培优材料4.doc

培优材料（4）
1．（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）

　　A．　　B．3　　C．　　D．9
考点：抛物线与x轴的交点。
解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0.，即，
∵一元二次方程有实数根，
∴△=，即，即，解得，
∴m的最大值为3．
故选B．
2．（2012泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）

　　A．（，）　　B．（，）　　C．（2012泰安）　　D．（，）
考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。
解答：解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′=105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=OA=2，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，
∴OE=B′E=OB′•sin45°=，
∴点B′的坐标为：（，）．
故选A．

3.如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，
AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，
使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别[来源:学|科|网Z|X|X|K]
交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影
部分的面积等于 .
（16题详细解答：如图，作EF⊥y轴，DH⊥x轴，由题意得：
△QEF∽△DHP，∵QE：DP=4:9设AC= a,则AB=，
,HP=，∵△AED∽△DHP，
∴
S阴影==）
3．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=S△BDF，其中正确的结论序号是　①③　．

考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形。
分析：
首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．
解答：
解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA=BC，
∴，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵，
∴FG=FB，
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
故③正确；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S△ABC=6S△BDF，
故④错误．
故答案为：①③．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

4.（本题14分）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。
（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时？
（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）当m=3时，y=－x²+6x
令y=0，得－x²+6x=0，
∴∴A(6,0)
当x=1时，y=5，∴B（1,5）
又∵抛物线的对称轴为直线x=3，
又∵B、C关于对称轴对称，∴BC=4
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB

∵抛物线的
对称轴为直线x=m，其中，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2(m－1)
∵B(1,2 m－1),P(1,m),
∴BP= m－1，
又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),
∴H(2m－1,0)
∴AH=1,CH=2m－1
∴
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
(Ⅰ)当m＞1时，BC=2(m－1)
PM=m, BP= m－1.
(ⅰ)若点E在x轴上（如图2），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°
∴∠MEP=∠BPC
又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP
∴BC=PM，
∴2(m－1)=m
∴m=2
此时点E的坐标是（2,0）
(ⅱ)若点E在y轴上（如图3）
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ m－1=1，
∴m=2，
此时点E的坐标是（0,4）

(Ⅱ)当0＜m＜1时， BC=2(m－1)，PM=m
BP= m－1.
(ⅰ) 若点E在x轴上（如图4），
易证△PBC≌△MEP，
∴BC=PM
2(m－1)=m
∴m=
此时点E的坐标是（,0）

(ⅱ)若点E在y轴上（如图5）
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ 1－m =1，[来源:Zxxk.Com]
∴m=0，（∵m>0,舍去）

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2,0）或（0,4）；
当m=时，点E的坐标是（,0）