二次函数图像与性质(提高).doc

济学教育 初四•上册•第二单元▪二次函数-第二课时

二次函数概念及图象性质

知识点一
二次函数的概念
一、二次函数的定义
1. 一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
2. 任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式．
3. 判断函数是否为二次函数的方法：
① 含有一个变量，且自变量的最高次数为2；
② 二次项系数不等于0；
③ 等式两边都是整式．
4. 二次函数自变量的取值范围是全体实数．
例1、下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
练1、下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸
练2、下列说法正确的是（ ）
A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数
B．圆的面积公式中，是的二次函数
C．不是二次函数
D．中一次项系数为1
练3、已知函数（为常数）
⑴当为何值时，此函数为二次函数？
⑵当为何值时，此函数为一次函数？

练4、已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？这个二次函数的解析式是多少？

知识点二
二次函数的图象性质
一、二次函数的性质
1. 抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）.
2. 函数的图象与的符号关系.
① 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

二、二次函数的性质
1. 抛物线的顶点是坐标原点（0，c），对称轴是（ 轴）.
2. 函数的图象与的符号关系.
① 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
3. 函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的.

三、二次函数的性质
1. 对称轴：
2. 顶点坐标：
3. 最值：

① 时有最小值 （如图1）
② 时有最大值 （如图2）
4. 单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）
① 当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大；
② 当时，对称轴左侧， 随着的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；

四、二次函数的性质
1. 对称轴：
2. 顶点坐标：
3. 最值：

时有最小值 （如图1）
时有最大值；（如图2）

五、二次函数的性质
1. 对称轴：
2. 与轴的交点坐标为

六、二次函数的图象与系数的关系
1. 的符号决定抛物线的开口方向：
当时，抛物线开口向上；
当时，抛物线开口向下．
2. 决定抛物线的开口大小：
越大，抛物线开口越小；
越小，抛物线开口越大．
3. 和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）
当时，抛物线的对称轴为轴；
当、同号时，对称轴在轴的左侧；
当、异号时，对称轴在轴的右侧．
简要概括为“左同右异” ．
4. 的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）
当时，抛物线与轴的交点为原点；
当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．

七、根据二次函数的图象判断代数式符号
1. 决定了函数图象与轴的交点情况：
当，有两个交点；
当，有一个交点；
当，没有交点．
2. 当时，可以得到的值；
当时，可以得到的值

二 二次函数的图象与性质
【例1】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；；；；并探究二次函数开口大小与之间的关系

【例2】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④。则、、、的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．
三 二次函数的图象与性质
【例3】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：；；；并回答下列问题
①抛物线、、的形状是否发生改变？
②对称轴是否发生改变？
③将抛物线向______平移________单位得到
④将抛物线向______平移________单位得到

【例4】 函数的图象可以看做是函数的图象向______平移_______个单位得到的。
【例5】 二次函数的图象开口___________，当___________时，随的增大而减小；
二次函数的图象开口____________，当___________时，随的增大而增大；
二次函数的图象开口___________，当___________时，随的增大而增大。
【例6】 已知抛物线与轴有两个交点，且开口向下，则的取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】 已知函数，当取时，函数值相等，则当 取时，函数值为______．

①抛物线、、的形状是否发生改变？
②对称轴是否发生改变？
③将抛物线向______平移________单位得到；
④将抛物线向______平移________单位得到。
【例8】 ⑴抛物线的顶点坐标是___________，对称轴是____________；
⑵抛物线的开口方向___________，顶点坐标___________，对称轴是___________，当_____________时，随的增大而增大。

24．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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