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勾股定理探秘
江苏 高峰
如果要选一条数学定理，它不仅要历史悠久，而且要具有深刻的数学内容，那么勾股定理是当之无愧的，几乎所有的文明古国都对它探讨、研究过。勾股定理在初中数学的众多定理中，占有及其重要的位置，有着广泛的应用。下面就随我一起来走进这神奇的世界吧！
一、知识要点
1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
温馨提示：1、勾股定理就是通过图形的割、补、拼等方法构造一些特殊的图形来验证的。这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，被称为“无字证明”。其中蕴涵的一种重要的数学思想：转化思想。这种思想在解决问题中有着重要作用。例如当有些问题的图形中没有直角三角形的情况下，这时就可以根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后再利用勾股定理来解决问题。
2、勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用。那么，在运用勾股定理解决问题时，需要注意以下几点：
（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于其它非直角三角形。
（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；
（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，求第三边长，即c2=a2+b2，a2 =c2－b2， b2=c2－a2。
2、直角三角形的判定条件：如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
三个正整数a、b、c，满足a2+b2=c2时，称为勾股数．
温馨提示：1、直角三角形的判定条件中a、b、c是任意非负数。
2、若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是勾股数．以下几个公式也都可以产生勾股数：
　　（1）设n为正整数，且n＞1，令a=2n，b=n2+1，c=n2+1，则有a2+b2=c2；
　　（2）设n为正整数，令a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，则有a2+b2=c2；
　　（3）设m、n为正整数，且m＞n，令a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2则有a2+b2=c2；
（4）设m、n、k为正整数，且m＞n，令a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2）则有a2+b2=c2．
二、典例分析
图１
例1、如图１，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设２步为１米），却踩伤了花草．
分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为３ｍ和４ｍ的直角三角形的斜边，由他们仅仅少走了几步路，勾股定理求出斜边即可。
解：由勾股定理得32+42=25
所以该“路”的长为５ｍ，因此，行人仅仅少走了步路．
例2、如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
图2
分析：根据折叠可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。在直角三角形ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在直角三角形FEC中，可以设EC=x，则EF=8－x，根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，即可列出方程进行求解。
解：根据题意可得，△AFE≌△ADE，
所以AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
所以在直角三角形中，根据勾股定理得
，所以FC=4cm，
设EC=xcm，则EF=DC－EC=8－xcm，
在直角三角形EFC中，根据勾股定理得
EC2＋FC2=EF2，即x2＋42=（8－x）2，
解这个方程得x=3cm，
所以EC的长为3cm。
A
C
B
D
E
F
图3
例3、在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．说明：CE⊥BE．
分析：首先过点C作CF⊥AB，垂足为F．将梯形转化为矩形AFCD和Rt△BCF，利用矩形的性质和勾股定理求出AD的长，随之再在Rt△ABE和 Rt△DEC中，利用勾股定理求出CE、EB的长，然后利用直角三角形的判定条件即可说明∠CEB＝90°．
解：过点C作CF⊥AB，垂足为F．则四边形AFCD是矩形．
所以AD=CF, BF=AB-AF=1．
在Rt△BCF中，
CF2=BC2-BF2=8， CF=．则 AD=CF=，又E是AD中点，所以 DE=AE=AD=．
在Rt△ABE和 Rt△DEC中，EB2=AE2+AB2=6， EC2= DE2+CD2=3，则 EB2+ EC2=9=BC2．所以 ∠CEB＝90°，即 EB⊥EC．
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