相交线平行线综合复习提高篇教案.doc

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教学主题：
相交线平行线综合复习提高篇

教学重难点：
熟练掌握几何语言,能解决较难的证明题

教学过程：
1.导入
复习学过的所有证明根据的应用,尤其是同角的余角相等,等角的补角相等较难用,学生不容易想到.分类总结画图写明证明过程.

2.呈现
例1．如图，AD∥BC，点O在AD上，BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB，若
∠A＋∠D＝m°．则∠BOC＝______．

【提示】由AD∥BC，BO平分∠ABC，可知∠AOB＝∠CBO＝∠ABC．
同理∠DOC＝∠BCO＝∠DCB．
∵ AD∥BC，
∴　∠A＋∠ABC＝180°，∠D＋∠DCB＝180°，
∴　∠A＋∠D＋∠ABC＋∠DCB＝360°．
∵　∠A＋∠D＝m°，∴　∠ABC＋∠DCB＝360°－m°．
∴　∠AOB＋∠DOC＝（∠ABC＋∠DCB）＝（360°－m°）＝180°－m°．
∴　∠BOC＝180°－（∠AOB＋∠DOC）＝180°－（180°－m°）＝m°．

例2．有一条直的等宽纸带，按图（1）折叠时，纸带重叠部分中的∠a＝度．

图（1）
【提示】裁一张等宽纸带按图示折叠，体会一下题目的含义．将等宽纸带展平，便得图（2）．由此图可知∠DAC＝30°．AB是∠C′AC的平分线．∴　∠a＝75°．

图（2）
．
【点评】解类似具有操作性的实际问题时，不妨动手做一做，从中感受一下题目的意义，进而将实际问题转化成数学问题．用数学知识解决实际问题．这样做不仅能培养我们抽象思维和空间想象能力，而且能提高我们解决实际问题的能力．

例3．把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…”的形式是：如果______________，那么_____________．
解析:在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．

例4．如图，在长方体中，与面BCC′B′平行的面是面；与面BCC′B′垂直的面是，与棱A′A平行的面有，与棱A′A垂直的面有．

【答案】面ADD′A；面ABB′A′，面ABCD，面A′B′C′D′，面DCC′D′；
面DCC′D′，面BCC′B′；面ABCD，面A′B′C′D′．

例5．如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数．

【提示】由AB∥CD，∠ABC＝50°可得∠BCD＝50°．
由PN∥CD，∠CPN＝150°，可得∠PCD＝30°．
∴　∠BCP＝∠BCD－∠PCD＝50°－30°＝20°．

例6．如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度数．

【提示】由AC∥PD，∠CAB＝100°，可得∠APD＝80°．
同理可求∠BPE＝70°．
∴　∠DPE＝180°－∠APD－∠BPE＝180°－80°－70°＝30°．

例7．如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．
求∠PAG的度数．

【提示】由DB∥FG∥EC，可得
∠BAC＝∠BAG＋∠CAG
＝∠DBA＋∠ACE
＝60°＋36°＝96°．
由AP平分∠BAC得∠CAP＝∠BAC＝×96°＝48°．
由FG∥EC得∠GAC＝ACE＝36°．
∴　∠PAG＝48°－36°＝12°．

例8．如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．

【提示】过点E作EG∥AB．
∵　AB∥CD由平行公理推论可得EG∥CD．
由此可求得∠AEC的度数．由平角定义可求得∠3的度数．

例9．已知：如图．AB∥CD，∠B＝∠C．求证：∠E＝∠F．

【提示】证明AC∥BD．
【答案】证明：∵　AB∥CD（已知），
∴　∠B＝∠CDF（两直线平行，同位角相等）．
∵　∠B＝∠C（已知），
∴　∠CDF＝∠C（等量代换）．
∴　AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．
∴　∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

例10．已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．
求证：EF平分∠BED．

【提示】由AC∥DE．DC∥EF证∠1＝∠3．由DC∥EF证∠2＝∠4．再由CD平分∠BCA，即可证得∠3＝∠4．
【答案】证明：∵　AC∥DE（已知），
∴　∠1＝∠5（两直线平行，内错角相等）．
同理∠5＝∠3．
∴　∠1＝∠3（等量代换）．
∵　DC∥EF（已知），
∴　∠2＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵　CD平分∠ACB，
∴　∠1＝∠2（角平分线定义），
∴　∠3＝∠4（等量代换），
∴　EF平分∠BED（角平分线定义）．

例11．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．

【提示】过点E作EF∥AB，证明∠BED＝90°．
【答案】证明：过点E作EF∥AB．

∴　∠BEF＝∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵　∠B＝∠1，
∴　∠BEF＝∠1（等量代换）．
同理可证：∠DEF＝∠2．
∵　∠1＋∠BEF＋∠DEF＋∠2＝180°（平角定义），
即2∠BEF＋2∠DEF＝180°，
∴　∠BEF＋∠DEF＝90°（等式性质）．
即∠BED＝90°．
∴　BE⊥DE（垂直的定义）．

例12．已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论．

【提示】结论：∠B＋∠E＝∠D．过点E作EF∥AB．
【答案】结论：∠B＋∠E＝∠D．

证明：过点E作EF∥AB，
∴　∠FEB＝∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵　AB∥CD，EF∥AB，
∴　EF∥CD（平行公理推论），
∴　∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵　∠FED＝∠FEB＋∠BED＝∠B＋∠BED，
∴　∠B＋∠BED＝∠D（等量代换）．
本题还可添加如图所示的辅助线，请你证明∠B＋∠E＝∠D．

【点评】这是一道探索结论型的问题．要通过对直观图形仔细观察，大胆猜想，设定结论，再进行推理，验证结论．直观图形是观察思考的依据，准确的直观图形可引发正确的直觉思维．所以作图不可忽视．直觉思维是正确，还必须用相关的理论来验证．这样得到的结论方可靠．

3.练习与检测
1.已知:如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.

2.如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.

3．已知：如图2—98，∠AOB及其内部一条射线PM，求作∠MPN，使 得∠MPN=∠AOB(要求：用尺规作图)．

4．已知：如图2—99，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4．DE与CF平行吗?为什么?

5．如图2—100，直线l与m相交于点C，∠C=∠β，AP、BP交于点P，且∠PAC=∠α，∠PBC=∠γ，求证：∠APB=α+∠β+∠γ．

6．如图2—101，若要能使AB∥ED，∠B、∠C、∠D应满足什么条件?

4.小结
整理证明依据,对顶角相等,邻补角互补,角平分线定义,垂直定义,平行线的判定和性质,等角或同角的余角相等,同角或等角的补角相等,等量代换,等式的性质等的用法.

5.作业
1．把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……。”的形式为
。

2．用吸管吸易拉罐内的饮料时，如图①，，则 （拉罐的上下底面互相平行）

3．有一个与地面成30°角的斜坡，如图②，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的
°时，电线杆与地面垂直。
4．如图③，按角的位置关系填空：与是 ；与是 ； 与是 。

5．如图④，若 ，则 。
6．如图⑤，已知，若，则 ； 若，则 。
7．如图⑥，为了把平移得到，可以先将向右平移 格，再向上平移 格。
8．已知直线在同一平面，若，，则 。
9．三条直线、、相交于点，如图⑦所示，的对
顶角是 ，的对顶角是 ，的邻补角
是 。

三、解答题。
1．如图，已知，，,求和的度数。

2．如图，已知：，，求的度数。

3．如图，已知，，求证：。

4．如图，，平分，与相交于,。求证：。