风险价值VaR内容及计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,/64,市场风险：风险价值,VaR,2,/64,引言,金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。,某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的度量指标，如,Delta,、,Gamma,、,Vega,等，尽管这些风险度量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个,关于整体风险的完整图像,。,3,/64,引言,风险价值,VaR,（,Value at Risk,）是试图对金融机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构所面临的整体风险。,VaR,最早由,J.P.Morgan,投资银行,提出，随即被各大银行、基金等金融机构采用。,4,/64,引言,目前，,VaR,已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和操作风险的资本金。,本章内容：,VaR,的概念,VaR,的计算例子,VaR,与,ES,VaR,与资本金,VaR,中的参数选择,后验分析（,Backtesting analysis,）,5,/64,5.1 VaR,的定义,VaR,：,我们有,X,的把握，在未来,T,时期内，资产组合价值的损失不会大于,V,。,V,：资产组合的,VaR,VaR,是两个变量的函数：持有期,T,和置信度,X,%,VaR,可以由投资组合,收益,（,Profit,）的概率分布得出，也可以由投资组合,损失,（,Loss,）的概率分布得出。,6,/64,5.1 VaR,的定义,当采用收益分布时，,VaR,等于收益分布第,(100-,X,),%,分位数的负值,7,/64,5.1 VaR,的定义,当采用损失分布时，,VaR,等于损失分布第,X,%,分位数,。,例：当,T,=5,，,X,=97%,时，,VaR,对应于投资组合在,5,天后收益分布的,3,分位数的,负值,，也对应于投资组合在,5,天后损失分布的,97,分位数。,8,/64,5.2 VaR,的计算例子,Example 1,假定一个交易组合在,6,个月时的收益服从正态分布，分布的均值为,2,（单位：百万美元），标准差为,10,。,由正态分布的性质可知，收益分布的,1,分位数为,2-2.3310,，即,-21.3,。,因此，对于,6,个月的时间期限，在,99,置信度下的,VaR,为,21.3,（百万美元）。,9,/64,5.2 VaR,的计算例子,Example 2,假定一个,1,年期项目的最终结果介于,5000,万美元损失和,5000,万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。,项目的最终结果服从由,-5000,万美元到,+5000,万美元的均匀分布，损失大于,4900,万美元的可能性为,1,。,因此，在,1,年后，基于,99,置信度的,VaR,为,4900,万美元。,10,/64,5.2 VaR,的计算例子,Example 3,一个,1,年期项目，有,98,的概率收益,200,万美元，,1.5,的概率损失,400,万美元，,0.5,的概率损失,1000,万美元。,11,/64,5.2 VaR,的计算例子,在这样的累积分布下，对应于,99,累积概率,的损失为,400,万美元。,VaR,400,万美元,可以这样描述：我们有,99,的把握认为在未来,1,年后该项目损失不会超过,400,万美元。,12,/64,5.2 VaR,的计算例子,Example 4,续上例，试求,99.5,置信度下的,VaR,上图显示，介于,400,万美元和,1000,万美元中的任何损失值出现的可能性都不超过,99.5,。,VaR,在这一情形下不具备唯一性,一个合理选择：将,VaR,设定为这一区间的中间值，即,99.5%,置信度下的,VaR,为,700,万美元。,13,/64,5.3 VaR,与,ES,在应用,VaR,时，实际上是在问“,最坏的情况将会是怎样,”，这一问题是所有金融机构高级管理任意都应关心的问题。,VaR,将资产组合价值对各种不同类型市场变量的敏感度,压缩成一个数字,，这使管理人员的工作大为简化。,另外，,VaR,也比较容易进行后验分析（,Backtesting analysis,）。,14,/64,5.3 VaR,与,ES,然而，,VaR,却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。,例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内,99,的,VaR,额度为,1000,万美元，该交易员可以构造某一资产组合，该组合有,99.1,的可能每天的损失小于,1000,万美元，但有,0.9,的可能损失,5000,万美元。,这一组合,满足了银行的监管规定,，但很明显，交易员使银行承担了,不可接受的风险,。,15,/64,5.3 VaR,与,ES,交易员所追求的概率分布：,16,/64,5.3 VaR,与,ES,许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。,某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使我的交易无法进行”。,17,/64,5.3 VaR,与预期损失,预期损失,ES,一种比,VaR,更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为预期损失,ES,（,Excepted shortfall,），有时又被称为“条件,VaR”,（,conditional VaR,）、“条件尾部期望（,conditional tail expectation,）”、“尾部损失”（,tail loss,）。,ES,：超过,VaR,的损失期望值,18,/64,5.3 VaR,与预期损失,ES,也是两个变量的函数：,持有期,T,和置信度,X,。,例如，当,X,99,，,T,10,天时，,VaR,6400,万美元的,ES,是指在,10,天后损失超过,6400,万美元时的期望值。,ES,比,VaR,更符合风险分散原理。,19,/64,5.3 VaR,与预期损失,ES,的缺陷：,形式较为复杂且不如,VaR,更为直观；较难进行后验分析。,ES,也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。,20,/64,5.4 VaR,和资本金,VaR,被监管机构用来确定,资本金的持有量,。,对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在,未来,10,天,99,VaR,的若干倍数；,对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在资本金计算中，要采用,1,年的持有期和,99.9,的置信度,。,21,/64,5.4 VaR,和资本金,对于,99.9,的置信度和,1,年时间，某个组合的,VaR,为,5000,万美元，这意味着在极端条件下（,理论上，每,1000,年出现一次,），该组合在,1,年时间内的损失会超过,5000,万美元。,也就是说，我们有,99.9,的把握认为，持有该组合的金融机构不会在,1,年内完全损失所持有的资本金。,如果要确定资本金数量，,VaR,是最好的风险测度选择吗？,22,/64,5.4 VaR,和资本金,Artzner,等（,1999,）认为，一个好的风险测度应该满足：,（,1,）,单调性,（,Monotonicity,）：如果在任何条件下，,A,组合的收益均低于,B,组合，那么,A,组合的风险测度值一定要大于,B,组合的风险测度值；,含义,：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。,23,/64,5.4 VaR,和资本金,（,2,）,转换不变性,（,Translation invariance,）：如果在交易组合中加入,K,数量的现金，则风险测度值必须减少,K,；,含义,：如果在组合中加入,K,数量的现金，则该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可以减少,K,。,24,/64,5.4 VaR,和资本金,（,3,）,同质性,（,Homogeneity,）：如果一个资产组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数量的,n,（,n,0,）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测度值的,n,倍；,含义,：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也应该放大两倍。,25,/64,5.4 VaR,和资本金,（,4,）,次可加性,（,Sub-additivity,）：由两种资产构成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之和。,含义,：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于集中化投资的风险。,VaR,满足条件（,1,）、（,2,）、（,3,），但并不永远满足条件（,4,）。,26,/64,5.4 VaR,和资本金,Example 5,假定两个,独立,的贷款项目在,1,年内均有,2,的概率损失,1000,万美元，同时均有,98,的概率损失,100,万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为,1,年、置信度为,97.5,下的,VaR,均为,100,万美元。,将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有,0.020.02,0.0004,的概率损失,2000,万美元，有,20.020.98,0.0392,的概率损失,1100,万美元，有,0.980.98,0.9604,的概率损失,200,万美元。,27,/64,5.4 VaR,和资本金,在时间期限为,1,年，,97.5,的置信度下，,贷款组合的,VaR,为,1100,万美元，,单笔贷款对应的,VaR,之和,为,200,万美元。,贷款组合的,VaR,比贷款,VaR,的总和高,900,万美元,违反次可加性,28,/64,5.4 VaR,和资本金,Example 6,考虑两笔期限均一年，面值均为,1000,万美元的贷款，每笔贷款的违约率均为,1.25,。,当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回收率介于,0,100,的可能性均等。,当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为,20,万美元。,29,/64,5.4 VaR,和资本金,假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违约,。,首先考虑单笔贷款，违约可能为,1.25,。如果发生违约，损失均匀地介于,0,1000,万美元，这意味着损失大于零的概率为,1.25,；损失大于,500,万的概率为,0.625,；损失大于,1000,万的概率为零。,0,1000,概率：,1.25,30,/64,5.4 VaR,和资本金,1,年期,99,的,VaR,是多少？,要求,99,的,VaR,，需要找出概率为,1,的损失值。,设该损失值为,X,，有：,解得：,X,200,。对单笔贷款，,VaR,200,（万美元）,31,/64,5.4 VaR,和资本金,综合考虑两笔贷款。,由于每笔贷款的违约概率均为,1.25,，且两笔贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为,2.5,。,违约触发的损失介于,0,1000,万美元的概率为均等。,32,/64,5.4 VaR,和资本金,贷款组合,99,的,VaR,是多少？,要求,99,的,VaR,，需要找出,概率为,1,的损失值,。,设该损失值为,X,，有：,解得：,X,600,（万美元）,33,/64,5.4 VaR,和资本金,由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利,20,万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款组合,1,年期,99,的,VaR,580,万美元。,单笔贷款的,VaR,之和,200,200,400,（万美元）,这一结果再次与“,贷款组合会带来风险分散效应,”的论断相悖。,34,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件的风险测度被称为“,一致性风险测度,”,VaR,不是一致性风险测度，而,ES,是一致性风险测度,Example 7,继续考虑例,5,。每笔贷款的,VaR,均为,100,万美元，现在要计算置信度为,97.5,的尾部期望损失。,35,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,在,2.5,的尾部概率中，有,2,的概率损失,1000,万美元，有,0.5,的概率损失,100,万美元。,因此，在,2.5,的尾部分布范围内，有,80,的可能损失,1000,万美元，有,20,的可能损失,100,万美元。,预期损失,ES,为,0.810,0.21,8.2,（百万美元）,36,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,将两个贷款项目结合到一起时，在,2.5,的尾部概率中，有,0.04,的概率损失,2000,万美元，有,2.46,的概率损失,1100,万美元。,因此，在,2.5,的尾部分布内，预期损失,ES,为,(0.04/2.5)20,(2.46/2.5)11=11.144,（百万美元）,28.2 11.144,，故该例中，,ES,满足次可加性。,37,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均,就,损失分布,而言，,VaR,对第,X,个分位数设定了,100,的权重，而对其它分位数设定了,0,权重；,ES,对高于,X,分位数的所有分位数设定了相同的权重，但对低于,X,分位数的所有分位数设定了,0,权重。,基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由此定义“,光谱型风险测度,”（,Spectral risk measure,）。,38,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,当光谱型风险测度对第,q,个分位数的权重为,q,的非递减函数,时，这一光谱型风险测度一定满足次可加性，进而满足一致性条件。,ES,满足以上要求，但,VaR,不满足，因为,VaR,对高于,X,%,分位数的所有分位数设定的权重小于对,X,分位数所设定的权重。,39,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,研究人员提出其它风险测度，这些风险测度中，第,q,个分位数的权重随着,q,的改变而有较大的变化。,例如，使第,q,个分位数所对应的权重,w,q,与,e,-(1-,q,)/,成比例，这里的,为常数，这种风险测度被称为,指数光谱型风险测度,（exponential spectral risk measure）。例如：,40,/64,5.5,满足一致性条件的风险度量,0.9 1.0,图,5-1,权重作为分位数函数的,3,种情形,ES,0.05,0.15,权重,累积概率,6,12,41,/64,5.6 VaR,中的参数选择,计算VaR时，需要预先设定两个参数：持有期和置信度,通常假设,：（1）,资产价格变化（收益率）服从正态分布,；（2）,收益率的期望值为零,基于以上两个假定：,其中，,X,为置信度，,为对应于持有期内资产组合的波动率（连续复利收益率的标准差），,N,-1,()为累积标准正态分布函数的反函数,（Excel命令：NORMSINV）,。,(5-1),42,/64,5.6 VaR,中的参数选择,对任何持有期和置信度，VaR都与,成正比。,假设某资产组合在10天持有期上的价值变化服从均值为0、标准差为2000万美元的正态分布,10天持有期、99置信度下的VaR为：,2000,N,-1,(0.99)4653（万美元）,43,/64,5.6 VaR,中的参数选择,持有期的选择,持有期的选择要视具体情况而定,银行交易账户当中的头寸往往流通性较好，管理人员的交易行为也往往比较活跃，因此银行计算每天的,VaR,就非常有意义。,当,VaR,超出一定界限时，管理人员就需对组合进行调整。,银行计算较长时间的,VaR,没有太大意义,，因为在一个较长的时期内，组合内的资产往往会有较大变化。,44,/64,5.6 VaR,中的参数选择,对于养老基金投资组合，管理人员往往会选择一个较长的持有期计算,VaR,。因为这类资产组合的交易往往不是太活跃，而且资产的流动性不太好。,这类资产组合的,VaR,往往,每个月计算一次,。,对于任何投资组合，往往首先需要计算未来,1,天的,VaR,，然后采用以下公式计算未来,T,天的,VaR,：,(5-2),45,/64,5.6 VaR,中的参数选择,上式的正确性建立在,（,1,）资产价格的每天变化均独立,（,2,）价格变化服从正态分布,（,3,）期望值为零,的基础上。,如果以上条件不符合，,(5-2),式就只是一个近似式。,46,/64,5.6 VaR,中的参数选择,自相关性的影响,实际上，资产价格每天的变化之间并非完全相互独立,将资产组合第,i,天的价格变化定义为,P,i,，假设,P,i,与,P,i-,1,的相关系数为,，对于任意,i,，,P,i,的方差均为,2,，则,P,i,+,P,i-,1,的标准差为：,47,/64,5.6 VaR,中的参数选择,同理，可以计算,T,天内的价格变化的标准差：,由上式可以看出，当价格变化存在自相关性时，式,(5-2),将会低估,VaR,。,48,/64,5.6 VaR,中的参数选择,T,=1,T,=2,T,=5,T,=10,T,=50,T,=250,0,1.0,1.41,2.24,3.16,7.07,15.81,0.05,1.0,1.45,2.33,3.31,7.43,16.62,0.1,1.0,1.48,2.42,3.46,7.80,17.47,0.2,1.0,1.55,2.62,3.79,8.62,19.35,表,5-1,当存在一阶自相关性时,T,天,VaR,与,1,天,VaR,的比率,49,/64,5.7,后验分析,将,VaR,与实际损失进行对照的过程，称为后验分析（,backtesting analysis,）。,如果我们计算了持有期为,1,天、置信度为,99,的,VaR,，则首先要找出组合每天的损失中有多少次超过了这一,VaR,值，并将超过的情形称为,exception,。,如果,exception,出现的天数占整体天数的,1,左右，则说明,VaR,计算模型表现良好。,50,/64,5.7,后验分析,如果,exception,的比例较大，说明,VaR,值偏低，而这将导致资本金数量偏低。,如果,exception,的比例较小，说明,VaR,值偏高，而这将导致资本金数量偏高。,一般的，如果,VaR,的持有期为,1,天，置信度为,X,%,，如果,VaR,模型准确无误，则损失超出,VaR,的概率应为,p,=1-,X,%,假定共有,n,个观察日，其中有,m,天的损失超出,VaR,51,/64,5.7,后验分析,假定,m,/,n,p,，说明,VaR,估计偏低，但我们是否应该拒绝这一,VaR,计算模型？,正式的统计检验：,H,0,：对于任意一天，,exception,发生的概率为,p,H,1,：对于任意一天，,exception,发生的概率大于,p,损失超过,VaR,的天数大于等于,m,的概率为：,(5-3),52,/64,5.7,后验分析,假设该检验所选定的检验水平为,5,如果由式,(5-3),所计算的概率小于,5,，则可以拒绝,H,0,，即可以认为,exception,发生的概率大于,p,，从而拒绝该,VaR,计算模型。,反之不能拒绝。,53,/64,5.7,后验分析,Example,采用,600,天的数据来计算,VaR,，置信度为,99%,，在,600,天中共发现了,9,个,exception,。,Exception,期望发生次数为,6,，是否该拒绝这一,VaR,计算模型？,计算大于等于,9,个,exception,发生概率的,Excel,命令：,1,BINOMDIST(8,600,0.01,TRUE)=0.152,54,/64,5.7,后验分析,如果采用,5,的检验水平，则不应该拒绝该模型。,假如我们发现,exception,的次数为,12,，则可计算出,exception,大于等于,12,的概率为,0.020,，若再采用,5,的检验水平，就应该拒绝该模型。,实际上，若采用,5,的检验水平，当,exception,次数超出,11,次时，就应该拒绝该,VaR,计算模型。,55,/64,5.7,后验分析,当,exception,的个数,m,小于理论值时，可以将式,(5-3),改为：,其它步骤与,m,大于理论值的情况相同,(5-4),56,/64,5.7,后验分析,上述检验均为单尾检验，Kupiec提出双尾检验：,变量：,服从自由度为1的卡方分布，即,2,(1),当基于实际数据的式(5-4)值大于给定置信度的,2,(1)分布的理论值时，可以拒绝该VaR模型。,(5-4),57,/64,5.7,后验分析,独立性检验,当投资组合每天的价格变化独立，那么,exception,的发生应该比较均匀地分布在样本区间内。,现实中，,exception,的发生往往聚集在一起,Christofferson,（,1998,）提出了检验,VaR,独立性的方法,58,/64,5.7,后验分析,Christofferson,独立性检验,状态,0,：某一天没有,exception,发生,状态,1,：某一天 有,exception,发生,u,ij,：在某天我们处于状态,i,且在第二天处于状态,j,的次数,59,/64,5.7,后验分析,定义统计量,C,：,其中：,(5-5),60,/64,5.7,后验分析,当组合价格的每天变化都独立时，统计量,C,服从自由度为1的卡方分布。,当基于实际数据的式(5-5)值大于给定检验水平的,2,(1)分布的理论值时，可以拒绝价格变化独立的原假设。,Thank You!,