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简谐运动的六种图象
北京顺义区杨镇第一中学　范福瑛
　　简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征．

　　运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。

　　以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。

　　1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图2

　　2．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图3

　　3．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4

　　4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图5

　　5．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6

　　，

　　整理化简得

　　6．能量-位移关系

　　弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒，

　　总能量不随位移变化，如图7直线c

　　弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b

　　振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a

　　图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。
2011-12-20  人教网

【基础知识精讲】
1.振动图像
简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.
(1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹.
(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.

2.振动图像的作图方法
用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.

3.振动图像的运用
(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.
(2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向
(3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.

【重点难点解析】
本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.
一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.
所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦曲线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律.

例1  一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在t=4S时，质点的(    )

A.速度为正最大值，加速度为零
B.速度为负最大值，加速度为零
C.速度为零，加速度为正最大值
D.速度为零，加速度为负最大值

解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振子在一次全振动过程中的位移、回复力、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最大位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最大位移处时，回复力最大，且方向与位移相反，故加速度为负最大值，故选项D正确.

(2)利用图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表示速度矢量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度大小为零，可排除A、B项.由简谐运动的动力学方程可得a=-x,当位移最大时，加速度最大，且方向与位移方向相反，故选项D正确.

说明  本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复力，速度和加速度的变化情况.运用斜率求解的意义可进一步推得质点在任意瞬间的速度大小，方向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最大，速度最大，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负方向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正方向运动.

例2  如下图所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.(    )

A.振幅为3m，周期为8s
B.4s末振子速度为负，加速度为零
C.第14s末振子加速度为正，速度最大
D.4s末和8s末时振子的速度相同

解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.
4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负.故选项B正确.
根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至第14s末)，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，故选项C错误.
第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.

说明  根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表示出哪些物理量，间接表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.

【难题巧解点拨】
简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的一种好方法.
(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.
(2)在简谐运动图像中，用作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向的夹角小于90°时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时质点的速度越大.当切线与x轴正方向的夹角大于90°时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时质点的速度越小.也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越大，而最大位移处，质点的速度为零.
(3)由于简谐运动的加速度与位移成正比，方向相反，故可以根据图像上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.同样，只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况.
根据简谐运动图像分析其运动情况，方法直观有效.简谐运动的周期性是指相隔一个周期或周期的整数倍时，这两个时刻质点的振动情况完全相同，即质点的位移和速度大小和方向(以至于回复力、加速度等)都总是相同的.同相的两个时刻之差等于周期的整数倍，这两个时刻的振动情况完全相同；但是位移相同的两个时刻，不一定是同相的，振子通过某一位置时，它们的位移相同，但它们的速度方向可能相同，也可能相反.如果时间相隔半个周期的奇数倍时，这两个时刻的振动反“相”，其振动位移和速度大小相等，方向相反.

例  甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况.
(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振子的振动图像.已知经过1s后，振子第一次回到平衡位置.振子振幅为5cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5s).
(2)乙在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间.试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像.
解析：由题意知，振子的振动周期T=2s，振幅A=5cm.根据正方向的规定，甲观察时，振子从平衡位置向-y方向运动，经t=0.5s，达到负方向最大位移，用描点法得到甲观察到的振子图像如图(甲)所示.

因为t=3.5s=1T，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过t′=T的状态相同，所以乙开始观察时，振子正好处于正向最大位移处，其振动图像如图(乙)所示.

【课本难题解答】
167页(3)题：a.处在平衡位置左侧最大位移处；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s2

【命题趋势分析】
本节主要考查学生运用图像来表达给出的条件，然后去回答问题的能力，命题一般以选择、填空形式出现.

【典型热点考题】
例1  如下图所示为一单摆(单摆周期公式T=2π)及其振动图像由图回答：

(1)单摆的振幅为            ，频率为            ，摆长为            ，一周期内位移x(F回，a，Ep)最大的时刻为            .
(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中            点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是            ，势能增加且速度为正的时间范围是            .
解析：(1)由图像可知：A=3cm,T=2s,振动频率f==0.5Hz,摆长l==1(m)，位移为最大值时刻为0.5s末和1.5s末.
(2)图像中O点位移为零，O到A过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，即摆球是从E点起振并向G方向运动的.所以O对应E，A对应G，A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.摆动中F、E间加速度为正且向E过程中减小，在图像中为C到D过程，时间范围1.5s～2.0s.从E向两侧运动势能增加，从E向G的过程速度为正，在图像中为从O到A，时间范围是0～0.5s.

例2  下图(甲)是演示简谐振动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系.板上的直线OO′代表时间轴.下图(乙)是两个摆中的沙在自各木板上形成的曲线.若板N1和板N2的速度υ1和υ2的关系为υ2=2υ1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为(    )

A.T2=T1                  B.T2=2T1                  C.T2=4T1               D.T2=T1

解析：因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比
==2.                                ①
在这段距离为N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即
t1=T1和  t2=2T2.                            ②
将②式代入①式，得    T2=T1.
可知选项D正确.

【同步达纲练习】
1.一质点做简谐运动的振动图像如下图所示，由图可知t=4s时质点(    )

A.速度为正的最大值，加速度为零
B.速度为零，加速度为负的最大值
C.位移为正的最大值，动能为最小
D.位移为正的最大值，动能为最大
2.如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度υ、加速度a的大小的变化情况为(    )

A.υ变大，a变大               B.υ变小，a变小
C.υ变大，a变小               D.υ变小，a变大

3.某质点做简谐运动其图像如下图所示，质点在t=3.5s时，速度υ、加速度α的方向应为(    )

A.υ为正，a为负                 B.υ为负，a为正
C.υ、a都为正                   D.υ、a都为负

4.如下图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为(    )

A.加速度          B.位移         C.速度          D.回复力

5.如下图所示为质点P在0～4s内的振动图像，下列说法中正确的是(    )

A.再过1s，该质点的位移是正的最大
B.再过1s，该质点的速度方向向上
C.再过1s，该质点的加速度方向向上
D.再过1s，该质点的加速度最大

6.一质点作简谐运动的图像如下图所示，则该质点(    )

A.在0至0.01s内，速度与加速度同方向
B.在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向
C.在0.025s末，速度为正，加速度为负
D.在0.04s末，速度为零，回复力最大

7.如下图所示，简谐运动的周期等于            s，振幅            m，加速度为正的最大时刻是            ，负的最大时刻是            ，速度为正的最大时刻是            ，负的最大时刻是            ，0.1s末与0.2s末的加速度大小分别是a1与a2，则大小是a1            ，0.1s末与0.2s末其速度大小分别υ1与υ2，则其大小是υ1            υ2.

8.下图(A)是一弹簧振子，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正方向，图(B)是它的振动图线，则：(1)它的振幅是            cm,周期是            s,频率是            Hz.(2)t=0时由图(B)可知，振子正处在图(A)中的            位置，运动方向是            (填“左”或“右”)，再经过            s,振子才第一次回到平衡位置.(3)当t=0.6s时，位移是            cm，此时振子正处于图(A)中的            位置.(4)t由0.2s至0.4s时，振子的速度变            (填“大”或“小”，下同)，加速度变            ，所受回复力变            ，此时速度方向为           (填“正”或“负”，下同)，加速度方向为            ，回复力方向为            .

【素质优化训练】
9.如下图所示，下述说法中正确的是(    )

A.第2s末加速度为正最大，速度为0
B.第3s末加速度为0，速度为正最大
C.第4s内加速度不断增大
D.第4s内速度不断增大

10.一个做简谐振动的质点的振动图像如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是(    )

A.t4              B.t3                 C.t2                    D.t1

11.如下图所示为一单摆做间谐运动的图像，在0.1～0.2s这段时间内(    )

A.物体的回复力逐渐减小               B.物体的速度逐渐减小
C.物体的位移逐渐减小                 D.物体的势能逐渐减小

12.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时刻作计时起点(t为0)，经周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b所示的几个振动图像中，正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是(    )

13.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t1至t2这段时间内(    )

A.振子的速度方向和加速度方向都不变
B.振子的速度方向和加速度方向都改变
C.振子的速度方向改变，加速度方向不变
D.振子的速度方向不变，加速度方向改变

14.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为(    )

A.4m/s,4m       B.0.4m/s,4cm       C.0.4m/s,0.4m        D.4m/s,0.4m

15.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图像，则振动系统在(    )
A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量
B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量
C.t1和t5时刻具有相同的加速度
D.t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1

16.从如下图所示的振动图像中，可以判定弹簧振子在t=            s时，具有正向最大加速度；t=            s时，具有负方向最大速度；在时间从            s至
            s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从            s至
            s内振子的速度在+x方向上并不断增大.

17.如下图所示为两个弹簧振子的振动图像，它们振幅之比AA∶AB=            ；周期之比TA∶TB=            .若已知两振子质量之比mA∶mB=2∶3，劲度系数之比kA∶kB=3∶2，则它们的最大加速度之比为            .最大速度之比            .

18.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示.在t=1.25s时小球的加速度的大小为            ，方向            ；在t=2.75s时小球的加速度大小为            ，速度的方向为            .

19.如下图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上做匀变速运动，一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：自玻璃板开始运动，经过多长时间才开始接通电动音叉的电源?接通电源时玻璃板的速度是多大?

【知识探究学习】
沙摆是一种经常用来描绘振动图像的简易演示实验装置.同学们弄清如下问题对深入细致地理解沙摆实验很有帮助.
(1)水平拉动的玻璃板起到了怎样的怎用?
答：使不同时刻落下的沙子不会重叠，区别出各时刻沙摆的位置，起到了相当于用时间扫描的作用.

(2)为什么要匀速拉动玻璃板?
答：因为沙摆实验显示的是纵轴表示位移、横轴表示时间的单摆振动较图像，玻璃板的中轴线就是表示时间的横轴.而时间轴应是均匀的，所以玻璃板必须匀速拉动.

(3)玻璃板静止时沙子落下形成沙堆的形状是怎样的?
答：应为中间凹两端高的沙堆如图1-A，不能为图1-B的形状.原因是沙摆过最低点的速度最快，所以中间漏下的沙子最少.

(4)玻璃板抽动速度的大小对图像的形状有什么影响?
答：玻璃板的速度越大，图像中OB段的长度也越大，其中=υ(式中υ为玻璃板抽动的速度，T为沙摆的周期).因图2-A比图2-B中的抽动速度大；所以OB的长度前者也比后者大，但不能说成周期变大.另外图像的振幅不受玻璃板抽动速度的影响.

(5)由这个实验能否求出拉动玻璃板的速度?
答：能够利用式子υ=/T求出，这时需要测出沙摆的周期和的长度，并多测几组数据，求出其平均值.

(6)玻璃板的速度恒定，形成的图像是否为正弦(或余弦)曲线?
答：严格的说不是.因为随着沙子的漏下，沙摆的周期越来越大，一个周期里玻璃板的位移越来越大，图像出现变形.沙子全部漏出后，沙摆的周期又保持不变，但这时没有图像了.当然如果沙粒很细，漏孔又很小，而且沙摆线摆动的角度很小(小于5°)，那么开始的一段图像，可近似看成是正弦(或余弦)曲线.

参考答案
【同步达纲练习】
1.B、C  2.C  3.A  4.C  5.A、D  6.A、D 
7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0与2s末；1s末；＜；＞

 8.(1)2；0.8；1.25  (2)0；右；1.4；-2；C；大；小；小；负；负；负

【素质优化训练】

9.A、B、C  10.D  11.A、C、D  12.D  13.D  14.C  15.B、D 

16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.6 

17.2∶1；2∶3；9∶2；3∶1 

18.6m/s2；向上；0；向下 

19.0.1s；0.1m/s

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