抽象函数.doc

学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.
个性化教学辅导教案

学科 数学 任课教师： 授课时间：2010 年 8 月 27 日(星期日)
姓名

年级
高二
性别
男
课题：
抽象函数与圆锥曲线
教学
目标
知识点：抽象函数与圆锥曲线
考点：抽象函数性质的应用及圆锥曲线的性质
能力：培养学生的灵活运用和数形结合的能力
方法：讲授法、练习法
难点
重点
重点：抽象函数的性质
难点：圆锥曲线性质的综合应用
课
堂
教
学
过
程

课前
检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
过
程
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路.
1、正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.
2、 幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.
3、 指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
4、 对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）--f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

5、三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.

先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（2）受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.
总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.
练习：
1、定义在R上的函数满足：且，求的值。
2、已知函数对任意实数都有，且当时，
，求在上的值域。
3、已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
4、已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
5、已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
6、设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
7、已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
8、设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。
（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；
（3）设，
，若，求满足的条件。

9、若奇函数，满足，则等于（　）
A．0 B．1 C． D．
10、设对任意实数、，函数满足。
（1）求证：；（2）求证：为偶函数。
11、已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有
，且
（1）求的值；（2）解不等式
12、已知函数对于任意的正实数、，都有，若，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
13、设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。
（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3≤≤3时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。
14、若函数f(x)为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f(2)=0，则的解集为（ ）
A．（-2，0）（0，2） B．（-，-2）（0，2）
C．（-，-2）（2，+） D．（-2，0）（2，+）
15、已知函数f(x)的值域，试求的值域。

圆锥曲线部分：
16、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ A ）
A. B.
C. D.
17、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 ．
18、双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为 ．
19、若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 6 ．
20、已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
21、已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

22、已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

23、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.

24、如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

课后练习：
1．给出四个函数，分别满足①；②；
③；④，又给出四个函数图象

丁

正确的匹配方案是（ D ）
（A）①—丁②—乙③—丙④—甲 （B）①—乙②—丙③—甲④—丁
（C）①—丙②—甲③—乙④—丁 （D）①—丁②—甲③—乙④—丙

2．定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函
数f (x)在[a,b]上                                                (   C )
  A 有最小值f (a)     B有最大值f (b)     C有最小值f (b)    D有最大值f ()
3． 设函数的定义域为Ｒ，且对恒有
若（C　 ）
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ）
A． B．
C． D．
5．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当 时，．（1）试举出一个满足条件的函数；（2）试求的值；（3）判断的单调性并证明你的结论；（4）若解不等式
(1)(2)(3)单调递减（4）

7、已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

8、已知椭圆：的面积为π，包含于平面区域内，向平面区域内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论．

9、设、分别是椭圆：的左右焦点。
（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为， ，试探究的值是否与点及直线有关，不必证明你的结论。

课堂
检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后
巩固
作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________
签字
教学组长签字： 学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
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