混凝土-多轴强度-破坏准则-本构模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.8,多轴强度和本构关系,钢筋混凝土结构中，混凝土几乎不存在单一轴压或轴拉应力状态；,梁、板、柱构件，混凝土事实上处于二维或三维应力状态；,双向板、墙板、剪力墙和折板、壳体，重大的特殊结构，如核反应堆的压力容器和安全壳、水坝、设备基础、重型水压机等，都是典型的二维和三维结构，其中混凝土的多轴应力状态更是确定无疑；,设计时，如采用混凝土单轴压或拉强度，其结果是：,过低地给出二轴和三轴抗压强度，造成材料浪费，却又过高地估计多轴拉,-,压应力状态的强度，埋下不安全的隐患，,显然都不合理。,多轴应力状态的存在及问题,许多国家对混凝土多轴性能的大量系统性试验和理论研究，取得的研究成果有的已经融入相关设计规范。,美、英、德、法等国的预应力混凝土压力容器设计规程、俄国和日本的水工结构设计规范，以及模式规范,CEB-FIP MC90,等都有明确的条款，规定了混凝土多轴强度和本构关系的计算公式（或图、表）。这些成果应用于工程实践中，取得了很好的技术经济效益。,自上世纪,60,年代，我国一些高校和研究院相继开展了混凝土多轴性能的试验和理论研究，取得了相应成果，为在,混凝土结构设计规范,中首次列入多轴强度和本构关系奠定了坚实的基础。,国内外对多轴性能的研究概述,计算机的发展应用，有限元分析方法渐趋成熟，为准确地分析复杂结构提供了强有力的理论和运算手段，研究合理、准确的混凝土破坏准则和本构关系已成为当务之急。同时，电子量测和控制技术的进步，为建造复杂的混凝土多轴试验设备和改进量测技术提供了条件。,混凝土的材料性质复杂多变，其多轴强度和变形又随多轴应力状态的不同而有很大差异。至今还没有，以后也难以找到一种准确的理论方法，可以从混凝土原材料的性质、组成和制备工艺等原始条件推算其多轴力学性能。因而，,最现实和合理的办法是创建混凝土多轴试验设备、制作试件直接进行试验测定。,借助于试验设备获得多轴力学性能的必要性和可行性。,2.8.1,试验设备和方法,所有的混凝土多轴试验装置，按试件的应力状态分为两大类：,1,、常规三轴试验机,一般利用已有的大型材料试验机，配备一个带活塞的高压油缸和独立的油泵、油路系统。,试验时将试件置于油缸内的活塞之下，试件的横向由油泵施加液压，纵向由试验机通过活塞加压。试件在加载前外包橡胶薄膜，防止高压油进入试件裂缝，胀裂试件，降低其强度。,如果采用空心圆筒试件，在筒外或筒内施加侧压，还,可进行二轴受压,(C/C),或拉压,(T/C),试验,。,试验采用圆柱体或棱柱体试件，,当试件三轴受压（,C/C/C,）时，,必有两方向应力相等,，称为常规三轴受压，以区别真三轴受压试验。,常规三轴,常规二轴,2,、真三轴试验装置,试验装置的构造见图。,60,年代，,Krupp,通用建筑公司,机架焊接整体结构，三轴刚性连接,试验中：试件挤在一角，变形增大时试件受到不对称应力增大,;,变形得不到互相补偿。这种机械设备使得试件中产生强制应力，实测破坏荷载并不能真实代表试件的破坏荷载。,慕尼黑工大（,68,年）,一框架弹性悬挂在另一框架上，钢刷传力，可减小不对称应力。,二轴（或三轴）分离试验装置：由二（或三）个独立的互不相连的机架组成，在水平方向的两个机架，一个用缆绳悬挂起来，另一个放置在滚动轴承上。垂直机架用平衡重物悬挂起来，能适应试件在水平方向和垂直方向上受应力而产生的变形。,在复杂结构中，混凝土的三向主应力不等，且可能是有拉有压。显然，试验装置应能在,3,个方向施加任意的拉、压应力和不同的应力比例（,1,：,2,：,3,）。,70,年代后研制的试验装置大部分属此类。,真三轴试验装置的最大加载能力为压力：,3000 kN/2000 kN/2000 kN,拉力为：,200kN/200kN,混凝土试件一般为边长,50,150 mm,的立方体。进行二轴应力状态试验时，也可采用板式试件，最大尺寸为,200 mm,200 mm,50 mm,。,真三轴试验装置需要自行设计和研制，且无统一的试验标准可依循，还有些复杂的试验技术问题需解决，造价和试验费用都比较高。但是为了获得混凝土的真三轴性能，却又缺之不可。,在设计混凝土的三轴试验方法和试验装置时，有些试验技术问题需要研究解决，否则影响试验结果的可靠性和准确性，决定三轴试验的成败。主要的技术难点和其解决措施有：,（,1,）消减试件表面的摩擦,混凝土立方体试件的标准抗压试验中，只施加单向压力，由于钢压板对试件端面的横向摩擦约束，提高了混凝土的试验强度。,在多轴受压试验时，如不采取措施消除或减小此摩擦作用，各承压端面的约束相互强化，可使混凝土的试验强度成倍地增长，试验结果不真实，毫无实际价值。,混凝土多轴试验中，行之有效的减摩措施有,4,类：,在试件和加压板之间设置减摩垫层；刷形加载板；,柔性加载板；金属箔液压垫。,后三类措施取得较好的试验数据，但其附件的构造复杂，加工困难，造价高，且减摩效果也不尽理想。至今应用最多的还是各种材料和构造的减摩垫层，例如两片聚四氟乙烯（厚,2 mm,）间加二硫化钼油膏，三层铝箔（厚,0.2 mm,）中间加二硫化钼油膏等。,（,2,）施加拉力,对试件施加拉力，须有高强粘结胶把试件和加载板牢固地粘结在一起。此外，,试件在浇注和振捣过程中形成含有气孔和水泥砂浆较多的表层（厚约,2,4 mm,），抗拉强度偏低，故用作受拉试验的试件先要制作尺寸较大的混凝土试块，后用切割机锯除表层,5 mm,后制成。,（,3,）应力和应变的量测,混凝土多轴试验时，试件表面有加载板阻挡，周围的空间很小，成为应变量测的难点。试验中一般采用两类方法：,直接量测法，在试件表面上预留浅槽（深,2,3 mm,）内粘贴电阻应变片，并用水泥砂浆填满抹平；或者在打磨过的试件棱边上粘贴电阻片（影响试件性能，应变片可能被破坏）；,间接量测法，使用电阻式或电感式变形传感器量测试件同方向两块加载板的相对位移，扣除事先标定的减摩垫层的相应变形后，计算试件应变。,前者较准确，但量程有限，适用于二轴试验和三轴拉压试验；后者的构造较复杂，但量程大，适用于三轴受压试验。,（,4,）应力（变）途径的控制,实际结构中一点的三向主应力值，随荷载的变化可有不同的应力途径。已有的大部分三轴试验是等比例,（,1,:,2,:,3,=const,）单调加载、直到试件破坏。,应力比例由电,-,液控制系统实现，一般设备都具备这一功能。有些设备还可进行多种应力（变）途径的试验，例如,:,三向应力变比例加载,;,恒侧压加载,;,反复加卸载,;,应变或应变速度控制加载等。,（,5,）试件的尺寸（即加载的空间）很小（一般为,50100mm,），而承载力很大（,10003000kN,），要求有较大而刚性的加载（油缸和活塞）和承力（横梁和拉杆）机构，造成构造上的困难；,（,6,）试件受力后的变形过程中，要求三个方向施加的力始终保持居中，不产生偏心作用；,2.8.2,破坏准则,1.,破坏包络面的形状及其表达,在主应力空间坐标系（,1,2,3,）中，,将试验中获得的混凝土多轴强度（,f,1,，,f,2,，,f,3,）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面。,破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。,1,-,f,c,2,-,f,c,1,1,2,2,f,t,f,t,f,tt,f,cc,-,1,-,3,-,2,3,1,2,+(,1,2,),-(,1,2,),在主应力空间中，,与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水压力轴（即各点应力状态均满足：,1,=,2,=,3,）。,此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，,均为,静水压力轴上一点与坐标原点的距离称为,静水压力（,）；,其值为,3,个主应力在静水压力轴上的投影之和，故：,-,1,-,3,-,2,3,1,2,+(,1,2,),-(,1,2,),静水压力轴,垂直于静水压力轴的平面为偏平面。,3,个主应力轴在偏平面上的投影各成,120,o,角。同一偏平面上的每一点的,3,个主应力之和为一常数：,I,1,为应力张量,ij,的第一不变量,偏平面与破坏包络曲面的交线成为偏平面包络线。不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线。,偏平面包络线为三折对称，有夹角,60,o,范围内的曲线段，和直线段一起共同构成全包络线。取主应力轴正方向处为,=0,o,，负方向处为,=60,o,，其余各处为,0,o,60,o,。,在偏平面包络线上一点至静水压力轴的距离称为偏应力,r,。偏应力在,=0,o,处最小,(,r,t,），随,角逐渐增大，至,=60,o,处为最大,(,r,c,），故,r,t,r,c,。,从工程观点，混凝土沿各个方向的力学性能可看作相同，即立方体试件的多轴强度只取决于应力比例,1,：,2,：,3,，而与各应力的作用方向,X,、,Y,、,Z,无关。,例如：混凝土的单轴抗压强度,f,c,和抗拉强度,f,t,不论作用在哪一个方向，都有相等的强度值,。,在包络面各有,3,个点，分别位于,3,个坐标轴的负、正方向；,同理，混凝土的二轴等压（,1,=0,，,f,2,=,f,3,=,f,cc,）和等拉（,3,=0,，,f,1,=,f,2,=,f,tt,）强度位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，,3,个坐标面内各有一点；,混凝土的三轴等拉强度（,f,l,=,f,2,=,f,3,=,f,ttt,),只有一点且落在静水压力轴的正方向。,对于任意应力比,(,f,l,f,2,f,3,),的三轴受压、受拉或拉压应力状态，从工程观点,考虑混凝土的各向同性，,可由破坏横截面三重对称，在应力空间中各画出,6,个点，位于同一偏平面上，且夹角,值相等。,_,任意应力比下的多轴破坏强度,破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉压子午面和偏平面上的平面图形来表示。,拉压子午面,为,静水压力轴与任一主应力轴（如图中的,3,轴）组成的平面，同时通过另两个主应力轴（,1,，,2,）的等分线,。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午线。,（,1,）、拉子午线的应力条件为,1,2,=,3,，线上特征强度点有单轴受拉,(,f,t,0,0),和二轴等压,(0,-,f,cc,-,f,cc,），在偏平面上的夹角为,=0,o,;,（,2,）、压子午线的应力条件则为,1,=,2,3,，线上有单轴受压,(0,0,-,f,c,),和二轴等拉,(,f,tt,f,tt,0),，在偏平面上的夹角,=60,o,。,（,3,）、拉、压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉,(,f,ttt,f,ttt,f,ttt,),。拉、压子午线至静水压力轴的垂直距离即为偏应力,r,t,和,r,c,。,=0,o,=60,o,拉压子午线的命名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于三轴试验过程。,若试件先施加静水应力,1,=,2,=,3,，后在一轴,1,上施加拉力，得,1,2,=,3,，称拉子午线；,若试件先施加静水应力,1,=,2,=,3,，后在另一轴,3,上施加压力，得,1,=,2,3,，称压子午线。,=0,o,=60,o,我国的,混凝土结构设计规范,附录,C.4,中采纳了过,王准则，其与试验结果相符较好、以八面体应力无量纲量表达、应用幕函数拟合混凝土的破坏包络面,.,2.,规范中的破坏准则,混凝土破坏准则中包含的,5,个参数，可以用试验数据进行回归分析拟定；也可在破坏包络面上，或拉、压子午线上选定任意,5,个特征强度值加以标定。前者计算工作量大，一般取用后者。,过,王破坏准则,单轴抗压和抗拉强度是混凝土的基本强度指标，应作为首选的,2,个特征强度值,。其余,3,个特征强度,可以选用：包络面顶端，即拉压子午线交点处的,三轴等拉强度,；试验数量较多的,二轴等压强度,；和一个强度较高的常规,三轴抗压强度,(0,f,1,=,f,2,f,3,，,=60,o,）。这样使拉、压子午线上各有,3,个控制点，可以较好地拟合试验结果。,按此公式可计算各种应力状态下的混凝土多轴强度理论值，并绘制子午线和偏平面包络线，以及二轴和三轴包络线。按此准则计算的混凝土多轴强度值与国内外的试验结果比较吻合。,将所得参数值代入基本方程，即得混凝土的破坏准则公式：,过,-,王破坏准则表达式,需要说明，选用的上述,5,个特征强度值，是分析了国内外众多研究者的试验结果而确定的，与此相应的混凝土破坏准则（上两式）可适用于各种试验条件和全部多轴应力范围，总体计算准确度较高。,如果针对某一种特定的混凝土材料，或者在有限的应力比或静水压力范围（如二轴应力状态）内，为了得到更准确的破坏准则，可以通过试验测定，或参照已有试验资料另行设定,5,个特征强度值，得相应的破坏准则计算式。,2.8.3,多轴强度验算举例,二维和三维结构在线弹性或非线性分析后获得了混凝土的多轴应力状态，,可按多轴强度设计值进行验算，也可采用破坏准则进行验算,，通常将混凝土的破坏准则编成程序，附在结构分析之后，由计算机完成混凝土的应力分析和多轴强度验算。,下面列举几个手算例题，说明具体的计算方法和步骤，有助于对混凝土破坏准则的理解。,例,1,混凝土三向受压，应力比为,1,:,2,:,3,-0.15:-0.3:-1,，,用上述破坏准则计算相应的多轴强度值。,解：设三轴抗压强度为：,其中,x,为待定值。,相应地,计算无量纲的八面体正、剪应力和偏平面夹角：,代入,由准则：,建立,为一超越方程，解此超越方程得：,x,=4.48,混凝土的三轴抗压强度为：,试验结果表明，上述比例下的混凝土三轴抗压强度约为：,与计算值接近。,例,2,一钢筋混凝土平面结构，在荷载设计值作用下，按线弹性分析得最不利位置处的主应力为（,5,、,16N/mm,2,），试确定混凝土的强度等级（用混凝土破坏准则进行计算）。,解：该处混凝土的应力状态写成三轴应力形式：,设三轴抗压强度为：,相应有：,计算破坏准则的各项指标和参数值：,代入,由准则：,为一超越方程，解此超越方程得：,x,=1.37,此强度值大于按下图所给的混凝土多轴抗压强度设计值。,试选,C30,混凝土，其单轴抗压强度设计值为,f,c,=14.3N/mm,2,，故,若该选,C25,混凝土，其单轴抗压强度设计值为,f,c,=11.9N/mm,2,，,也可满足承载能力要求，,例,3,若混凝土三方向的应力比为：（,+0.1:+0.06:,1,）和（,+0.04:,0.5:,1,），确定相应的三轴拉,-,压强度（用混凝土破坏准则进行计算）。,解：三轴拉,-,拉,-,压应力状态的应力比为：,设三轴抗压强度为：,代入相应计算公式：,由准则得：,解此超越方程得：,x,=0.571,三轴拉压强度分别为：,解：三轴拉,-,压,-,压应力状态的应力比为：,设三轴抗压强度为：,代入相应计算公式：,由准则得：,解此超越方程得：,x,=1.044,三轴拉压强度分别为：,按混凝土破坏准则计算的这些应力比例下的三轴拉,-,压强度，与按二轴拉,-,压强度设计值计算的结果接近，二者相差不到10%。,在结构设计计算和有限元分析中须引入混凝土的多轴本构关系，许多学者进行了大量的试验和理论研究，提出了多种多样的混凝土本构模型。根据这些模型对混凝土材料力学性能特征的概括，分成,4,大类：,线弹性模型；,(,弹性模型,),非线（性）弹性模型；,(,弹性模型,),塑性理论模型；,(,非弹性模型,),其它力学理论类模型。,(,非弹性模型,),2.8.4,本构关系,1.,线弹性本构关系,是最简单、最基本的材料本构关系。它假设材料的各方向应力与相应应变符合线性比例关系，加载和卸载沿同一直线往返变化，完全卸载后无残余应变，如下图。,应力和应变有确定的唯一关系，其比值称弹性常数，或弹性模量。,考虑材料各方向性能的异同，可分别建立,各向异性,的、,正交异性,的或,各向同性,的线弹性本构模型。,（,1,）各向同性本构模型,结构中的任何一点，共有,6,个独立的应力分量：,即正应力,11,、,22,、,33,剪应力,12,=,21,、,23,=,32,、,31,=,13,。,相应地也有,6,个应变分量：,为正应变,11,、,22,、,33,剪应变,12,=,21,、,23,=,32,、,31,=,13,假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应力,-,正应变和剪应力,-,剪应变之间的关系如下：,这就是众所熟知的广义虎克定律。其中包含了,3,个弹性常数：,E,弹性模量（,N/mm,2,）；,横向变形系数、即泊松比；,G,剪切模量（,N/mm,2,）。,且由于,独立的弹性常数只有,2,个，一般以,E,和,表示。,将式（,1,）合并,将式（,1,）合并后求逆，即得刚度矩阵表示的应力,-,应变关系式：,这就是,各向同性材料的线弹性本构模型,。对于任一种材料，只需测 定或给定其弹性模量,E,和泊松比,，即可确定其全部本构关系。,各向同性的线弹性本构模型,，是迄今发展最成熟，应用最广,泛的材料本构模型。经典的弹性力学就是以此模型作为物理基,础，对许多二维、三维结构，包括扳、壳结构等的分析给出了准,确的解析解。现今，分析二维和三维结构最常用的有限元方法，,也以此本构模型为基础推导基本公式，并编制成多种通用的或专,用的结构分析程序，例如,ANSYS,、,SAP,、,ADINA,等，已在实际工程中广为应用，卓有成效。,（,2,）各向异性和正交异性本构模型,如果考虑一点的,6,个应力分量和,6,个应变分量之间的弹性常数都不相同，即可建立最一般性材料的,各向异性本构关系,：,式中,K,ii,ii,正应力,ii,和正应变,ii,间的刚度系数，即弹性模量；,G,ij,ij,剪应力,ij,和剪应变,ij,间的刚度系数，即剪切模量；,Y,ii,ij,正应力,ii,和剪应变,ij,间的刚度系数；,H,ij,ii,剪应力,ij,和正应变,ii,间的刚度系数。,Y,和,H,合称为耦合刚度系数（模量）,上式中可见，各向异性材料的本构模型中共包含了,6,6=36,个弹性常数（模量），数值可能各不相同，需要通过相应的材,料试验分别地加以测定。,上面以刚度矩阵表达的各向异性本构关系（,4,）式，求逆后可用柔度矩阵表达。柔度矩阵中同样有,36,个材料的弹性常数，每一个元素都是正（剪）应变和正（剪）应力对应的柔度系数。,实际工程中的结构材料都没有如此复杂的力学性能，因而本构关系可作简化。最典型的是正交异性材料，其力学性能的主要特点为：,三个方向各有不同的弹性常数（弹性模量和泊松比），但正应力的作用不产生剪应变（,Y,=,），剪应力的作用也不产生正应变（,H,=,），且不对其他平面产生剪应变。,例如，处于三轴应力状态的混凝土，各方向的正应力值不等，又有拉压之分，应有不等的弹性常数值。,依据正交异性材料的特点，可将各向异性材料的,6,阶本构方程组（,4,）解耦，降为二个,3,阶方程组，分别建立正应力,-,正应变的本构关系如下：,式（5）中的刚度矩阵对称，独立的弹性常数只有6个，加上式（6）中的3个常数，故正交异性材料的独立弹性常数共为9个。,若将弹性常数用工程界熟悉的,E,、,和,G,表示，正交异性材料的本构关系可改写成简明的柔度矩阵形式,：,剪应力,-,剪应变的本构关系如下：,式中,E,1,、E,2,、E,3,3个相互垂直方向的弹性模量；,G,12,、G,23,、G,31,3个相互垂直方向的剪切模量；,12,、,应力,22,对方向1的横向变形系数（泊松比），,其余类推。,由于式,（7）,中柔度矩阵的对称性，可得3个附加方程：,故本构关系中同样是9个独立的弹性常数。,式（7）和式（8）分别求逆后，即可得式（5）和式（6）中的刚度矩阵和相应的元素。,2,非线性,弹性,本构关系,混凝土当然不是线弹性材料，上述线弹性本构关系用于分析混凝土结构时，其适用范围和计算精度显然都受限制，因而建立和发展了非线（性）弹性类本构关系。这类本构关系的主要特点是反映了材料（混凝土）应变随着应力的增大而非线性地增长的基本规律。同时，为了简化计算又假设卸载时应变沿加载线返回，全部卸载后不留残余应变，如图，应力与应变有惟一对应关系，因而材料又是弹性的。,应力,-,应变曲线的具体形状和计算式，一般都根据混凝土的单轴和多轴应力状态的,试验结果加以标定,，或者采用经验公式进行,回归拟合,。,非线（性）弹性本构关系的优点是：,突出了混凝土非线性变形的主要特点，计算式直接由试验数据确定，因而在一次单调比例加载情况下有较高的计算精度。,简化了卸载途径，便于分析和减少计算量；,可利用线弹性本构关系的已有分析和计算程序；,与其他（非弹性）类本构关系相比，其概念、形式和应用都更简单；数学表达式简明、直观，易被工程师们接受和应用，因而在至今的工程实践中应用最广。,其主要缺点是：不能反映混凝土更复杂的性能（如卸载和加载曲线不重合，存在滞回环，卸载后留有残余应变，多次重复加卸载时的刚度退化，以及三方向应力的不同施加途径有不等的应变值等）。因此，非线弹性本构关系不能适用于分析混凝土结构的卸载、加卸载循环和非比例加载等复杂的受力过程。,已有的混凝土多轴试验和理论研究的文献中，提出了许多种非线性弹性类本构模型，按照对材料各方向性能异同的考虑，也可分作,各向同性的,、,正交异性,的和,各向异性,的本构模型。,各种本构模型的理论概念、建立方法、数学表达形式和计算参数值等都有较大差别，给出的计算结果也不尽相同、甚至有较大出入。而且，各模型的适用范围也有不同。在结构分析时，应慎重地选择合理的混凝土本构模型，必要时进行理论的或试验的验证。,至今国内外在混凝土结构的非线性有限元分析中常用的非线性弹性本构模型有,Ottosen,模型和,Darwin Pecknold,模型等，有些国际规范也明确建议采用这两种模型。此二模型的主要计算原则简要介绍如下（详细的计算公式、推导过程和参数值等请见有关文献）。,（,1,）,Ottosen,模型,此本构模型属三轴的、,各向同性的非线性弹性类模型,。它以混凝土的单轴受压应力,-,应变曲线方程为基础，推导得多轴应力状态下,混凝土割线模量,如图。,计算公式如下：,以割线模量和割线泊松比表达的,Ottosen,模型,E,0,混凝土单轴受压的初始切线弹性模量；,E,f,混凝土达多轴强度时相应的峰值割线模量（,f,c3,/,c3,）,，由单轴受压峰值割线模量（,f,c,/,c,）,，和三轴应力状态（,1,、,2,、,f,c3,),进行计算；,非线性指数，取为混凝土当前应力（,1,、,2,、,3,）,和按破坏准则计算强度（,f,c1,=,1,、,f,c2,=,2,、,f,c3,）的比值：,显然，当混凝土开始受力直至破坏，,值由,0,增大至,1,，其割线弹性模量由,E,0,单调地减小、直至,E,f,。,混 凝 土 的 割 线 泊 松 比 按 图 取 值。,式中,0,混凝土的初始泊松比，可取为,0.16,0.20,。,可见泊松比值随应力（或,）的增大而单调地增长。,计算公式如下：,Ottosen,本构模型给出的割线弹性模量,Es,和泊松比,s,，适用于全量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载步长逐步地进行计算时，由当前的混凝土主应力,（,1,、,2,、,3,）值确定非线性指数,，再由式（,10,）和式（,12,）计算,E,s,和,s,，代入,各向同性的线弹性本构关系式,(1),或式,(3),，即可进行结构的有限元分析运算。由于各荷载步的应力水平（或,值）不等，,E,s,和,s,随之变化，完成全部荷载步的分析后，可得结构受力的非线性全过程。,（,12,）,（,2,）,Darwin-Pecknold,模型,此本构关系属,二轴的、正交异性的非线性弹性模型,。其建立增量式得本构关系计算公式。由前述、二式简化,得二轴应力状态的形式为：,（,13,）,因柔度矩阵对称,取,柔度矩阵求逆后得刚度矩阵表达的本构关系：,（,14,）,（,15,）,对主应力方向则简化为：,（,16,）,式中,E,1,、E,2,主方向的切线弹性模量；,等效的切线泊松比；,由,式,计算，其中,12,和,21,二个方向的横向变形系数（泊松比）。,混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力,-,应变曲线的斜率（一阶导数），即,混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力,-,应变曲线的斜率（一阶导数），即,（,17,）,该,模型建议二轴应力,-,应变曲线方程取为等效的单轴受压应力,-,应变曲线方程，但用混凝土的二轴强度,f,ci,和相应峰值应变,ci,代替原式中的单轴强度,f,c,和峰值应变,c,。,混凝土的二轴强度,f,ci,按确定的破坏准则进行计算,；,二轴峰值应变,ci,和等效泊松比,，按经验公式进行计算。,Darwin-Pecknold本构模型给出的切线弹性模量（,E,1,、,E,2,）和泊松比,，适用于增量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载步每一步进行计算时，由当前应力（变）状态确定,E,1,、,E,2,和,值，代入式（15）或式（16）的本构方程计算应力（或应变）的增量，和前此的增量和累加作为下一步计算的依据，直至完成全部荷载步的分析，获得最终的应力（变）状态和受力的非线性全过程。,（,3,）过镇海建议的模型,上两个本构模型都是以混凝土单轴受压应力,-,应变曲线方程为基础建立的，所得多轴应力,-,应变理论曲线与单轴和二轴受压类的试验曲线相符，但对三轴受压、受拉应力,-,应变曲线有不同程度的误差。,过镇海提出的正交异性的非线,性,弹性本构模型，根据试验中发现的混凝土变形规律，确定了以下原则：,1),引入一拉应力指标，以区别混凝土在不同应力状态下,的破坏形态和应力,-,应变曲线的分类；,2),对三类形状的应力,-,应变曲线采用统一的等效单轴应力,-,应变方程，但式中参数值随拉应力指标和应力比例,1,/,2,而异，加以区别；,3),引入应力水平指称,，以确定当前应力值（,1,、,2,、,3,）与破坏包络面,（即多轴强度值,f,1,、,f,2,、,f,3,）,接近程度，反映混凝土塑性变形的发展状况；,4),对受压和受拉应力状态下的泊松比分别给出不同的计算公式，以反映随应力增大，受压泊松比逐渐增大，而受拉泊松比逐渐减小的试验规律。,前述,正交异性材料的本构方程式（7）中柔度矩阵对称式（9）,（,18,）,式中,（,19,）,（,20,）,正交异性材料的本构方程式（7）中柔度矩阵对称式（9），若改为以主应力（,1,、,2,、,3,）,和主应变（,1,、,2,、,3,）,表示，并求逆后可得刚度矩阵表达的本构方程：,式（18）为全量式本构模型，具体的数学公式、参数值和计算步骤、框图等详见文献,过镇海，混凝土的强度和变形（试验基础和本构关系），北京：清华大学出版社，,1997,。,该文献还按照上述相同原则，推导了增量式本构模型和相应的计算公式，可供有限元分析时选用。,