数学奥林匹克问题.doc

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[初1] 边长为的正三角形ABC内，有一个半径为a的⊙O，且内切于AB。若⊙O在ΔABC内沿AB边由A向B滚动到与BC相切，再沿BC由B向C滚动到与AC相切，再沿CA由C向A滚动到与AB相切，回到原来的位置。问在滚动中被⊙O的圆周扫过的面积有多大？（重复部分只计算一次）
[初2]由100个边长为1的 正方体小盒子堆积成一个边长为10的正方体大盒子，现知每个小盒子里都放有一个苹果，其中有99个坏苹果，其余均为好苹果。假如一天以后，在一个盒子的六个相邻小盒子中（具有公共面的小盒子称为相邻小盒子），如果有3个或3个以上的小盒子里放的是坏苹果，那么这个小盒子里的好苹果也将变成坏苹果。试问：经过1993天以后，是否所有小盒子里的苹果都变成坏苹果？并说明理由。
[初3] 设ΔABC的三条中线长分别为ma,mb,mc，求证：对任意的不全为零的非负整数α,β和γ, αma+βmb+γmc, αmb+βmc+γma, αmc+βma+γmb,均可构成一个三角形的三边，且此三角形与ΔABC的面积之比不小于.
[初4] 从1，2，3，…。100这100个数中，选取互不相同的数填入下图的每一个空格中，使满足三个条件：
（i）每列的3个数的和都是第一行的9个数的和的倍数；
（ii）第三行的9个数的和是每一列的三个数的和的倍数；
（iii）使得填入的27个数的和最小。
[初5] 若n位自然数，则称该自然数为“升幂数”。135就是一个“升幂数”，试求出1000以内的所有“升幂数”。
[初6]已知正三角形 DEF的边长为d，顶点D,E,F分别在锐角三角形ABC的三边上，记ΔABC的三边依次为a,b,c，面积为S，求证：
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[初7] 在空间四边形ABCD中，AB=CD，若E，F分别是AD，BC上分比为k的分点，当k为何值时，EF长为最短。
[初8] 如图，在三个同心圆中，每个圆上有六个，给出1，2，3，100这100个数，在每个中填入一个数使满足以下条件：
（1） 任一大圆半径上的三个数的和是小圆上六个数的和的倍数：
（2） 大圆上的六个数的和是任一大圆半径上的三个数的和的倍数；
（3） 大圆直径上的六个数的和都相等；
（4） 所填的总数和最小。
（5） 若能按要求填出，请填出并说明理由；若不能填出，则证明它。
[初9] 有四张大小完全一样的三角形纸片，将它们重合在一起，用针垂直地把纸扎透，依次在纸片上把针孔记作然后把四张纸片拼成一个大三角形（如图），这样可以得到一个四边形O1O2O3O4，假设三角形纸片的面积为，请你在纸片上选定一个位置孔，使四边形O1O2O3O4的面积等于。
[初10] 求不定方程 x14+ x24+ …+x104的所有非负整数解，并求出解组的个数。

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