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数学·复数的认识

一：什么是“复数”？

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足、四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。

二：复数的定义

　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
　　定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）
　　我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（real part)记作Rez=a
　　实数b称为复数z的虚部（imaginary part)记作 Imz=b.
　　已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数
　　当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。
　　定义： 对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。
　　定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣
　　即对于复数z=a+bi，它的模
　　∣z∣=√(a^2+b^2)
　　复数的集合用C表示，显然，R是C的真子集
　　复数集是无序集，不能建立大小顺序。
共轭复数有些有趣的性质： ︱x+yi︱=︱x-yi︱ (x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2

三：四则运算法则

四则运算法则
　　若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则
　　z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，
　　（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i，
　　（a+bi）÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)i/(c^2+d^2)
　　其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷(c+di)=（a+bi）/(c+di)，此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。
复数的加法乘法运算律
　　z1+z2=z2+z1
　　（z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
　　z1z2=z2z1
　　z1(z2z3)=(z1z2)z3
　　z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
虚数单位i的乘方
　　i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^4n=1(其中n∈Z）
加法法则
　　复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
　　则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
　　两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
　　复数的加法满足交换律和结合律，
　　即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
乘法法则
　　规定复数的乘法按照以下的法则进行：
　　设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
　　其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数.
除法法则
　　复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商
　　运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.
　　除法运算规则：
　　①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
　　即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
　　∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
　　∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
　　由复数相等定义可知 cx-dy=a dx+cy=b
　　解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)
　　于是有：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i
　　②利用(c+di)(c－di)=c^2+d^2.于是将 的分母有理化得：
　　原式= c^2-cdi+cdi-d^2×i^2
　　=c^2+d^2
　　∴(a+bi)÷(c+di)= (ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数。所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。

四：复数的其他表达

复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
　　下面介绍另外几种复数的表达形式。
　　①几何形式。
　　在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图）
　　这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定
　　复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
　　②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
　　③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式
　　z=r（cosθ+sinθi）
　　式中r= sqrt(a^2+b^2)，是复数的模（即绝对值）
　　θ 是以x轴为始边，射线 OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作argz
　　这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
　　④指数形式。将复数的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z=rexp(iθ)
复数三角形式的运算
　　设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
　　z1÷z2=(r1÷r2)[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]　
　　复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行
　　一元n次复系数方程总有n个根（重跟按重数计）；复数不能建立大小顺序。
棣莫佛定理（复数的乘方）
对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂
　　z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)]　（其中n是正整数）
复数的开方
若z^n=r(cosθ+isinθ), 则
z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k=0，1，2，3……n-1）

五：复数集的分类

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类
　　复数(a+bi)——集合符号C
　　－－实数(b=0)——集合符号R
　　－－－－有理数——集合符号Q
　　（一）－－－正有理数——集合符号Q+
　　－－－－－－－－正整数——集合符号Z+或N*
　　－－－－－－－－－－1
　　－－－－－－－－－－质数
　　－－－－－－－－－－合数
　　－－－－－－－－正分数
　　－－－－－－0
　　－－－－－－负有理数——集合符号Q-
　　－－－－－－－－负整数——集合符号Z-
　　－－－－－－－－负分数
　　（二）－－－整数——集合符号Z
　　－－－－－－－－（自然数）——集合符号N
　　－－－－－－－－奇数
　　－－－－－－－－偶数
　　－－－－－－分数
　　－－－－无理数
　　－－－－－－正无理数
　　－－－－－－负无理数
　　－－虚数(b≠0)
　　－－－－纯虚数(a=0)
　　－－－－混虚数(a≠0)
六：复变初等函数
实变初等函数的推广
　　我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0)时与相应的实变初等函数相同。
　　注意根据这些定义，在z为任意复变数时，
　　①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来
　　②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立
　　③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。
复变指数函数

复数的三角函数