数学建模logistic人口增长模型.doc

Logistic人口发展模型
一、题目描述
建立Logistic人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
年份
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
总人口
60.2
61.5
62.8
64.6
66.0
67.2
66.2
65.9
67.3
年份
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
总人口
69.1
70.4
72.5
74.5
76.3
78.5
80.7
83.0
85.2
年份
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
总人口
87.1
89.2
90.9
92.4
93.7
95.0
96.259
97.5
98.705
年份
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
总人口
100.1
101.654
103.008
104.357
105.851
107.5
109.3
111.026
112.704
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
总人口
114.333
115.823
117.171
118.517
119.850
121.121
122.389
123.626
124.761
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005

总人口
125.786
126.743
127.627
128.453
129.227
129.988
130.756

表1 各年份全国总人口数（单位：千万）
二、建立模型
阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。于是有：
（1）
对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为
             （3）
将（3）代入方程（1）得：
            （4）
解得：
（5）
三、模型求解
用Matlab求解，程序如下：
t=1954:1:2005;

x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];

x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];

x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];

dx=(x2-x1)./x2;
a=polyfit(x2,dx,1);

r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm和r

x0=61.5;
f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数
plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');
title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
x2010=f(2010,xm,r,x0)
x2020=f(2020,xm,r,x0)
x2033=f(2033,xm,r,x0)
解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5

得到1954-2005实际人口与理论值的结果：
根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。
按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。
而据模型求解：
2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7%
2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3%
2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8%
2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1%
五、预测
1. 1954-2005总人口数据建立模型：

r=0.0327 xm=180.9516
2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7%
2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3%
2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8%
2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1%
2. 1963-2005总人口数据建立模型：

r=0.0493 xm=150.5261
2010年人口：x(2010)= 134.1612（千万） 专家预测13.6亿 误差为1.4%
2020年人口：x(2020)= 140.0873（千万） 专家预测14.5亿 误差为3.4%
2033年人口：x(2033)= 144.8390（千万） 专家预测 15亿 误差为3.4%
2045年人口：x(2045)= 147.3240（千万） 专家预测 16亿 误差为7.6%
3.1980-2005总人口数据建立模型：

r=0.0441 xm=156.3297
2010年人口：x(2010)= 135.2885（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.5%
2020年人口：x(2020)= 142.1083（千万） 专家预测14.5亿 误差为2.0%
2033年人口：x(2033)= 147.9815（千万） 专家预测 15亿 误差为1.3%
2045年人口：x(2045)= 151.3011（千万） 专家预测 16亿 误差为5.4%
总体来看，1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史原因来分析：1954年之后的1959-1961年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。1960年之后为过渡时期。1983年之后开始实施“计划生育政策”，一直至今，所以1980-2005年间的数据与预测分析最好。