到。方程(2-97)可用来描述任何水体中污染物的迁移过程，对于不同的水体而言(如河流、河口和湖泊)，只是在方程里的参数值和解方程的边界条件有所不同，方程的形式无显著差别。
如果要求解方程(2-97)，则需要知道某时刻各空间位置的浓度、流速、扩散系数，而这些数值中多数又有复杂的时间和空间的函数关系。因此，要完全解开这个方程几乎不可能，同时亦无此必要。在实际工作中很少直接求解三维基本方程，而是根据研究目的、水文条件以及污染物的特点进行各种简化，以作为在特定问题下水质模型的基本方程。
2. 2. 2. 5 BOD-DO耦合模型
1925年，H. W. Streeter和E. B. Phelps在研究美国Ohio河的污染与自净作用时，首次建立了BOD-DO模型，即Streeter-Phelps模型(简称S-P模型)。BOD-DO模型的建立及其应用虽已有近80年的历史，但到20世纪60年代后才迅速地发展起来，出现了各种S-P模型的修正式，如Thomas (1948), bobbins (1964)和O'Connor (1961)等人的修正式。这就使模型的内容和形式变得越来越复杂，由于各种形式的BOD-DO模型，都有其推导的条件和使用要求。一般来说，较为复杂的模型可以较为全面地反映客观实际，但为了确定模型及其参数所需要的信息量将大大增加。同时，就不同的河流来说，影响水质的主要因素一般是不相同的。就某一具体的河段而言，并不能武断地认为选择的模型的变量和参数越多越好。应当就模型的复杂程度、实际的需要和目前所能获得的信息等几个方面进行综合考虑，做出适当的选择。
下面对Streeter-Phelps模型及其修正型加以介绍，以便在今后的工作中选择采用。需要指出的是:S-P模型及其各种修正型都属于一维稳态、均匀、无扩散河流水质模型。但在一般情况下，模型验证的结果还是令人满意的。
(1)Streeter-Phelps模型
稳态条件下，一维均匀河流水质模型基本方程为:

Streeter和Phelps从以下两个方面的假设推导出BOD-DO模型。
一方面，对方程式中的源漏项S，只考虑耗氧微生物参与的BOD衰减反应，并认为这种反应符合一级反应动力学，即S=一K1L。
另一方面，对河水中的DO而言，认为耗氧的原因仅是由BOD衰减反应所引起，且BOD衰减速率等于DO减少速率。同时认为，河水中DO恢复的速率与水中的氧亏成正比，并只考虑大气复氧作用。因此，在DO方程中S项就成为:S= 一K1L十K2(Os-O)。
根据以上假设，一维稳态河流水质模型可以用BOD和DO两组方程来表示:

式中，L, O为水中BOD和DO浓度，[ML-3]; K1, K2为耗氧和复氧系数，[T-1];U为平均流速，[LT-1]; Os为饱和DO浓度，[ML-3]。
一般可以忽略弥散作用D，则方程(2-99)变为S-P方程的基本形式:

在边界条件L(o)=Lo，O(o)=Oo时，其解析解如下。
考虑弥散时，

式中，；
如果忽略弥散，则

式中，D0, Dx分别为x=0和x=x处的氧亏浓度，[ML-3]。
由S-P模型可以推求河流污染断面起始浓度为L0和O0时，沿河下游各点河水中的溶解氧浓度值以及最低溶解氧浓度和位置(临界浓度和临界距离)。即可由d0/dx=0，求得临界Oc , Dc和Xc，其公式为:

式中，f为自净系数，且满足f=K2/K1，其可反映河流自净作用的速率。f值越大，表示河流的自净能力越强;如某河段f>8，说明复氧远大于耗氧;当f<1，表明河流耗氧大于复氧。各种水体的f参考值见表2-l。
表2-1各种水体的f参考值20℃ (Fair, 1968)

由于S-P模型的两项假设是不完全符合实际的，各国的研究者对它的局限性进行了各种修正和补充，现列出主要的几种。
(2) S-P模型的Thomas修正型
考虑到河水有机物在向下游流动过程中，随着水力条件的变化会发生沉淀、絮凝、冲刷和再悬浮等过程，因而影响着河水的耗氧与复氧状况。基于此，Thomas在S-P模型的BOD方程中，引入了一个沉淀一再悬浮系数K3，得出下式:

式中，K:为沉淀和再悬浮系数，[T-1]。
K3主要反映了河流的携带能力和有机物的颗粒特性，吸附特性对河水中BOD值的影响。K3为正时表示河水中悬浮物发生沉淀作用;为负时表示与沉淀相反的冲刷作用。
当初始条件为x=0，L=L0, O=O0时，式(2-104)的解为:

<3) S-P模型的bobbins-Camp修正模型
Dobbins等人在Thomas方程的基础上，考虑到沿河坡面径流、底泥耗氧、藻类光合作用增氧和呼吸作用耗氧等影响，在Thomas模型上各增加1个常数项，即:

式中，R为沿河坡面径流或底泥中有机物质重新悬浮所增加BOD的速度，[ML-3T-1]; P为水生生物光合作用与藻类呼吸和地表径流或底泥有机物所引起的溶解氧变化速度，[ML-3T-1]。
当河段起始条件为L(0)=L0，O(0)=O0或D(0)=D0，该河段的积分解为:

式中，，
如果P=0, R=0，式(2-107)就成为Thomas修正式;如果P=0, R=0，K3=0，式(2-107)就成为Streeter-Phelps模型。
利用河流水质模型，可以求算河流中BOD最大容许负荷。下面，以Dobbins-Camp模型为例，介绍具体的求算方法。
在临界点dD/dx=0，可求得临界距离xc的表达式:

当规定了临界氧亏Dx，并根据模型所估参数，下式可求算该河段始端河水的BOD最大容许值L0:

利用上式，我们还可以根据规定的最大容许氧亏计算河流最大允许排放量。具体计算可采用Loucks程序进行(D. P. Loucks，废水处理系统的概率分析，1965)。Loucks程序如下:以规定的最大允许氧亏Dmax作为D，以河段全长xmax作为x的值，利用式(2-109)确定x=0处的BOD值(即Lo);把此L0代入到方程(2-108)中，便可求得临界氧亏的距离xc，如xc>xmax，则河段中的最大氧亏是在河段的末尾，而L0就是可允许的河水初始点BOD浓度(见图2-18 ) ;如果xc<xmax，则L0产生的氧亏将大于河段的容许氧亏，在这种情况下，就减少L0，使临界距离xc处的氧亏值等于最大容许氧亏这个过程采用迭代法进行，由方程(2-109)用不同的xc(i-1)值确定相继的L0(i)值，而xc(i-1)值又由L0(i-1)值确定(见图2-18)。这个过程一直到xc值之差小于容许的最小值。

图2-18 Loucks程序求解
这个过程中包括识别下列关系式的逻辑步骤:

确定了河流始端BOD最大容许浓度L0，x=0处最大容许排污量就可以由质量平衡关系式来确定:

并可推算出最大允许排污浓度Lw

式中，Lw为始端污水BOD最大允许浓度，[ML-3], Qw为始端污水流量，[L3T-1]；L0为始端上游河水BOD浓度，[ML-3]；Q0为始端上游河水流量，[L3 T-1]。
(4) S-P模型的O' Connor修正模型
O' Connor假定总BOD是由碳化BOD和硝化BOD两部分组成，即L=Lc十LN。这样，Thomas修正型又可改写为:

式中，KN为硝化反应速率常数，[T-1]。
当初始条件为Lc(0) =L0(c) ，LN(0) =L0(N)，O(0)=O0时，上式的解为: