矩阵级数.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,Department of Mathematics,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Department of Mathematics,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,Department of Mathematics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,矩 阵 论,电 子 教 程,Department of Mathematics,College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩 阵 分 析,第 六 章,6.2,矩 阵 级 数,一,矩阵级数的定义,由 中的矩阵序列 构成的无穷和,称为矩阵级数，记为 ，,二,矩阵级数的收敛和发散,若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列,收敛，且有极限,S,则称矩阵级数 收敛,且有和,S,，记为,:,为矩阵级数的部分和。,称,:,不收敛的矩阵,级数称之为发散的,定义,1.,中的矩阵级数收敛相当于,F,上的 个,级数都收敛,判断矩阵级数 的敛散性,例,1.,已知矩阵序列 的通项为,定理,1.,n,解答,考察上述矩阵级数的部分和,矩阵级数收敛，且其和为,三,.,矩阵级数的绝对收敛,定义,2.,设,:,矩阵级数 若对某一个矩阵范数满足,:,由矩阵范数的等价性知,矩阵的绝对收敛,与矩阵范数的选择无关,是收敛的,则称矩阵级数 绝对收敛,是正项级数,.,说明,必要性：,若正项级数 收敛，由,可知,n,矩阵级数 绝对收敛的充要条件是每个数值,定理,2.,设,级数 都收敛,即 绝对收敛,.,证明：先给出矩阵范数,由正项级数的比较判别法，可知 个数值级数,从而矩阵级数 绝对收敛。,n,收敛，,由矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，,可知上述命题对 均成立,.,充分性：,由正项级数的比较判别法，,可知级数 收敛。,若每个数值级数 都收敛,其相加所构成的级数,都收敛,由于,4,，若矩阵级数 收敛（或绝对收敛），则,矩阵级数 也收敛（或绝对收敛），,并且有,:,定理,3,：设 ，其中,:,则,1,，,2,，,3,，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其,项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变,.,5,，若 与 均绝对收敛，则它们按项 相乘所得的矩阵级数,证明：只证,4.,及,5.,4.,因 ，记 ，则,在此基础上考察级数 的部分和的极限,可见,收敛，且,也绝对收敛，且其和为,AB,由正项级数的比较判别法可知 绝对收敛,若 绝对收敛 收敛，由于,首先由命题的条件可知，级数 与,均收敛。记,考察矩阵级数,的通项的范数,由正项级数的比较判别法可知，级数,绝对收敛,记,:,则,再记,由矩阵范数的三角不等式及相容性,再由,可得,定义,3,：设 ，称形如：,的矩阵级数为矩阵幂级数。,四,矩阵的幂级数,定理,4,：设幂级数 的收敛半径为 为 阶方阵,若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；,若 ，则 发散。,证明：设 的,Jordan,标准形为,其中,于是,其中,所以,当 时，幂级数,都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。,当 时，幂级数 发散，,所以 发散。,例,2:,证明对任意的,矩阵幂级数,:,绝对收敛,.,证明,由于,并且,:,所以,原矩阵幂级数绝对收敛,从而也是收敛的,我们知道,若矩阵级数 收敛,且收敛与矩阵,S,则称,S,为级数 的和,记为,:,下面规定几个收敛的矩阵级数的和,:,且其和为：,定理,5,：设 矩阵幂级数,证明,绝对收敛性由定理,4,立即可以得到,下证,令,则,:,绝对收敛的充分必要条件是,由于,由定理知,所以,对 两端取极限,:,即,:,Good,Bye,