人口增长的Logistic模型分析及其应用资料讲解.doc

人口增长的Logistic模型分析及其应用人口增长的模型分析及其应用作者：熊波来源：商业时代2008年第27期 中图分类号：C923 文献标识码：A内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用 Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。关键词：人口 Logistic模型 迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+t内人口的增量为x(t+t)-x(t)=rx(t)t。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r0时，人口将按指数规律增长。但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic模型。为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。 本文也将采用Logistic模型对我国人口进行分析。人口增长模型的建立要预测未来的人口，就必须先估计出人口增长率r。logistic模型在数学上来讲是一个非线性模型，而非线性的方程是无法估计出r值的。在利用logistic模型研究人口问题时，一般运用以下方法：先将logistic模型转化成线性模型，将logistic模型的解作进一步的形式转换得：再两边取对数，转化为线性形式，便于对r进行估计，转化的结果为：估计出固定增长率r后代入到中，代入相应的时间t就可以预测出未来各年的总人口数了。这里为线性方程的前提是：已知人口上限xm。因此在计算中会令xm为一特定的值（比如我国计生委认为的16亿人口上限）。而在实际情况下，人口的上限是随着经济的发展与科学的进步是不断增大的，最后趋近于某一常数。其次，固定增长率r是将Logistic模型线性化后根据一元线性回归才能得到，虽然可以很好的通过T检验，但由于其回归的基础是确定的人口上限，故仍然存在一定的缺陷。所以本文将用迭代算法对人口上限xm和人口固定增长率r进行计算。算法基本思想是： 假设xm已知， 求得r的最优估计， 然后把r作为已知， 求出xm的最优估计，这样交替循环迭代直到收敛为止。记，于是有：(1)代入得：(2)因存在模型误差， 应以下述带误差的方程代替式(2)得： (3)从而在xm已知条件下， 利用最小二乘法估计参数r，令，当最小时，即： (4)由式(4)得： (5)由式(5)得参数r的最小二乘估计 (6)同理，由于存在模型误差，应以下述带误差的方程代替得： (7)式(7)中t为独立、 均值为 0、 等方差的随机变量， 记则式(7)变为，在r已知的情况下可以得到xm的最小二乘估计： (8)这里t中含有被估计参数xm，在迭代解法中，我们可以用上一次的迭代估计值xm*代替它。最优估计x*、r*具体估计步骤如下：取初值xm(0)，然后将xm(0)代入(6)求得r(0)。令k=1，a=xm(0)，b=r(0) ；b代入(8)式，求得xm(k)，xm(k)代入(6)求得r(k)。若，则停止，此时有x*=xm(k)，r*=r(k) ；a=xm(k)，b=r(k)，k=k+1转“2”。由上述理论，本文取xm(0)=15，参数估计样本为1978年至2004年的人口数。依照上述迭代的三个步骤，得到迭代结果如表1所示。经过五次迭代，不难看出第四次迭代的结果最理想，因此，我们取x*=16.28，r*=0.0401。这里xm(0)的取值不会影响x*与r*，它仅仅影响迭代的次数。比如当xm(0)取值为14的时候得迭代结果如表2，可以看出此时只是增加了一次迭代的过程。我们将x*=16.28，r*=0.0401代入Logistic方程得最终模型如下：，将时间t代入模型中就可以求出各年的人口了。人口增长Logistic模型的应用模型假设：假设中国的人口政策自1978年开始不再变化；假设中国的人口是一个封闭的人口，即不考虑迁入迁出；不考虑自然灾害等非正常因素的影响。（一）数据分析1978年以后，中国进行过3次人口普查，分别是在1982年、1990年和2000年。此时时间t相应为4、12、22，代入模型得结果见表3。由表3可以看出模型计算出的结果与实际人口数的误差还是很小的，应该说模型具有较强的预测能力。另外，从预测结果的误差可以看出，在2000年之前，年份越往后误差越小，甚至为负数。也就是说随着人口数量的增大，人口越来越接近人口极限。此时实际人口的增长要快于模型的估计值。这很可能是因为在这一时期内计划生育政策的实施有所放松，导致人口增长过快。那么2001-2005年的情况又如何呢？运用同样的方法求得见表4。由表4的数据结果可以看出2000年以后至2005年，实际人口的增长要慢于模型的增长，但是这一时期恰恰又是第四次人口生育高峰期的开始。导致这一反常现象的原因在于政府对人口政策有所抓紧。为了防止在人口生育高峰期人口过快的增长，政府对计划生育政策的实行加大了力度，促成了人口增长的减缓。由模型知道当人口越接近人口极限，人口增长的阻滞作用越大。很大程度上需要政府制定相应的人口政策，限制人口的自然增长。所以人口政策的实行实际上就是人口增长阻滞作用的执行方式，对人口增长具有极其重要的影响。而人口政策的实行往往跟人口数量有密切的关系，会伴随着人口的变动而具有一定的波动性，人口的增长率也会随着人口政策的波动而相应的有一些起伏。但是人口的整体增长情况仍将符合模型的预测。利用模型可以估计出未来各年的人口数量如表5。由表5可知，到2035年中国的人口将达到15.21亿，虽然还没有到达理论上的人口上限，但是在现实社会中，为了保证社会的稳定，政府绝对不会让人口数量达到理论人口上限的。也就是说当人口接近于人口上限的时候，人口政策很可能会发生变化，再加上中国人口老龄化和性别比的失调的进一步加剧，到2035年之后模型可能就不再适用了，所以对2035年之后的人口不再作预测。（二）结果分析从预测的结果看，我国未来几十年内的人口压力还是非常大的。加上老龄化和性别比例失调的加剧，人口政策将面临新的挑战。我国今后的人口政策应逐步转变为以调整人口结构为主、控制人口数量为辅，逐步调整人口年龄结构和人口城乡结构。特别要注意的是， 调整生育政策需要时间和精心设计，同时要由国家计生部门支持和监督， 总结经验并稳步实施。总之，我国人口国情要求我们以辩证的眼光来观察， 既要看到有利面，也要看到不利面，还要比较有利和不利的大小；以历史的眼光来观察， 既要看到以往政策的历史背景和合理性， 也要看到它的历史局限性和成本， 还要比较该政策的收益和成本的动态变化；以发展的眼光来观察， 既要看到目前发展的有利条件， 也要看到未来发展的不利条件，还要比较有利和不利条件的变化，适时适度地调整发展目标和方针政策。 参考文献：1.师义民，杨昭军.Logistic 模型参数估计及预测实例.数理统计与管理，19972.张翼.中国人口控制政策的历史变化与改革趋势.广州大学学报，2006（8）