《坐标系与参数方程》讲义.doc

选修4-4 极坐标系与参数方程

一、极坐标系与极坐标

1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2、点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为。有序数对___________叫做点M的极坐标，记为___________.极点O的坐标为.

3、若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ______________________

__________________________ ,_______________________

5、圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是________________；

在极坐标系中，以 (a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程________________；
在极坐标系中，以 (a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是______________；

6、直线的极坐标方程
在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线（ ）
在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是__________.
在极坐标系中，过点，且平行于极轴的直线l的极坐标方程是________________

二、参数方程

1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见的参数方程与普通方程
（1）圆的参数方程可表示为.

（2）椭圆(a>b>0)的参数方程可表示为.

（3）抛物线的参数方程可表示为.
（4）经过点，倾斜角为的直线l即____________________的参数方程可表示为（t为参数）。

3、在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

三、基础训练：
1．在极坐标系中，过点，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是________________
2．在极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是___________________.

3. 极坐标方程化为直角坐标方程是_______________________.

4. 在极坐标系中，极点到直线的距离是____________.

5.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）
A. B. C. D.

6.参数方程化为普通方程是_______________________.

7.椭圆的焦点坐标是_________________________.

8．双曲线的离心率是_________________________.

9、在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .

10、在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是

四、大题训练
（一） 圆和直线的方程互化
1、（2015年全国1卷）在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设，求的面积

2、在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），圆的方程为．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
求直线和圆的极坐标方程；
设直线与圆相交于，两点，求的值．

3、已知在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离d的取值范围．

(二）圆与直线位置关系
1、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程为（θ为参数）
（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系。

2、圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点.
（1）写出圆的直角坐标方程；
（2）求的值．

3、已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．

（三）动点问题
1、（2014年全国卷2） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
（1）求C的参数方程
（2）设D点在曲线C上，C在点D处的切线与直线l：垂直，请确定D点坐标

2、（2011年全国卷）直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，M是上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线
（1）求的方程
（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与异于极点的交点为B，求

（四）圆锥曲线方程与取值范围
1、在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（a为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：.求曲线C2的直角坐标方程与曲线C1的普通方程

2、（2012年全国卷）已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依次按逆时针次序排列，点A的极坐标为
（1） 求A,B,C,D的直角坐标
（2） 设P为上任意一点，求的取值范围